Tubi a parete spessa

(1)

Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Lecture 16

(2)

Introduzione

• Con il termine «solidi assialsimmetrici» intendiamo

quei componenti riconducibili a solidi di rotazione (tubi, dischi, etc.)

• Obiettivo: determinazione dello stato di

sforzo/deformazione conseguente all’applicazione di sollecitazioni (principalmente carico di pressione)

• Tubi spessi vs tubi a parete sottile: nei secondi lo spessore è trascurabile rispetto al raggio.

(3)

• Corpo cilindrico cavo soggetto a pressione interna e/o esterna

• Geometria e sollecitazione assialsimmetrica

• Stato di sforzo bidimensionale o tridimensionale

• La trattazione che ne deriva è applicabile ad altri organi meccanici quali mozzi, dischi, serbatoi, etc.

(4)

Tubi a parete spessa

Testo di riferimento

V.I. Feodosev

Resistenza dei materiali

Editori Riuniti – University press

(5)

Ipotesi:

• Tubo a pareti spesse

• Simmetria assiale geometrica e di carichi

• Carico e sforzi costanti lungo l’asse del cilindro

• Materiale lineare elastico

• Piccoli spostamenti / piccole deformaioni

r

Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, , z)

(6)

Tubi a parete spessa: deformazioni

Deformazione radiale _r:

• u spostamento radiale

A

A’

B

B’

𝜀 𝐴 𝐵 𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝑑𝑢 𝑑𝑟

z

r

Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, , z)

(7)

Deformazione circonferenziale _:

• u spostamento radiale

Deformazione assiale _zè non nulla ed indipendente da u

𝜀 2𝜋 𝑟 𝑢 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟

𝑢

𝑟

(8)

Tubi a parete spessa: equilibrio delle forze

• Equilibrio in direzione radiale:

𝑑𝜎 𝑑𝑟

𝜎 𝜎

𝑟 0

dz

r

σ

_z

dϕ

𝑑 𝜎 𝑟

𝑑𝑟 𝜎 0

𝑑𝑉 𝑆𝑑𝑟𝑑𝜙

𝜎 𝑑𝜎 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 𝜎 𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 𝜎 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜙 0

(9)

Legge di Hooke generalizzata

Assumendo di conoscere 𝜎

𝜀 1

𝐸 𝜎 𝜈 𝜎 𝜎

𝜀 1

𝐸 𝜎 𝜈 𝜎 𝜎

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝜀 𝜈𝜀 𝜈

1 𝜈 𝜎 𝐸

1 𝜈

𝑢

𝑟 𝜈 𝑑𝑢 𝑑𝑟

𝜈

1 𝜈 𝜎

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝜀 𝜈𝜀 𝜈

1 𝜈 𝜎 𝐸

1 𝜈

𝑑𝑢

𝑑𝑟 𝜈 𝑢 𝑟

𝜈

1 𝜈 𝜎

(10)

Tubi a parete spessa: problema di Lamé

Sostituendo nell’equazione d’equilibrio

𝑑 𝑢 𝑑𝑟

1 𝑟

𝑑𝑢 𝑑𝑟

𝑢

𝑟 0

𝑑 𝜎 𝑟

𝑑𝑟 𝜎 0

𝑑 𝑑𝑟

𝑑𝑢 𝑑𝑟

𝑢

𝑟 0

𝑑 1 𝑑

𝑢𝑟 0

(11)

Si dimostra che la risultante assiale di forze uniformemente distribuite agenti su una superficie di forma qualsiasi è pari alla pressione moltiplicata per l’area proiettata della superficie sul piano ortogonale all’asse

Nella fattispecie se agisce la sola pressione interna p, la risultante assiale delle forze è

𝐹 𝑝 𝜋𝑟

(12)

Determinazione dello sforzo assiale

• Il numeratore è pari alla risultante delle forze assiali e il denominatore l’area della corona circolare;

• Il loro rapporto rappresenta lo sforzo assiale agente nel mantello cilindrico

r

e

r

i

𝜎 𝐹

𝐴

𝑝 𝜋𝑟 𝑝 𝜋𝑟

𝜋𝑟 𝜋𝑟

(13)

