Esempio: risoluzione di sistemi lineari in K[x1, . . . , xn]
Risolvere il sistema lineare (in T1, T2, T3):
(x2y − 1)T1 + (xy − 1)T2 + xy2T3 = −x2y3+ 2xy3+ x3− xy − 2y2
xyT1 + (x2y + x)T3 = −x3y2
I coefficienti del sistema lineare sono in P = Q[x, y].
Considero il modulo M ⊆ P3 generato da:
h1= (x2− y, xy), h2= (xy − 1, 0), h3= (xy2, x2y + x);
Si tratta innanzitutto di vedere se il vettore
b = (−x2y3+ 2xy3+ x3− xy − 2y2, −x3y2) sta in M .
La base di Gr¨obner di M (rispetto all’ordinamento DegRevLexPos sui mo- nomi di P3, cio`e su T he1, e2, e3i) `e:
G =
(xy − 1, 0), (x2− y, xy), (−1
2y3− y2+ x, 0), (1 2y, x)
Detto H = (h1, h2, h3) e G = (g1, g2, g3, g4) (dove g1, . . . , g4 sono gli elemen- ti di G), dall’algoritmo di divisione e dall’algoritmo di Buchverger si possono costruire due matrici A e B tali che G = HA e H = GB. Le matrici A e B sono:
A =
0 1 1
2(xy2+ y) 1
2(x2y − x) 1 0 −1
2(x2y − y3− y2+ 2x) −1
2(x3− xy2− xy + y)
0 0 −1
2y2 −1
2xy + 1
B =
0 1 1
2y
1 0 0
0 0 0
0 0 xy + 1
Dalla base di Gr¨obner G si pu`o stabilire che b ∈ M : infatti calcolando la forma normale di b rispetto a G si ottiene 0. Dalla riduzione (algoritmo di divisione) si trova inoltre che
b = (−1
2xy2+ 2y2)g1+ xg2− (x2y2+ xy)g4
Da questa rappresentazione di b e dalla matrice A che permette di esprimere i g in funzione dei generatori h si ottiene:
b = xh1+ 2y2h2− xyh3 e quindi abbiamo una soluzione del sistema lineare, che `e:
T1 = x T2 = 2y2 T3 = −xy
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Per avere tutte le soluzioni del sistema lineare, dobbiamo trovare il modulo delle sizigie di h1, h2, h3.
Dalla base di Gr¨obner G possiamo ottenere i generatori del modulo Siz(G), che sono le colonne della seguente matrice:
M =
x y2+ 2y
−y −2
1 2x
y2 2y
Pertanto i feneratori del modulo delle sizigie di H sono le colonne della matrice:
(AM | It− AB) e cio`e sono:
s1 = (1/2x2y3− 1/2y,
−1/2x3y2+ 1/2xy4+ 1/2xy3− 1/2x2y + 1/2y2,
−1/2xy3+ 1/2y2)
s2 = (2x2y2− 2, −2x3y + 2xy3+ 2xy2− 2x2+ 2y,
−2xy2+ 2y) s3 = −1/2x3y2+ 1/2x,
1/2x4y − 1/2x2y3− 1/2x2y2+ 1/2x3− 1/2xy, 1/2x2y2− 1/2xy
Abbiamo allora trovato che tutte le soluzioni del sistema lineare di partenza sono date da:
(T1, T2, T3) = (x, 2y2, −xy) + f1s1+ f2s2+ f3s3
dove f1, f2, f3 ∈ P . Infine, se si volesse sapere in quanti modi diversi pu`o essere scritta in questo modo una soluzione, si dovrebbero calcolare le sizigie di (s1, s2, s3).
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