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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile
Appello del 19/4/2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 23 marzo 2006
1. Determinarela soluzione dell'equazionediLaplace (inco ordinate p olari
piane)
u= 1
r
@
@r
r
@u
@r
+ 1
r 2
@ 2
u
@' 2
p er lafunzioneincognita u(r; ), neldominiocostituito dalla corona cir-
colare =f(r; ) :R
1
r R
2
; 0 <2g, con 0<R
1
<R
2 e con
le condizioni alcontorno u(R
1
; )=1+cos e u(R
2
; )=1 cos .
Suggerimento: ripercorrere passo dopo passo la soluzione dell'equazione
di Laplace nel disco, introducendo gli opportuni cambiamenti dove sono
necessari.
2. Determinarele curve caratteristichedell'equazionedel prim'ordine
x
@u
@y +y
@u
@x
=0;
etracciarneilgra co. Determinarequindilasoluzionedell'equazionecon
la condizione u(x;y)= x 2
sulla circonferenza diequazione x 2
+y 2
= 1.
Dire inoltre, se la soluzione cosi' ottenuta e de nita su tutto il piano
(x;y) o soltanto su un suo sotto dominio; in tal caso, indicare almeno
qualitativamentetale sotto dominio.
3. Illustrare la riduzionein formacanonica delleequazioni di erenzialidel
second'ordineinduevariabili,ricavandonecoslaclassi cazione. Tratta-
redapprima il caso aco eÆcienticostantie quindi,agrandi linee,quello
a co e cienti variabili. Studiare quindi la classi cazione dell'equazione
di erenziale
@ 2
f
@x 2
+2
@ 2
f
@x@y
+ sinx
@ 2
f
@y 2