Integrando una volta:

Integrando una seconda volta,

𝑑 𝑑𝑟

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟 0

Problema di Lamé

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟 𝐶

𝑢 𝐶 𝑟 𝐶

𝑟

(14)

• Ricordando le definizioni delle deformazioni:

• Le costanti sono determinate dalle condizioni al contorno

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑟

𝜈

1 𝜈 𝜎

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑟

𝜈

1 𝜈 𝜎

𝑟 𝑎 ⇒ 𝜎 𝑝

𝑟 𝑏 ⇒ 𝜎 𝑝

(15)

• Sostituendo

• Da cui

𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑎

𝜈

1 𝜈 𝜎 𝑝

𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑏

𝜈

1 𝜈 𝜎 𝑝

𝐶 1 𝜈

𝐸

1 1 𝜈

𝑝 𝑎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎

𝜈 𝐸 𝜎

𝐶 1 𝜈

𝐸

1 1 𝜈

𝑎 𝑏

𝑏 𝑎 𝑝 𝑝

(16)

• In caso di forze di pressione in direzione assiale

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝑢 1 𝜈 𝐸

𝑝 𝑎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎 𝑟 1 𝜈

𝐸

𝑎 𝑏 𝑟

𝑝 𝑝

𝑏 𝑎

𝜈

𝐸 𝜎 𝑟

𝜎

_,

𝑝 𝑎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎 ∓ 𝑎 𝑏 𝑟

𝑝 𝑝

𝑏 𝑎

(17)

• In caso di forze di pressione in direzione assiale

• Senza forza assiale

𝑢 1 2𝜈 𝐸

𝑝 𝑎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎 𝑟 1 𝜈

𝐸

𝑎 𝑏 𝑟

𝑝 𝑝

𝑏 𝑎

𝑢 1 𝜈 𝐸

𝑝 𝑎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎 𝑟 1 𝜈

𝐸

𝑎 𝑏 𝑟

𝑝 𝑝

𝑏 𝑎

(18)

Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

𝜎

_,

𝑝𝑎

𝑏 𝑎 1 ∓ 𝑏 𝑟

𝑝 𝑝

𝑝 0

(19)

Applicando il criterio di Tresca per i materiali duttili

Nel caso di tubo internamente pressurizzato,

Risultato: al raggio interno la tensione equivalente supera di due volte la pressione interna!

Questo rende difficile dimensionare i tubi oltre certe pressioni.

𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎

𝜎 𝑝 𝑏 𝑎

𝑏 𝑎 𝑝 𝑝 2𝑏

𝑏 𝑎

(20)

Tubo di piccoli spessori con pressione interna

𝜎 𝑝 𝑎 𝛿 𝑎

𝑎 𝛿 𝑎 𝑝 𝑎 𝛿 𝑎

𝛿 2𝑎 𝛿 𝑏 𝑎 𝛿

𝜎 𝑝 𝑏 𝑎

𝑏 𝑎

𝜎

_,

𝑝𝑎

𝑏 𝑎 1 ∓ 𝑏 𝑟

𝜎 𝑝 2𝑎

𝑏 𝑎

𝜎 𝑝 2𝑎

𝜎 𝜎 𝑝 𝑎

(21)

b/a> 4 può essere considerato come avente spessore infinito

𝜎

_,

∓𝑝 𝑎 𝑟 𝑏 → ∞

𝜎

_,

𝑝𝑎

𝑏 𝑎 1 ∓ 𝑏 𝑟

𝜎 𝜎 𝜎 2𝑝

(22)

Componenti di sollecitazione entrambe di compressione

Senza componente assiale

Tubo pressurizzato esternamente

𝜎

_,

𝑝𝑏

𝑏 𝑎 1 ∓ 𝑎 𝑟

𝑝 0

𝑝 𝑝

𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 0 𝑝 2𝑏

𝑝 2𝑏

(23)

• Cilindro pieno e pressione esterna

• Foro piccolo e pressione interna

• Raggio esterno grande e pressione interna

• 𝑎 0 𝑝 0

• 𝑏 0 𝑝 𝑝 • 𝜎 𝑝

• 𝜎 𝑝

• 𝑎 ≪ 𝑏 𝑝 0

• 𝑏 0 𝑝 𝑝

• 𝜎 0

• 𝜎 2p

• a 0 𝑝 𝑝

• 𝑏 → ∞ 𝑝 0

• 𝜎 𝑝

(24)

