Disequazioni goniometriche elementari

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA

Prof. Francesco Marchi

1

Esercitazione su: angoli, funzioni e formule

goniometriche

Indice

1 Goniometriche 2

1.1 Introduzione. . . 2

1.2 La soluzione degli altri tipi di disequazioni goniometriche . . . . 2

1.3 Periodicit`a delle soluzioni . . . 4

2 Esponenziali 4 3 Logaritmiche 4 4 Risoluzione di disequazioni 5 4.1 In forma canonica o facilmente riconducibili . . . 5

4.1.1 Algebriche. . . 5

4.1.2 Goniometriche . . . 5

4.1.3 Esponenziali . . . 8

4.1.4 Logaritmiche . . . 8

4.2 Risolubili tramite sostituzione . . . 9

4.2.2 Esponenziali . . . 9

4.2.3 Logaritmiche . . . 9

4.3 Fratte e di tipo prodotto . . . 9

4.4 Risolubili mediante l’applicazione di formule. . . 10

4.4.1 Formule goniometriche . . . 10

4.4.2 Formule relative agli esponenziali . . . 10

4.4.3 Formule relative ai logaritmi . . . 10

4.5 Risolubili con tecniche varie . . . 11

4.5.1 Disequazioni lineari . . . 11

1_{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

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4.5.2 Disequazioni omogenee (o riconducibili) di secondo grado

in sin x e cos x . . . 11

5 Esercizi vari 11 5.1 Discussione di casi generali . . . 11

5.2 Stabilire se un dato numero `e soluzione . . . 11

5.2.1 Goniometriche . . . 11 5.2.2 Algebriche. . . 12 5.2.3 Goniometriche . . . 12 5.2.4 Esponenziali . . . 12 5.2.5 Logaritmiche . . . 12 5.2.6 Trascendenti . . . 12 5.3 Intuire soluzioni. . . 12 5.3.1 Esercizio 1 . . . 12

5.4 Classificare disequazioni in base alla loro tipologia . . . 12

5.5 Inventare disequazioni di dato tipo . . . 13

5.6 Descrivere verbalmente tecniche di soluzione. . . 13 Disequazioni in forma canonica

Le principali forme canoniche delle disequazioni di vario tipo sono riportate nella tabella1

1 Goniometriche

1.1 Introduzione

Risolvere la disequazione

sin x < 0, 2 (1)

Se leggiamo a parole questa equazione, significa che dobbiamo trovare gli angoli il cui seno vale meno di 0,2. Guardiamo la figura1(a): tutti gli angoli evidenziati in azzurro soddisfano la condizione richiesta, mentre non la soddisfano quelli colorati in arancione. Per essere più precisi, andranno bene tutti gli angoli compresi tra i due angoli limite evidenziati in azzurro nella figura1(b). Perciò potremo scrivere che la soluzione della disequazione data è:

π + α < x < −α; o anche (π + α, α)

Ma chi `e, in questa scrittura, α? E’ proprio l’angolo il cui seno vale 0,2, ossia: α = sin−1(0, 2) ' 0, 2 ' 11, 54◦

1.2 La soluzione degli altri tipi di disequazioni

goniomet-riche

Analogamente si potranno risolvere altri tipi di equazioni goniometriche. Avre-mo allora la tabella2.

2

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Tabella 1: Panoramica sui vari tipi di disequazioni in forma canonica.

Tipologia Disequazione Tabella riferimento

Algebriche _{ax ≷ b} ax2_{+ bx + c ≷ 0} [f (x)]n ≷ a n pf(x) ≷ a Goniometriche _{sin f (x) ≷ a} 2 cos f (x) ≷ a 2 tan f (x) ≷ a Esponenziali af (x)_{≷ b} 4 af (x)_{≷ a}g(x) af (x) ≷ bg(x) Logaritmiche log_a_{f (x) ≷ b} 5 logaf (x) ≷ logag(x) logaf (x) ≷ logbg(x)

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(a)

(b)

Figura 1: Grafici utilizzati per determinare la soluzione della disequazione sin x < 0.2.

Nel caso in cui vogliamo essere pi`u specifici, possiamo riassumere le soluzioni come in tabella3.

1.3 Periodicit`

a delle soluzioni

Ovviamente anche per le disequazioni goniometriche i multipli sono soluzioni. Tuttavia, poich´e questo fatto, in alcuni casi, pu`o dare origine a complicazioni, ci concentreremo solo sulle soluzioni nell’intervallo [0, 2π].

2 Esponenziali

3 Logaritmiche

Disequazioni: esercizi 4

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Tabella 2: La soluzione delle disequazioni goniometriche in forma canonica.

