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Esercizio 1. Data la funzione

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12 giugno 2013 Corso di Laurea in Matematica

ANALISI MATEMATICA 4 Prof. P. Cannarsa

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = x 4 , x ∈ [−π, π) ,

si estenda f a R in modo che diventi una funzione 2π-periodica.

• Determinare la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza puntuale e uniforme.

• Ricordando che P +∞

n=1 1

n

2

= π 6

2

, calcolare P +∞

n=1 1 n

4

. Esercizio 2. Dato il campo vettoriale

F (x, y, z) = z i + x j + y k ,

calcolare il flusso del rotore di F attraverso la porzione di superficie di equazione z = xy, che si proietta sul dominio

D = (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 6 1 ,

orientata in modo che il versore normale abbia la terza componente non negativa.

Effettuare il calcolo sia direttamente, sia applicando il teorema di Stokes.

Esercizio 3. Data ϕ ∈ C 1 (R), si consideri il sistema piano ( x 0 (t) = x(t)ϕ y(t) 

y 0 (t) = y(t)ϕ x(t) . (1)

1) Si provi che, per ogni soluzione (x, y) : I → R 2 di (1), si ha

∃ t 0 ∈ I : x(t 0 ) = y(t 0 ) =⇒ x(t) = y(t) ∀t ∈ I .

2) Osservato che (0, 0) ` e un punto di equilibrio di (1), se ne studi la stabilit` a in ciascuno dei casi seguenti:

• supponendo ϕ(0) 6= 0,

• prendendo ϕ(x) = −x 2 .

Esercizio 4. Determinare il punto della retta 2y − x = 1 che si trova a distanza

minima dall’iperbole y 2 − x 2 = 1.

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