Problema n. 6 Una mole di gas ideale mono atomico compie una espansione reversibile regolata dall’equazione con e dallo stato iniziale in cui (≈

Problema n. 6

Una mole di gas ideale mono atomico compie una espansione reversibile regolata dall’equazione ( 0)

p V V K con V₀ 5  e K 456 J dallo stato iniziale in cui

1 1 1 1.14

V  e p bar (≈ 1.13 atm) allo stato finale V₂ 4  e p p₂ .

Calcolare il lavoro compiuto dal gas e la temperatura finale. Determinare inoltre il calore scambiato dal gas con l’ambiente.

Soluzione

Si ha

F

I

L pdV . Ma p V( V₀) K da cui 

( 0) p K

V V per cui si avrà:

2

2

1 1

2 0

0

0 1 0

ln ln

( )

V

V V V

V V

L K dV K V V K

V V V V e, numericamente:

4 5 1

456 ln 456 ln 632.2

1 5 4

L J (Poiché L>0 il lavoro è fatto dal gas)

Per trovare la temperatura finale T_F T₂ considero l’equazione di stato dei gas ideali pV nRT unitamente alla p V( V₀) K. Nel caso in oggetto, per l’equazione di stato posso scrivere:

2 2

2 2 2 2

p V RT T p V

R , e per l’equazione della trasformazione compiuta dal gas ₂

2 0

p K

V V . Si ottiene pertanto ₂ ²

2 0

456 4 219.5

( ) 8.31 (4 5)

T K V K

R V V .

Per il primo principio della termodinamica si ha: Q L U in cui U n c_v T . Ma la variazione di temperatura T T₂ T₁ è ricavabile se è nota la T₁.

Poiché il gas è ideale si può scrivere, dall’equazione di stato: ₁ ^{1 1 1.14 1} 13.89 0.0821

T p V K

R .

Essendo il gas mono atomico ³

v 2

c R, quindi

1 3 8.31 (219.5 13.9) 2563

v 2

U n c T  J . Il calore scambiato dal gas con

il suo ambiente è pertanto : Q L U 632.2 25633194 J . Essendo Q>0 questo è calore ricevuto dal gas