1) Definizione di potenza: $ … !# ! "

FUNZIONE ESPONENZIALE

1) Definizione di potenza: $ … !# ! "

volte n

n

a a a

a = ⋅ ⋅ a base n esponente a

ⁿ

potenza Proprietà delle potenze: a, b ∈ ℜ

⁺

0

= 1

a ^con a ≠ 0 ; a

¹

= a ^; 1

ⁿ

= 1 ^; 0

ⁿ

= 0 ^con n ≠ ⁰ ; 1) a

^m

⋅ a

ⁿ

= a

^m+n

n n

n

a

a a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

−

1 1

Es:

2 2

3 4 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⁻

2)

_n ^{m n}

m

a a

a

₋

= ^a

^mn

=

ⁿ

^a

^m

^Es:

⁵

3 5

a

3

= a

3) ^a

^m

^{⋅ b}

^m

⁼ ( ) ^{a ⋅ b}

^m

_{n m}

n m n m

a a

a

⁻

= 1 = 1

4)

n n

n

b a b

a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

5) ( ) ^a

^{m n}

^{= a}

^m⋅n

2) Definizione di funzione esponenziale

Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente f : x → a

^x

, con a ∈ ℜ

0⁺

− { } ¹

Tale funzione assume valori reali ∀x ∈ ℜ , pertanto ha come dominio

(insieme di valori che posso attribuire alla x affinché la y sia calcolabile)

tutti i numeri reali: D = ℜ . Mentre l’insieme delle immagini ( i valori assunti dalla variabile y) sono tutti i numeri positivi: f (D ) = ℜ

⁺

^.

Distinguiamo due casi: 0 < a < 1 ^e a > 1 Esempi:

x

y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 2

1 _, 0 < a < 1 y 2 =

^x

^, a > 1

se 0 < a < 1 è decrescente. se a > 1 à è crescente,, 3) Definizione di logaritmo.

Il logaritmo di un numero b positivo, in una base a, con a>1 e a ≠ 1, è l’esponente da dare ad a per ottenere b.

In simboli a

^logab

= b .

La soluzione dell’equazione a

^x

= , con a>0 e a b ≠ 1, ammette una e una sola soluzione per ogni b>0 e viene indicata con il simbolo x = log

_a

b ^.

4) Definizione di funzione logaritmica.

La funzione f : x → log

_a

x definita per tutti i numeri positivi, con a ∈ ℜ

0⁺

− { } ¹ è l’inversa della funzione esponenziale.

Esempi: y = log

₂

x ^{, 0} < a < ¹ y x

2

log

1

= ^, a > 1

5) Proprietà della funzione logaritmica: (seguono dalle proprietà delle potenze) 0

1 log 1

0

= ⇒ =

∀ a a

_a

log

_a

a

ⁿ

= n

1 log

1

= ⇒ =

∀ a a a

_a

a a

^logan

= n (segue direttamente dalla definizione a

^x

= n ⇔

^{de f.}

x = log

_a

n ⁾

( ) ^{m n}

a

^m

a

ⁿ

a

log log

log ⋅ = +

n n m

m

a a

a

log log

log ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

n m

n

^m _a

a

log

log =

a n n

b b

a

log

log = log (formula del cambiamento di base)

Esercizi:

Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

1. 3

^x

= 27 ^{S =} { } ³

2. 5

^x+3

= 2

^x

⋅ 8 S = { } − ³

3. 3

^x−1

+ 3

^x−2

+ 3

^x+1

= 31 ^{S =} { } ²

4. 9

^x

− 7 ⋅ 3

^x

= 2 ⋅ 3

^x

^{S =} { } ²

Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:

1. 3

^x

> 27 S = x { } > ³

2. 32

2 1 ⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

^x

S = x { > − ⁵ }

3. 5

^x+3

< 2

^x

⋅ 8

4. 3

^x−1

+ 3

^x−2

+ 3

^x+1

> 31 5. 9

^x

− 7 ⋅ 3

^x

< 2 ⋅ 3

^x

Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:

1. ^log

3

( ³ x − ⁴ ) = ²

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧ 3 S 13

2. ^{2 Log} ( ^{x + 3} ) ^{= Log} ( ) ^{x − 1 + 4 Log 2 S =} { } ⁵

3. log log 2

2 1

4

2

x + x = S = { } ⁴

4. ^log

³

( ^{2 − 3}

^x

) ^{+ x = 0 S =} { } ⁰

5. ( ⁷ − ⁶ ) _{= 2}

Logx x

Log S = {} ¹

6. 3 log

₃²

x + 5 log

₃

x − 2 = 0

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧ ,

³

3 9 S 1

Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche:

1. log log 5

2 1 2

1

x < S = x { } > ⁵

2. ^Log ( ^{x − 3} ) ^{< 1 S =} { ^{3 < x < 13} }

3. ^log ( ^{2 1} ) ²

2

1

x + > −

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ − < <

= 2

3 2

1 x

S 4. ( ^log ) ^log

3

⁰

2

3

x − x < S = { ¹ < x < ³ }

5. ^LogLog ( ^x

²

^{− 6} ) ^{< 0}

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ − < < − < <

= ,

³

3

9 4 1 7

; 7

4 x x

S