Disequazione Condizione su a Soluzione

a < −1 R sin x > a; cos x > a −1 ≤ a ≤ 1 _{I ⊆ R} a > 1 ∅ a < −1 ∅ sin x < a; cos x < a −1 ≤ a ≤ 1 I ⊆ R a > 1 _R

4 Risoluzione di disequazioni

Risolvere le disequazioni goniometriche proposte di seguito, nell’intervallo [0, 2π]. Nota: le disequazioni contrassegnate da un asterisco portano ad un risultato che non `e un angolo notevole.

4.1 In forma canonica o facilmente riconducibili

4.1.1 Algebriche 4.1.2 Goniometriche sin x > 1 2 (2) 3 sin x + 6 > 0 (3) 3 2cos x − 2 ≥ cos x − 7 4 (4) 3 tan x ≤√3 (5) sin x ≤ −1 3 (∗) (6) sin x − 1 2 + 1 − sin x 3 ≥ 1 (7)

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Tabella 3: La soluzione delle disequazioni goniometriche in forma canonica (dettaglio).

a < −1 [0, 2π] a = −1 h0,3₂π∪3 2π, 2π i sin x > a −1 ≤ a ≤ 1 I ⊂ [0, 2π] a = 1 h0,π 2 ∪π 2, 2π i a > 1 ∅ sin x ≤ a; a < −1 . . . a = −1 . . . . . . . 6

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Tabella 4: La soluzione delle disequazioni esponenziali nella forma canonica af (x)_{≷ b.}

Disequazione Condizione su b Condizione su a Soluzione

af (x)_{> b} _{b ≤ 0} R b > 0 a > 1 f (x) > log_ab a < 1 f (x) < log_ab af (x)< b b ≤ 0 ∅ b > 0 a > 1 f (x) < logab a < 1 f (x) > logab

Tabella 5: La soluzione delle disequazioni logaritmiche nella forma canonica logaf (x) ≷ b.

logaf (x) > b a > 1 f (x) > ab a < 1 f (x) < ab log_af (x) < b a > 1 f (x) < ab a < 1 f (x) > ab

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sin2π 5 −8 5cos x < 2 − cos 2π 5 (∗) (8) 2 − tan x ≤ 0 (∗) (9) 3 cos x − 1 ≥ 0 (∗) (10) 1 2cos x + 3 4 < 0 (11) tan x > 0 (12)

3 tan(x − π) + 2 tan(π − x) ≤ sinπ 2 (13) sin(x + π) − cosx − π 2 ≥ 1 (14) 2 sin x −√2 < 0 (15) 2 cos x + 5√3 ≥ 4√3 (16) 4.1.3 Esponenziali √ 2 − 2x> 0 (17) 2 3 2x ≥ 27 8 (18) 1 2 x2−3x < 4 (19) 1 5 x2−3x+2 > 1 25 (20) (21) 2 ≤ −3x (22) 5 √ e3_≤ e 2x ex+1 (23) 4 5 x−3x >5 4 x−1 (24) 2x−5 4 √ 16x ≤ 3 √ 24x−1 ₍₂₅₎ 4.1.4 Logaritmiche log2 3x ≥ 3 4 (26) log3 2x ≥ −1 (27) (28) 8

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log7

3x ≥ 2 (29)

log√

2x ≥ 3 (30)

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4.2 Risolubili tramite sostituzione

4.2.1 Goniometriche 2 cos 2x −√2 < 0 (32) sinπ 4 − x ≥ √ 2 2 (33) 2 cos2x + 3 cos x + 1 > 0 (34) 1 − tan2> 0 (35) 2 cos23x − cos 3x < 0 (36) tan 4x ≥√3 (37) tan2x −π 3 ≥ − √ 3 3 (38) 2 − 2 cos25x > 3 cos 5x (39) tan2x − 3 tan x − 4 ≥ 0 (∗) (40) 2 sin2x − 3√2 sin x + 2 ≥ 0 (41) 4.2.2 Esponenziali 22x−3− 2 · 2x−2_{> 0} ₍₄₂₎ 2x+ 2−x≤17 4 (43) 1 2 2x −1 2 x > 2−x (44) e2x− ex+1_{+ e}x_{− e ≥ 0} ₍₄₅₎ 4.2.3 Logaritmiche log21 2 x − 4 ≥ 0 (46) 2 log2₄x − log₄x > 0 (47)

4.3 Fratte e di tipo prodotto

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sin x 2 cos x − 1 ≥ 0 (48) (2 cos x +√2)(2 sin x −√3) ≥ 0 (49) cos 2x tan x + 1 ≤ 0 (50) ex−1x ≥ 0 (51) e−x(x2− 5x + 4) ≤ 0 (52) ex+ 1 ex_{− 1} > 0 (53) 2 sin x − 1 2 sin x + 1 ≥ 0 (54) cos x(tan x + 1) > 0 (55) sin(x/2) 2 sin x − 1 < 0 (56) sin 2x(tan x −p3) ≥ 0 (57) 3 √ 2−x_{· 2}x+1 2x+1_{− 2}x ≥ 2 √ 2 (58) log₂x + 3 logx−2 ≥ 0 (59) 3 − log₃x log1 2x − 1 ≤ 0 (60)

