i. Se f ` e una funzione continua e derivabile definita sull’intervallo aperto (a, b) e la derivata di f

ANALISI MATEMATICA I (2008/09) Prova scritta del 30 giugno 2009

(` E possibile consultare solo i libri di testo, Analisi matematica 1 e 2 di E. Giusti)

Esercizio 1 Dimostrare o confutare i seguenti enunciati:

i. Se f ` e una funzione continua e derivabile definita sull’intervallo aperto (a, b) e la derivata di f

`

e limitata superiormente ed inferiormente, allora f ` e uniformemente continua in (a, b).

ii. Se f ` e una funzione continua e derivabile definita sull’intervallo aperto (a, b) ed ivi uniformente continua, allora la derivata di f ` e limitata superiormente ed inferiormente.

Esercizio 2 Dire se la successione di funzioni f n (x) = sin ⁿ x definite nell’intervallo [−π, π] con- verge puntualmente e determinare l’eventuale limite. Determinare gli intervalli [a, b] contenuti in [−π, π] nei quali la successione di funzioni converge uniformemente. Infine calcolare

n→∞ lim Z _π/4

−π/4

f _n (x) dx .

Esercizio 3 Determinare il raggio di convergenza della serie

∞

X

n=1

n3 ⁿ x ⁿ , e calcolarne la somma nell’intervallo di convergenza.

Esercizio 4 Determinare per quali valori del parametro α ∈ R converge l’integrale improprio Z +∞

0

sin ² x x ^α dx .

Esercizio 5 Si consideri l’equazione differenziale y ⁰ = cos x − y cos x.

i) determinare le eventuali soluzioni costanti in tutto R.

ii) detta y ^∗ (x) l’unica soluzione del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0) = 2, si dimostri a partire dall’equazione che y ^∗ dovr` a essere decrescente nell’intervallo (−π/2, π/2).

iii) risolvere il problema di Cauchy precedente determinando la forma esplicita di y ^∗ .

Esercizio 6 Determinare se esiste il limite nell’origine della funzione f (x, y) = x ³ y

x ⁶ + y ² ,

e, se esiste, calcolarlo. Passando poi alle coordinate polari, mostrare che per ogni θ fissato in [0, 2π[

ρ→∞ lim f (ρ cos θ, ρ sin θ) = 0 .

1

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

Esercizio 1 i) Se f ` e derivabile e |f ⁰ (x)| ≤ M in (a, b), allora per il teorema di Lagrange esiste ξ ∈ (a, b) tale che:

|f (x) − f (y)| = |f ⁰ (ξ)||x − y| ≤ M |x − y| ∀x, y ∈ (a, b) e la f ` e Lipschitziana e quindi uniformemente continua nell’intervallo.

ii) Non tutte le funzioni uniformemente continue e derivabili in un aperto (a, b) hanno derivata limitata. Basta pensare alla funzione f (x) = √

x che i (0, 1) ` e u.c. e derivabile, ma la sua derivata f ⁰ (x) = 1/(2 √

x) non rimane limitata nell’intorno dell’origine.

Esercizio 2 Per ogni x ∈ [−π, π] diverso da ±π/2: lim sin ⁿ x = 0 ; inoltre lim sin ⁿ (π/2) = 1, mentre non esiste lim sin ⁿ (−π/2). E facile vedere che si ha convergenza uniforme in ogni in- ` tervallo chiuso contenuto negli intervalli (−π, −π/2), (−π/2, π/2) e (π/2, π). Per quanto detto nell’intervallo (−π/4, π/4) vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale, quindi il limite proposto varr` a zero.

Esercizio 3

ρ = lim

n→∞

n3 ⁿ

(n + 1)3 ⁿ⁺¹ = 1 3 ,

per cui la serie converge assolutamente nell’insieme aperto A = {|x| < 1/3} (negli estremi non c’` e convergenza. Inoltre

∞

X

n=1

n3 ⁿ x ⁿ = 3x

∞

X

n=1

n(3x) ⁿ⁻¹ = x

∞

X

n=1

((3x) ⁿ ) ⁰ = x

 1

1 − 3x

 0

= 3x

(1 − 3x) ² .

Esercizio 4 In un intorno dell’origine sin ² x

x ^α ' 1

x ^(α−2) ,

per cui serve α − 2 < 1, cio` e α < 3 per la convergenza dell’integrale improprio per esempio tra 0 e 1. D’altra parte all’infinito

sin ² x x ^α ' 1

x ^α ,

per cui serve α > 1 per la convergenza dell’integrale improprio ad esempio tra 1 e +∞. In definitiva l’integrale proposto converger` a per ogni α ∈ (1, 3).

Esercizio 5 i) L’equazione differenziale si pu` o scrivere y <sup>0</sup> = (1 − y) cos x, per cui l’unica soluzione costante pu` o essere y(x) ≡ 1.

ii) Per la soluzione del problema di Cauchy proposto, tenendo conto della condizione iniziale, si avr` a che y <sup>∗</sup> (x) > 1 in un intorno dell’origine, dove del resto cos x > 0. Quindi (y <sup>∗</sup> ) <sup>0</sup> (x) < 0 (cio` e y ^∗ decrescente) in un intorno dell’origine che conterr` a l’intervallo (−π/2, π/2). A sinistra di zero

`

e ovvio perch´ e la soluzione rester` a sempre maggiore di due. A destra di zero perch´ e la soluzione

non pu` o tagliare la soluzione costante y(x) ≡ 1 per i soliti argomenti di segno e di unicit` a della

soluzione del problema di Cauchy.

iii) L’equazione data ` e lineare, per cui dalla formula risolutiva y(x) = e ^{− sin x}

 c +

Z

cos x e ^{sin x} dx



= e ^{− sin x} c + e ^{sin x}
= ce ^{− sin x} + 1 , e la condizione iniziale d` a: y(0) = c + 1 = 2, per cui sar` a c = 1 e y ^∗ (x) = e ^{− sin x} + 1.

Esercizio 6 I limiti iterati e in generale i limiti lungo ogni retta per l’origine valgono zero, per` o ad esempio lungo la curva y = x ³ :

x→0 lim f (x, x ³ ) = lim

x→0

x ⁶ 2x ⁶ = 1

2 ,

per cui il limite non esiste. Passando a coordinate polari, si nota poi che f (ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ ⁴ cos ³ θ sin θ

ρ ⁶ cos ⁶ θ + ρ ² sin ² θ = cos ³ θ sin θ ρ ² cos ⁶ θ + ^sin _ρ

^θ

;

per ρ → ∞ e θ fissato quindi il numeratore non cambia mentre il denominatore va a +∞, per cui

il limite sar` a zero.