• La soluzione tecnologica del tubo composto serve a ridurre la tensione circonferenziale in corrispondenza della superficie interna del tubo pressurizzato al fine di garantirne la

resistenza a valori di pressione elevati non sopportabili con un semplice aumento dello spessore del mantello

• La pressione esterna vie realizzata sul tubo interno attraverso un’interferenza meccanica: il tubo esterno ha un diametro interno inferiore al diametro esterno del tubo interno

• L’interferenza viene temporaneamente annullata attraverso riscaldamento del tubo esterno

Tubi composti

(25)

Cilindro interno

Cilindro esterno

𝑟 𝑐 𝑟 𝑎

𝑟 𝑏

𝑟 𝑐 ∆

𝑝

Spostamento superfici di contatto

Cilindro interno

Cilindro esterno

𝑢

(26)

Spostamento senza forza assiale (caso generico)

Tubi composti

𝑢 1 𝜈

𝐸

𝑐

𝑐 𝑎 𝑝 1 𝜈

𝐸

𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 𝑝

𝑢 1 𝜈 𝑐

𝑝 1 𝜈 𝑏 𝑐

𝑝

Per cilindri dello stesso materiale

𝑝 𝐸∆

2𝑐

𝑐 𝑎 𝑏 𝑐

𝑏 𝑎

𝑢 1 𝜈 𝐸

𝑝 𝑟 𝑝 𝑟

𝑟 𝑟 𝑟 1 𝜈

𝐸

𝑟 𝑟 𝑟

𝑝 𝑝

𝑟 𝑟

(27)

Condizione di uguale resistenza

𝜎 𝜎

(28)

Composizione delle tensioni

Tubi composti: composizione delle tensioni

𝜎

_,

𝑝 𝑟 𝑝 𝑟

𝑟 𝑟 ∓ 𝑟 𝑟 𝑟

𝑝 𝑝 𝑟 𝑟

𝜎 𝜎 𝜎 𝑝 𝑏 𝑎

𝑏 𝑎 𝑝 2𝑐

𝑐 𝑎 𝑝

𝜎 𝜎 𝜎 𝑝𝑎

𝑏 𝑎 1 𝑏

𝑐 𝑝 𝑏 𝑐

𝑏 𝑐

𝑝𝑎

𝑏 𝑎 1 𝑏

𝑐 𝑝

𝑝 𝑏 𝑐 𝑎

𝑝 𝑏 𝑐

(29)

Condizioni di Gadolin

∆ 2𝑝 𝐸

𝑐𝑏 𝑏 𝑐

𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐

𝑝 𝐸∆

2𝑐

𝑐 𝑎 𝑏 𝑐

𝑏 𝑎

𝜎 𝑝 2𝑏

𝑏 𝑎 1 1

𝑏

𝑏 𝑐 𝑐

𝑐 𝑎

𝜎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎

^per

𝑐 𝑎𝑏

Ricordando

(30)

Tubi composti: confronto con tubo semplice

𝜎 𝑝 𝑏

𝑏 𝑎

𝜎 𝑝 2𝑏

𝑏 𝑎

𝜎 𝜎

𝑏 𝑎

2𝑏

(31)

(32)

• Il principio dei cilindri composti può essere ripetuto più e più volte al fine di contenere pressioni molto elevate

• Es. Cannone «Schwerer Gustav»

progettato nel 1930, peso 1334 ton., 47 m lungo, calibro 800 mm, lanciava proiettili dal peso di 7 ton.

Con una gittata massima di 47 Km

Tubi composti: pressione di contatto

(33)

• Disco a spessore costante h, in rotazione con velocità angolare costante ω.

• Sul generico elemento per effetto della rotazione agisce la forza centrifuga dP.

• La forza dP è pari al prodotto della massa dell’elemento per l’accelerazione centrifuga.