4.4 Risolubili mediante l’applicazione di formule

4.4.1 Formule goniometriche sin 2x − cos x ≤ 0 (61) sin2x + π 4 >1 2 (62) sin 2x − 2 sin x > 0 (63) 2 tanx +π 4 > 1(∗) (64) 2 tan x + tanx +π 4 ≤ 0 (∗) (65)

4.4.2 Formule relative agli esponenziali 4.4.3 Formule relative ai logaritmi

log(x − 3) − log(x − 1) < 1 (66) _ln2 x √ 2_{+ ln x}3_{− 2 ≥ 0} ₍₆₇₎ 10

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4.5 Risolubili con tecniche varie

4.5.1 Disequazioni lineari sin x ≥√3 cos x (68) 3 sin x − 2 cos x > −6 (69) sin x − (2 +√3) cos x − 1 ≥ 0 (70) sin x + 3 cos x + 1 ≤ 0 (∗) (71) 4.5.2 Disequazioni omogenee (o riconducibili) di secondo grado in

sin x e cos x

2 sin2x − sin x cos x + cos2x ≥ 0 (72)

4 sin2x − 2√3 sin x cos x − 2 cos2x < 1 (73)

sinx−3 sin x cos x + 1 ≥ 0 (∗) (74)

sin2x − 2 sin x cos x + 3 cos2x ≥ 0 (75)

cos2x + 3 sin x cos x + 1 ≥ 0 (∗) (76)

3 cos2x − sin2x > 2 sin x cos x (77)

5 Esercizi vari

5.1 Discussione di casi generali

Creare tabelle analoghe alla3per le seguenti disequazioni: tan x > a; sin x ≤ a; . . .

5.2 Stabilire se un dato numero `

e soluzione

5.2.1 Goniometriche

Si consideri la disequazione goniometrica seguente: sin x +43 3 cos x −1 2 < 0 Si indichi quale/i fra le seguenti sono sue soluzioni:

x = π₆; _{x =} 7 3π; x = π 3; x = − π 6; x = 0

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5.2.2 Algebriche 5.2.3 Goniometriche Esercizio 1 5.2.4 Esponenziali 5.2.5 Logaritmiche 5.2.6 Trascendenti

5.3 Intuire soluzioni

5.3.1 Esercizio 1

Si consideri la disequazione seguente:

x23+ 2 sin x + 3 > 0 Proporre almeno due sue soluzioni.

5.4 Classificare disequazioni in base alla loro tipologia

Stabilire quali fra le seguenti sono disequazioni goniometriche; successivamente, specificare di che tipo di disequazione goniometrica si tratta.

3 sin x ≤ 2 tanπ 4 (78) x2+ 1 > tan π 79 (79) sin4 3π < 2y (80) sin 1 + 3 sin8 3x + cos 8 3x < 0 (81) tan x5≥ 2 (82) 8 − 4 sin 7x > 3 + 2 cos 7x (83) cos(y2+ 1) > −1 (84) x2+ 1 < cos−4 5π (85) cosπ 2 + sin π 2 + π 4 ! − x ≥ 3x2 (86) 2 sin y + 4 cos y < 7 (87) sin2x + 4

9sin x cos x − cos

2_{x < 3 + 5 sin}2_x

(88)

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5.5 Inventare disequazioni di dato tipo

5.5.1 Goniometriche

Scrivere, a proprio piacimento una disequazione goniometrica: • risolubile mediante cambiamento di variabile

• omogenea lineare in seno e coseno

• riconducibile ad omogenea di II grado tramite cambiamento di variabile e applicazione della relazione goniometrica fondamentale

• lineare in seno e coseno, in cui compaia il termine x3

• fratta, in cui il numeratore sia composto da due fattori e il denominatore da un solo fattore

• fratta tale che: il numeratore è costituito da un solo fattore omogeneo di II grado in seno e coseno; il denominatore è costituito da 2 fattori, uno dei quali è risolubile tramite disequazione elementare e l’altro tramite disequazione lineare

• di tipo prodotto, in cui almeno uno dei termini si risolve mediante sosti-tuzione

• di tipo prodotto, in cui almeno uno dei due termini `e di tipo riconducibile a omogeneo di II grado in seno e coseno

5.6 Descrivere verbalmente tecniche di soluzione

Descrivere a parole, eventualmente per punti o avvalendosi di uno schema, il procedimento di soluzione dei seguenti tipi di disequazioni goniometriche:

• lineare in seno e coseno • elementare • omogenea di II grado • fratta • di tipo prodotto