Paola Rubbioni
1 Definizione e proprietà
Definizione 1.1 Un insieme E ⊂ R2si dice:
y-semplicese
E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} ove g1, g2 ∈ C([a, b]);
x-semplicese
E = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d; h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} ove h1, h2 ∈ C([c, d]);
semplicese è x-semplice oppure y-semplice;
regolarese è unione finita di insiemi semplici a due a due non sovrapponentesi.
• Un insieme semplice è sempre chiuso e limitato, quindi compatto.
• L’area di E insieme y-semplice è data da
A(E) = Z b
a
[g2(x) − g1(x)]dx,
mentre nel caso in cui E sia x-semplice è data da
A(E) = Z d
c
[h2(y) − h1(y)]dy.
Definizione 1.2 Data una funzione limitata f : E → R e considerata una partizione dell’insieme semplice E in un numero finito n di insiemi a loro volta semplici
P = {E1, . . . , En}; Eio∩ Ejo = ∅, i 6= j; ∪ni=1Ei = E 1
si definiscono rispettivamentesomma integrale inferiore esomma integrale superiore i due numeri (che esistono in virtù della limitatezza di f )
s(P ) =
n
X
i=1
A(Ei) inf f (Ei)
S(P ) =
n
X
i=1
A(Ei) sup f (Ei).
• Si ha s(P ) ≤ S(P0) per ogni P e P0 partizioni di E in insiemi semplici; di conseguenza sup
P
s(P ) ≤ inf
P S(P ).
Definizione 1.3 La funzione limitata f : E → R si diceintegrabilesu E insieme semplice se sup
P
s(P ) = inf
P S(P );
tale numero si indica con il simbolo
Z Z
E
f (x, y)dxdy
il quale si leggeintegrale doppio di f esteso ad E.
• Non tutte le funzioni limitate sono integrabili, come ad esempio la funzione f : [0, 1] × [0, 1] → R definita da
f (x, y) =
2 , (x, y) ∈ ([0, 1] ∩ Q) × [0, 1]
1 , (x, y) ∈ ([0, 1] ∩ R \ Q) × [0, 1].
• Se f ≥ 0 su E, allora V (f, E) =RR
Ef (x, y)dxdy, cioè l’integrale doppio rappresenta il volume della regione di spazio sottesa ad f in corrispondenza ad E; in generale, per una f di segno qualunque, il volume è dato da
V (f ) = Z Z
E
|f (x, y)|dxdy.
• Se δ > 0 rappresenta la densità puntuale di un corpo piano di forma E, allora
M (E) = Z Z
E
δ(x, y)dxdy
ne rappresenta la massa totale.
Teorema 1.1 Ogni funzione f : E → R continua definita su un insieme E semplice è integrabile.
Teorema 1.2 Date f, g : E → R con E semplice e α, β ∈ R, valgono le seguenti proprietà:
linearità: RR
E[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = αRR
Ef (x, y)dxdy + βRR
Eg(x, y)dxdy;
monotonia: se f ≤ g su E, alloraRR
Ef (x, y)dxdy ≤RR
Eg(x, y)dxdy;
additività: se E1o∩ E2o = ∅, allora RR
E1∪E2f (x, y)dxdy = RR
E1f (x, y)dxdy +RR
E2f (x, y)dxdy.
• La definizione di integrale doppio si può estendere a funzioni aventi per domini insiemi regolari.
2 Calcolo
Il teorema seguente ci consente di calcolare un integrale doppio tramite due integrali di Riemann in serie.
Teorema 2.1 (Formule di riduzione) Sia f : E → R una funzione continua.
Se E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} con g1, g2 ∈ C([a, b]), allora
Z Z
E
f (x, y)dxdy = Z b
a
Z g2(x) g1(x)
f (x, y)dy
! dx;
se invece E = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d; h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1, h2 ∈ C([c, d]), allora
Z Z
E
f (x, y)dxdy = Z d
c
Z h2(y) h1(y)
f (x, y)dx
! dy.
• Se la funzione integranda è a variabili separabili ed il suo dominio è un rettangolo, allora l’integrale doppio si può calcolare come prodotto di due integrali di Riemann:
Z Z
[a,b]×[c,d]
g(x)h(y)dxdy = Z b
a
g(x)dx Z d
c
h(y)dy.
Definizione 2.1 Data una funzione derivabile ~T : D ⊂ R2 → R2,
T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)), per ogni (u, v) ∈ D~
si definiscono rispettivamentematrice jacobianadi ~T la matrice
D ~T (u, v) = xu(u, v) xv(u, v) yu(u, v) yv(u, v)
!
ejacobianodi ~T il numero non negativo
jT~(u, v) = | det D ~T (u, v)|.
Definizione 2.2 Si dice che la funzione ~T : D0 ⊂ R2 → D ⊂ R2 è un diffeomorfismo globale (o diffeomorfismo di D0 su D) se verifica le condizioni: ~T ∈ C1(D0); ~T è invertibile e ~T−1 ∈ C1(D).
• Si può provare che se ~T : D0 ⊂ R2 → D ⊂ R2 è un diffeomorfismo globale, allora det D ~T (u, v) 6= 0, per ogni (u, v) ∈ (D0)o;
det D ~T (u, v) = 1
det D ~T−1(x, y)| (x,y)=(x(u,v),y(u,v))
, per ogni (u, v) ∈ (D0)o.
Teorema 2.2 (Formule di cambiamento di variabili) Siano f : D → R una funzione continua e T : D~ 0 ⊂ R2 → D ⊂ R2 un diffeomorfismo globale tra due insiemi regolari. Allora
Z Z
D
f (x, y)dxdy = Z Z
D0
f (x(u, v), y(u, v)) jT~(u, v)dudv.
• Nel caso particolare dellecoordinate polari
x = x0+ ρ cos θ y = y0+ ρ sin θ
; j(θ, ρ) = ρ,
la formula del cambiamento di variabili è Z Z
D
f (x, y)dxdy = Z Z
D0
f (x0 + ρ cos θ, y0+ ρ sin θ) ρdθdρ.
In questo caso il disco (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r viene trasformato nel rettangolo D0 = [0, 2π] × [0, r], quindi in particolare il disco unitario x2+ y2 ≤ 1 viene trasformato nel rettangolo D0 = [0, 2π] × [0, 1].
Nel caso particolare dellecoordinate ellittiche
x = x0+ aρ cos θ y = y0+ bρ sin θ
; j(θ, ρ) = abρ,
la formula del cambiamento di variabili è Z Z
D
f (x, y)dxdy = Z Z
D0
f (x0+ aρ cos θ, y0+ bρ sin θ) abρdθdρ.
In questo caso l’ellisse (x−xa20)2 + (y−yb20)2 ≤ 1 viene trasformata nel rettangolo D0 = [0, 2π] × [0, 1].