𝑑𝑃 𝑑𝑚𝜔 𝑟 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑉 𝛾

𝑔𝑑𝑉

(34)

• In maniera analoga ai cilindri pressurizzati, riscriviamo l’equazione di equilibrio

• Per la relazione di congruenza e ricordando la definizione delle deformazioni in funzione del solo spostamento radiale u

Dischi in rotazione: relazione di equilibrio

𝑑𝑃 𝛾

𝑔 ℎ · 𝑟 · 𝑑𝜙 · 𝑑𝑟 𝜔 𝑟 𝑑 𝜎 𝑟

𝑑𝑟 𝜎 𝛾

𝑔𝜔 𝑟

𝑑 𝑑𝑟

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟 𝑑𝑟

1 𝜈 𝛾

𝐸𝑔 𝜔 𝑟

(35)

• Integrando due volte rispetto ad r,

• Sostituendo nell’espressioni delle componenti di deformazione e poi nel legame costitutivo, otteniamo

𝑢

¹ ^𝜈

8𝐸

𝛾

𝑔𝜔

𝑟 𝐶 𝑟 𝐶 𝑟

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑟

𝛾𝜔

8𝑔 1 3𝜈 𝑟

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑟

𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑟

(36)

• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero

• Se l’albero e il disco formano un corpo unico il punto appartiene al disco

Disco pieno

𝜎 0

𝜎 𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 𝑟 𝜎 𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 1 3𝜈 3 𝜈 𝑟

Andamento parabolico Al centro le

𝐶 0

𝑟 0

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑟 0

𝐶 1 𝜈

𝐸

𝛾𝜔

8𝑔 𝑏 3 𝜈 1 𝜈

(37)

• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

• In assenza di sollecitazioni interne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

𝜎 0

𝜎 0 𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑎

𝛾𝜔

8𝑔 1 3𝜈 𝑎 0

𝜎 𝐸

1 𝜈 𝐶 1 𝜈 𝐶 1 𝜈 1 𝑏

𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 0

𝐶 1 𝜈 1 𝜈

𝐸

𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 𝑎

𝐶 1 𝜈 1 𝜈

𝐸

𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑎 𝑏

(38)

• Stato di sforzo:

Disco forato

𝜎 𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏

𝑟 𝑟

𝜎 𝛾𝜔

8𝑔 3 𝜈 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑟

1 3𝜈 3 𝜈 𝑟

Diagrammi per 𝑏 5𝑎

(39)

• Riscriviamo l’equazione di equilibrio considerando che lo spessore del disco non sarà costante

2𝜎 𝑙𝑑𝑟𝑑𝜙

2 𝜎 𝑙𝑟𝑑𝜙

𝜎 𝑙𝑟𝑑𝜙 𝜎 𝑙𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑟 𝑑

𝑑𝑟 𝜎 𝑙 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑑

𝑑𝑟 𝜎 𝑙 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝛾𝜔

𝑔 𝑙𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑟 0

𝜎 𝑙 𝜎 𝑙 𝑟 𝑑

𝑑𝑟 𝜎 𝑙 𝛾𝜔

𝑔 𝑟 𝑙 0

𝑙 𝑙 𝑟

(40)

• Imponiamo la condizione di uniforme resistenza:

Si definisce disco di uniforme resistenza un disco in cui in ogni punto la tensione radiale è uguale alla tensione circonferenziale ed è costante.

Disco a uniforme resistenza

𝜎 𝜎 𝜎

𝜎 𝑟 𝑑𝑙 𝑑𝑟

𝛾𝜔

𝑔 𝑟 𝑙 0 ln 𝑙 𝛾𝜔

2𝑔𝜎 𝑟 ln 𝐶

(41)

• Condizione al contorno 𝑙 𝑙 per 𝑟 𝑏

𝑙 𝑙 𝑒 𝐶 𝑙 𝑒

(42)

• Una delle dimensioni (lo spessore) è considerevolmente minore delle altre due

• Teoria particolare (o a momenti nulli), si assume che gli sforzi siano uniformemente distribuiti attraverso lo spessore

• Caratterizzata dalla geometria della superficie mediana e dalla legge di variazione dello spessore

• Il comportamento di numerosi componenti la cui superficie mediana è una superfice di rotazione è riconducibili al

comportamento di membrane (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.)

• Soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore rispetto alle altre dimensioni

• Non valida in prossimità di singolarità: linee angolose, incastri,

Teoria delle membrane

(43)

• Equilibrio delle forze lungo la normale alla superficie

• Equazione di Laplace 𝜎

𝜌

𝜎 𝜌

𝑝 ℎ

𝑝𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝜎 ℎ𝑑𝑠 𝑑𝜃 𝜎 ℎ𝑑𝑠 𝑑𝜑 0

𝑑𝜃 𝑑𝑠

𝜌 , 𝑑𝜑 𝑑𝑠 𝜌

(44)

• Equilibrio delle forze lungo l’asse di simmetria

Terzo sforzo principale trascurabile

Teoria delle membrane

𝜎 2𝜋𝑟ℎ sin 𝜃 𝑃

0 𝜎 𝑝

𝜎 ~𝑝𝜌 𝜎 ~𝑝𝜌

(45)

Teorema 1

Teorema 2

Per una superficie soggetta alla pressione di un fluido, la componente verticale delle forze di pressione è uguale al peso del liquido contenuto nel volume sopra la superficie

Su 𝑑𝐹,

𝑑𝑃 𝑝𝑑𝐹 𝛾𝑥𝑑𝐹

𝑃 𝑝 cos 𝜑 𝑑𝐹 𝑑𝐹′ 𝑑𝐹 cos 𝜑 𝑃 𝑝 𝑑𝐹′ 𝑝𝐹′

(46)

Recipiente sferico

• Raggio R, spessore h

• Pressione interna p

Esempio 1

𝜎 𝜌

𝑝 ℎ

𝜌 𝜌 𝑅

𝜎 𝜎 𝑝𝑅

2ℎ 𝜎 𝜎 𝜎 𝑝𝑅

2ℎ

(47)

Recipiente cilindrico

• Raggio del cilindro R, spessore h

• Pressione interna p

Equilibrio lungo l’asse

Dati dall’equazione di Laplace

𝜎 𝜌

𝑝 ℎ

𝜌 ∞, 𝜌 𝑅,

𝜎 𝑝𝑅

ℎ 𝜎 𝜎 𝜎 𝑝𝑅

ℎ 𝜎 2𝜋𝑅ℎ 𝑃 𝑝𝜋𝑅 𝑝𝑅

2ℎ 𝜎 𝑝𝑅

2ℎ

(48)

• Equilibrio circonferenziale

• Equilibrio assiale

Teoria delle membrane: equazioni di Mariotte

𝜎 𝐹

𝐴

𝑝𝐷𝐿 2𝑠𝐿

𝑝𝐷 2𝑠 𝜌 ∞ 𝑒 𝜌 𝐷/2

𝜃 𝜋

2 𝑒 𝐹 𝑝𝜋 𝐷 2

𝐹 𝑝 𝜋

4 𝐷 𝑝𝐷

(49)

• Nel fondo e nel mantello di pari spessore le deformazioni circonferenziali non sono uguali.

Tipicamente il fondo è più rigido (si deforma meno)

• Nelle zone di collegamento nascono delle sovratensioni che garantiscono la congruenza delle deformazioni

(50)

• Congruenza degli spostamenti radiali.

• Serbatoio cilindrico:

• Fondo semisferico:

Interazione fondo‐mantello

𝜀 𝜎

𝐸

𝜈

𝐸 𝜎 𝜎 𝑝𝑅

𝐸ℎ 1 𝜈 2

𝜀 𝜎 𝜈

𝜎 𝜎 𝑝𝑅

1 𝜈

𝑝𝑅 𝜎 𝑝𝑅

ℎ 𝜎 𝑝𝑅

2ℎ

(51)

• Imponendo l’uguaglianza delle deformazioni radiali:

𝜀 𝜀

ℎ ≅ 0.41ℎ ℎ

ℎ

1 𝜈 2 𝜈

• La congruenza delle deformazioni comporta un peggioramento dello stato di tensione nella zona di

transizione fondo‐mantello

• L’adozione di fondi con profilo più schiacciato comporta

sovrasollecitazioni via via crescenti