Esercizio 3

Esercizio 3

Antonino Polimeno

Universit`a degli Studi di Padova

Integrazione in Matlab - 1

Per integrare una funzione analiticain 1D:

1. si definisce una funzione

2. si utilizza il comando integral, che `e basato sul metodo global adaptive quadrature

Per integrare una funzione nota per puntiin una griglia regolare:

1. si definisce una funzione

2. si utilizza il comando trapz, che `e basato sul metodo dei trapezi

Integrazione in Matlab - 2

Per integrare una funzione analiticain 2D:

1. si definisce una funzione

2. si definisce il dominio di integrazione, se serve 3. si utilizza il comando integral2

Esempio: la funzione f (x ) = ^{exp −xy}_{1+x +y} `e integrata nel dominio triangolare 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 − x

Calcolo dell’entropia di CS

Il calore molare del CS₂ in funzione di T , a p = p^, `e

T K⁻¹ C_p,mcal⁻¹K mol

15.05 1.65

20.15 2.87

29.76 4.96

42.22 6.97

57.51 8.50

75.54 9.57

89.37 10.31

99.00 10.98

108.93 11.59

131.4 12.58

144.31 13.05

156.83 13.53

163.93 18.10

192.30 17.91

227.34 17.93

269.69 18.08

278.22 18.06

297.43 18.17

Il CS2 fonde a 161.11 K con un ∆H = 1049.0 cal mol⁻¹

Possiamo calcolare l’entropia assoluta a 298.15 K di una mole di CS2 come

S (298.15) = S (0) +

Z 161.11

0

Cp,m(s)

T dT +1049.0 161.11 + +

Z 298.15

161.11

Cp,m(l )

T dT

L’integrazione a partire da 0 fino alla temperatura di fusione `e sostituita da una integrazione da a 0 alla prima temperatura misurata, in cui il calore molare viene stimato in base alla legge di Debye

Z 161.11 0

Cp(s) T dT =

Z T1

0

Cp,m

T +

Z 161.11 T1

Cp(s)

T dT

N.B. Per il III principio S (0) = 0.

Il contributo iniziale viene stimato quindi come Z T1

0

Cp,m

T ≈

Z T1

0

aT² = aT₁³

3 ≈ Cp,m(T1)

3 = 1.65

3 = 0.55 I contributi restanti si possono ottenere

I interpolando i dati disponibili dei calori molari ed integrando analiticamente, oppure

I generalizzando la regola dei trapezi Si ottiene S (298.15) = 36.0 cal K⁻¹.

Metodo dei trapezi

Per una serie di punti non regolari a = x1, x2, . . . , b = xn, a cui corrispondo valori della funzione integranda f1, f2, . . . , fn, l’integrale

I = Z b

a

f (x )dx

si stima come

I ≈ 1 2

n−1

X

i =1

(fi + fi +1) (xi +1− x_i)

N.B. Se x_{i +1}− x_i = h per ogni valore di i , si ritrova la classica formula dei trapezi: I ≈= h (f1/2 + f2+ . . . + fn−1+ fn)