la definizione di potenza n-sima

algebra

Proprietà delle Potenze

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Si definisce potenza n-sima di base 𝒂𝒂 ed esponente 𝒏𝒏, la moltiplicazione della base per se stessa 𝒏𝒏 volte cioè: 𝒂𝒂

^𝒏𝒏

= 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ … ∙ 𝑎𝑎 con base 𝒂𝒂 numero reale e con esponente 𝒏𝒏 numero naturale

generalizzazione

la definizione di potenza n-sima 𝒂𝒂

^𝒏𝒏

si può generalizzare a quella di potenza reale 𝒂𝒂

^𝜶𝜶

nel caso in cui l’esponente

𝜶𝜶

sia un reale, in questo caso la base 𝒂𝒂 deve essere > 0

proprietà

𝑎𝑎

⁰

= 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0 0

^𝑛𝑛

= 0

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 ≠ 0 0

⁰

= 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐

potenze con la stessa base

𝑎𝑎 ^𝑚𝑚 ∙ 𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ^{𝑚𝑚+𝑛𝑛}

prodotto di potenze con la stessa base

2

⁷

∙ 2

³

= 2

¹⁰

𝑎𝑎 ^𝑚𝑚 : 𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ^{𝑚𝑚−𝑛𝑛}

rapporto di potenze con la stessa base

2

⁷

: 2

³

= 2

⁴

(𝑎𝑎 ^𝑚𝑚 ) ^𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ^{𝑚𝑚∙𝑛𝑛}

potenza di potenza

(2

⁷

)

³

= 2

²¹

potenze con lo stesso esponente

𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 ^𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) ^𝑛𝑛

prodotto di potenze con lo stesso

esponente

10

³

∙ 2

³

= 20

³

𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 : 𝑏𝑏 ^𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎

𝑏𝑏 � ^𝑛𝑛

rapporto di potenze con lo stesso

esponente

10

³

: 7

³

= � 10

7 �

3

𝑎𝑎

^−𝑛𝑛

= 1

𝑎𝑎

^𝑛𝑛 potenza ad esponente negativo

5

⁻³

= 1

5

³

� 𝑎𝑎 𝑏𝑏�

−𝑛𝑛

= � 𝑏𝑏 𝑎𝑎�

𝑛𝑛

frazione ad esponente negativo

� 5 7�

−3

= � 7 5�

3

𝑎𝑎

^{𝑚𝑚𝑛𝑛}

= √𝑎𝑎

^{𝑛𝑛 𝑚𝑚} potenza ad esponente frazionario

5

²³

= �5

^{3 2}

� 𝑎𝑎 𝑏𝑏 �

𝑚𝑚𝑛𝑛

= �� 𝑎𝑎 𝑏𝑏 �

^𝑚𝑚

𝑛𝑛 frazione ad esponente frazionario

� 7

5�

23

= �� 7 5�

3 2

𝑎𝑎

^{− 𝑚𝑚𝑛𝑛}

= 1

𝑎𝑎

^{𝑚𝑚𝑛𝑛}

= 1

√𝑎𝑎

^𝑚𝑚

𝑛𝑛 potenza ad esponente frazionario

negativo

5

^{− 23}

= 1

5

²³

= 1

√5

²

3

altri esempi

(−5)

²

= 25 −5

²

= −25 (−5)

³

= −125 −5

³

= −125

fai attenzione alla presenza delle parentesi che coinvolgono il segno nell’operazione di potenza

fai attenzione all’esponente che può essere pari o dispari n volte