C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

(1)

Controlli Automatici - Prima parte 20 Giugno 2018 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

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C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risolvano i seguenti esercizi.

a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) = L[x(t)] dei seguenti segnali temporali x(t):

x1(t) = [2 cos(3t) − 7 t] e^−4t, x2(t) =

0 t <4

2 e^{−3 (t−4)}sin(5(t − 4)) t ≥ 4 a.2) Calcolare la trasformata di Laplace inversa y(t) = L^-1[Y (s)] delle seguenti funzioni Y (s):

Y1(s) = 30

s(s + 3)(s − 2), Y2(s) = 24

s⁴ + 6

(s + 4)³ + 2 e^{−3 s}

b) Relativamente allo schema a blocchi riportato in figura, calcolare le funzioni di trasferimento G₁(s) e G₂(s):

G₁(s) = _R^Y^(s)

1(s) = . . .

G2(s) = _R^Y₂^(s)_(s) = . . .

R₁(s) R2(s) Y(s)

B A

F

C D G

E

c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).

Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:

c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;

c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;

c.3) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ = 45^◦;

c.4) la risposta a regime yr(t) del sistema G(s) ad un ingresso sinusoidale x(t) = 2 cos(8.2t);

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2

10 12

15 18

22

27

33 39

47 56

68

Diagramma di Nichols G1(jω)

c.1) Ma =. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) y (t) = . . . .

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Imag

2.2 2.7 3.3

3.9 4.7

5.6 6.8

8.2 1012 151822

33 56

120

Diagramma di Nyquist G2(jω)

c.1) Ma=. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) y (t) = . . . .

(2)

d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s)

10(s²+ 0.8 s + 4) s²(s − 20)

- 6

r(t) y(t)

d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione G(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

Ge(s) 40(s + 1) (10s − 1)(s − 10)

- 6

r(t) y(t)

e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).

e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).

G(s) = . . .

Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

f.2) Calcolare la risposta a regime y_∞(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il segnale:

x(t) = 3 cos(10 t −^π₃).

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-180 -135-90 -45 0 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato `e la seguente:

y_∞(t) =

(3)

Controlli Automatici - Prima parte 20 Giugno 2018 - Domande

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Si risponda alle seguenti domande.

1. Scrivere, in funzione dei segnali x(t) e y(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(s) = Y(s)

X(s) = (s + 2)²

s³+ 3 s²+ 5 s + 2 → . . .

2. Calcolare il segnale sinusoidale in ingresso x(t) del seguente sistema quando in uscita, a regime,

`e presente il segnale sinusoidale y(t):

x(t) = . . . _- 3

(s + 2)² ^-

y(t) ≃ 6 sin(2t − 90^◦)

3. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione ^3(1−s)_(s+1)2. Utilizzando il criterio di Nyquist `e possi-

bile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

K₁^∗ < K < K₂^∗ <0;

K₁^∗ < K < K₂^∗; 0 < K₁^∗ < K < K₂^∗; (K < K₁^∗) ∪ (K > K₂^∗);

Indicare i valori dei parametri K₁^∗ e K₂^∗:

K₁^∗ = . . . K₂^∗ = . . . ^-4 ^-3 ^-2 ^-1 Real⁰ ¹ ² ³ ⁴ -4

-3 -2 -1 0 1 2

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1 0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.470.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.22.73.3 4.7 6.8

15

4. Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 160(2 + 0.3s)(s²+ 10s + 40²)

(2s + 16)(2s + 15)²(s²+ 12s + 100)(s²+ 0.6s + 16) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y_∞ = Ta≃ Tω ≃

t y1(t)

5. Nella scomposizione in fratti semplici, qual `e la posizione p1,2 e il grado di molteplicit´a ν della coppia di poli complessi coniugati p1,2 = σ ± jω corrispondente all’andamento temporale g1(t) = 2 t³e^{−4 t}sin(7 t + 5):

p = σ ± jω = ±j ν=

(4)

6. Calcolare il valore iniziale y0 = lim

t→0⁺y(t) e il valore finale y_∞ = lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y(s) = 3 (4s − 5)(s + 1)²

s[(s + 2)²+ 1] → y0 = y_∞=

7. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione del grafico, calcolare:

a) la posizione della coppia di poli domi- nanti p1,2 del sistema G(s):

p_1,2 ≃ . . . .

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino del sistema G(s):

Ta≃ . . . .

c) il margine di fase del sistema G(s):

Mϕ ≃ . . . .

d) il margine di ampiezza del sistema G(s):

Ma ≃ . . . .

10^-1 10⁰ 10¹

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-1 10⁰ 10¹

Frequency [rad/s]

-270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

8. Calcolare la posizione σa dell’asintoto verticale del diagramma di Nyquist della funzione G(s):

G(s) = (2 s + 3)(1 − 5 s)

s(s²+ 3 s + 5)(s + 6) → σa =

9. Calcolare i parametri a e b della funzione di trasferimento G(s) = _s+b^a caratterizzata da un guadagno statico G(0) = −3 e da un tempo di assestamento Ta= 0.6 s alla risposta al gradino:

G(s) = a

s+ b → a= . . . b= . . .

10. Un sistema G(s) retroazionato `e asintoticamente stabile se e solo se : il margine di fase Mϕ >0;

il margine di fase Mϕ >1;

il margine di ampiezza Ma>0;

il margine di ampiezza Ma>1;

11. Calcolare l’evoluzione libera del sistema 2 ˙y(t) + 3 y(t) = 0 partendo dalla condizione iniziale y(0) = 5.

Y(s) = y(t) =

12. Il picco di risonanza MR di un sistema del 2^◦ ordine `e:

MR=_2δ^√¹

1−2δ² MR=₂^√ ^δ

1−2δ² MR=₂^√^δ

1−δ² MR=_2δ^√¹

1−δ²

13. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t0 >0:

G(s) = (3 − 2 s)(2 s + 1)

s²(s − 4)² e^{−2 t}⁰^s → (M (ω) = ϕ(ω) =

(5)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ Frequency [rad/s]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag (db)

Diagramma dei moduli: Gd(s)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

0 45 90 135 180 225 270 315 360

Phase (deg)

Diagramma delle fasi: Gd(s)

(6)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ Frequency [rad/s]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag (db)

Diagramma dei moduli: Ge(s)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

0 45 90 135 180 225 270 315 360

Phase (deg)

Diagramma delle fasi: Ge(s)