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Analisi Matematica A 14 Giugno 2013 COMPITO 1 Cognome e nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

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Analisi Matematica A 14 Giugno 2013 COMPITO 1

Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Istruzioni

1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.

2. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”

vicino alla risposta scelta.

3. PUNTEGGI per i quesiti a risposta chiusa: risposta esatta = +3, 5; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data

= 0.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.

5. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO

6. TEMPO a disposizione: 150 min.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A A A A A A A A

B B B B B B B B

C C C C C C C C

D D D D D D D D

(2)

Spazio per lo svolgimento dell’esercizio 9.

x y

(3)

Analisi Matematica A 14 Giugno 2013 COMPITO 1

1. L’insieme dei numeri complessi z ∈ C tali che

e|z|2+ i3z

= 1

`

e rappresentato nel piano di Gauss da:

Risp.: A : La circonferenza di centro

 0, −3

2



, passante per l’origine degli assi B : L’unione di due rette parallele all’asse reale C : La circonferenza di centro  3

2, 0



, passante per l’origine degli assi D : L’origine degli assi

2. Il limite

n→+∞lim log

"



1 + 7 n + 1

(n+1)3#

[(n + 2)! − n!] sinh 1 n!



vale

Risp.: A : log 7 B : 7 C : e7 D : 0

3. Sia α ∈ R+. Il limite

lim

x→0+

e3x− 1 − 3 sin x xαlog 1 −32x . vale

Risp.: A : −∞ se α < 1, −3 se α = 1, 0 se α > 1 B : −3 se α < 1, +∞ se α ≥ 1 C : 0 se α < 1, −3 se α = 1, −∞ se α > 1 D : 0 se α ≤ 1, +∞ se α > 1

4. Si consideri l’insieme A =n

an= cosπ

2(2n + 1)(−1)n

+ arctan log(1 + n7) , n ∈ No . Delle seguenti affermazioni

(a) A `e un insieme limitato inferiormente (b) la successione {a2k+1} `e strettamente decrescente (c) A non ammette il minimo (d) la successione {a2k} `e positivamente divergente (e) sup A = 1 +π2

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c), (d) B : (a), (b), (e) C : (c), (d) D : (a), (e)

5. La forma algebrica del numero complesso

z = 3i34− i23 2i − 1

` e

Risp.: A : 4 5− 2

5i B : 8 5 −4

5i C : −1 − i D : 1 + i

(4)

6. Sia f :] − 1, 1[→ R derivabile in ] − 1, 1[. Delle seguenti affermazioni

(a) f strettamente decrescente in ] − 1, 1[ ⇒ f0(x) < 0, ∀ x ∈] − 1, 1[ (b) f0(x) > 0, ∀ x ∈] − 1, 1[

⇒ f strettamente crescente in ] − 1, 1[ (c) f0(0) = 0 ⇒ x = 0 `e un punto di estremo relativo per f (d) f (0) > 0 ⇒ ∃δ ∈]0, 1[ tale che f (x) > 0, ∀ x ∈] − δ, δ[ (e) f −12 f 12 < 0 ⇒ ∃c ∈ −12,12 tale che f (c) = 0 (f) x = 0 punto di estremo assoluto per f ⇒ f0(0) = 0

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c), (f) B : (b), (d), (e), (f) C : (a), (b), (d), (e) D : (a), (c), (d)

7. Sia f la funzione definita da:

f (x) = xe4−x2. Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e R (b) f `e pari (c) y = 0 `e un asintoto orizzontale di f per x → +∞ (d) f

`

e non negativa nel suo dominio (e) f ammette asintoto obliquo per x → −∞

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (b), (d), (e) B : (a), (c), (d) C : (a), (c) D : (a), (b), (e)

8. Sia f la funzione dell’esercizio 7. Delle seguenti affermazioni (a) f0

1

2



= 0 (b) x = 1

2 `e un punto di minimo relativo per f (c) x = −1

2 `e un punto di estremo assoluto per f (d) f `e crescente suh

1

2,1

2

h

(e) x = 0 `e un punto di flesso a tangente orizzontale per f (f) f `e concava in

i

−∞, − q3

2

i

∪h 0,

q3 2

i le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (e) B : (b), (c), (e) C : (b), (f) D : (a), (c), (d), (f)

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 7 nell’apposito spazio sul foglio precedente.

Riferimenti

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