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– Prova scritta per il terzo appello – 28 / 6 / 2008
– Compito n. 1
Domanda 1)
1. Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo per una funzione f : (10, 20) → R continua.
2. Enunciare la regola per la derivazione delle funzioni com- poste. Usare, ove possibile, la precedente regola per de- terminare la derivata della funzione definita da f (x) =
11psin(3x). Nei punti in cui la regola non `e applicabile la funzione f `e derivabile? Nei punti in cui la f non `e derivabile ammette tangente? Se si determinarle.
3. Definire il concetto di derivata di una funzione f in un punto x0 del suo dominio. Applicare la definizione per calcolare la derivata della funzione definita da f (x) =x+31
nel punto x0= 30
4. Usando l’approssimazione di Taylor calcolare, se esiste, al variare di n ∈ N
lim
x→0
ln(cos(10x3))
|x|n
5. (a) Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze P
n≥1 10n
n3xn.
(b) Calcolare l’insieme su cui la precedente serie converge.
(c) Scrivere la formula di derivazione termine a termine per la precedente serie, specificando il suo significato ed il dominio dove `e valida.
6. Data la funzione definita da f (x) = −(x−3)(x−10)20 , usando il criterio del confronto asintotico, stabilire se la parte illi- mitata del piano contenuta nel semipiano {(x, y) : x ≥ 30}
e compresa fra il grafico della funzione l’asse x ha area finita. In caso affermativo determinarla.
7. Rispondere ai seguenti punti sulla funzione definita da f(x) =
(x−3x x >0
−(x−10)1 2 x≤ 0.
(a) Disegnare il grafico della funzione f . (b) Della funzione definita da F (x) =
Z x
11
f(t)dt deter- minare dominio, insieme di derivabilit`a, eventuali punti angolosi, cuspidi e asintoti.
(c) Disegnare il grafico di F .
(d) Interpretare in termini di aree il valore F (x0), al variare di x0 nel dominio di F .
(e) Disegnare la regione S del piano definita da {(x, y) :
|y| ≤ |f(x)|}. L’area di S `e finita? Spiegarne il motivo.
8. Data la successione n 7→ xn = (1110√
x)n, determinare, usando la definizione, per quali valori di x ∈ R la serie X
n≥3
xnconverge, diverge o `e irregolare.
Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.
