3.2) seguita dalle definizione di gait (o andatura) di locomozione

Capitolo 3

Introduzione alla locomozione su gambe

3.1 Locomozione di base

La locomozione su gambe può essere classificata in tre diverse strategie di movimento:

la marcia, la corsa e l’hopping.⁸ Nella letteratura scientifica, queste modalità di locomozione sono tra loro differenziate in vari modi: la marcia e la corsa, ad esempio, vengono distinte in base a un parametro adimensionale detto numero di Froude⁹oppure in base al fatto che, contrariamente alla marcia, la corsa presenta una fase completamente aerea, oltre a quella di appoggio; l’hopping è identificato come una locomozione in cui la fase di appoggio, istantanea (o quasi), è subito seguita da una fase di volo.

Nei prossimi paragrafi sarà introdotta la terminologia comunemente usata durante lo studio della locomozione, (§ 3.2) seguita dalle definizione di gait (o andatura) di locomozione (§ 3.3). e, per finire saranno discussi i concetti di bilanciamento statico e dinamico (§ 3.4).

3.2 Terminologia

La terminologia utilizzata nello studio della locomozione robotica è spesso mutuata dalla biologia e dalla biomeccanica.

Con il termine tronco ci si riferisce al corpo del robot senza considerare la testa e le appendici; le gambe sono attaccate al tronco a livello dell’articolazione dell’anca e talvolta sono dette articolate. Una gamba articolata può essere rappresentata

8Esistono anche altri tipi di locomozione, come la brachiazione delle scimmie e dei gorilla e la locomozione a salti dei lemuri; essi però non verranno qui considerati.

9 Esso viene calcolato come rapporto tra la velocità di marcia, al quadrato, fratto l’accelerazione di gravità moltiplicata per la lunghezza della gamba. L’utilizzo di tale parametro ha permesso il confronto dinamico tra animali geometricamente simili ma di taglia diversa: ad esempio è stato osservato che molti quadrupedi effettuano la transizione tra il passo ed il trotto a velocità differenti (a causa della diversa taglia corporea) ma allo stesso numero di Froude, pari a 0.5.

cinematicamente come un segmento connesso al telaio mediante una coppia rotoidale.

Un meccanismo a pantografo è spesso utilizzato nella realizzazione delle gambe: esso permette di disaccoppiare l’azione degli attuatori nella direzione verticale e in quella orizzontale consentendo così di massimizzare l’efficienza energetica del robot (GDA, gravitationally decoupled actuator). Altri tipi di soluzioni possono essere ovviamente adottate per l’ attuazione delle gambe come ad esempio l’utilizzo di giunti lineari o di un collegamento meccanico diretto di più appendici (set di gambe).

I piedi sono attaccati alle gambe e rappresentano l’interfaccia del robot con il suolo: le dimensioni e la forma del piede vengono in genere ottimizzate per i diversi tipi di terreno¹⁰ che il robot deve affrontare o che si pensa potrà incontrare durante il suo cammino. A seconda del numero di piedi sono utilizzati i seguenti termini:

• monopod roboto robot “monopode” nel caso di un unico piede;

• biped roboto robot bipede nel caso di due piedi;

• quadruped roboto robot quadrupede nel caso di quattro piedi;

• hexapod roboto robot “esapode”nel caso di sei piedi;

• octapod roboto robot “ottapode” nel caso di otto piedi;

Per quanto riguarda la disposizione delle gambe rispetto al tronco, si fa ricorso alla seguente terminologia:

• posizione eretta (upright posture):

le gambe sono disposte lungo un piano verticale, parallelo a quello sagittale¹¹ del corpo, e collegate al tronco mediante un giunto articolare con l’asse di rotazione (orizzontale) perpendicolare al piano sagittale stesso (disposizione tipica dei mammiferi e degli uccelli, vedi figura 3.1-A).

• posizione sprawled (sprawled

10In genere tale contatto viene modellato come un punto.

11Il piano sagittale è definito come il piano verticale che divide il corpo in due parti simmetriche, una Fig. 3.1: Possibili posizioni delle gambe

rispetto al tronco

posture): le gambe possono essere disposte lungo un piano (verticale) perpendicolare a quello sagittale e collegate al tronco mediante una cerniera avente l’asse di rotazione verticale e parallelo al piano sagittale stesso(disposizione tipica delle lucertole e delle salamandre,vedi figura 3.1-B), oppure esse giacciono lungo un piano (orizzontale) perpendicolare a quello sagittale e sono collegate al tronco per mezzo di un giunto articolare con l’asse di rotazione orizzontale e perpendicolare al piano sagittale stesso (disposizione tipica degli scarafaggi, vedi figura 3.1-C);

• posizione M-sprawled (M-sprawled posture): le gambe sono disposte seconda la configurazione sprawled tipica delle lucertole e delle salamandre, ma l’asse di rotazione del giunto articolare risulta ruotato, in senso antiorario, rispetto alla verticale (disposizione tipica degli aracnidi, delle formiche e dei granchi, vedi figura 3.1-D).

3.3 Definizione di “gait” o andatura di locomozione Un gait di locomozione è, secondo Hildebrand[36]:

...un modo ben preciso di muovere le gambe durante la marcia o la corsa.

Nei suoi studi sulla locomozione dei vertebrati a diverse velocità, Alexander [37] lo definiva come:

uno schema di locomozione caratteristico, relativo a un determinato intervallo di velocità e descritto da grandezze che variano in maniera discontinua durante il passaggio da un gait di locomozione ad un altro.

Ad esempio, i mammiferi quadrupedi cambiano gait di locomozione all’aumentare della loro velocità, passando dalla marcia alla corsa e dalla corsa al trotto.

Per facilitarne l’analisi ed il controllo, il movimento ciclico delle gambe durante la marcia e la corsa viene solitamente suddiviso in due fasi: una fase di appoggio (support phase), durante la quale la gamba sostiene il peso del robot e ne consente la propulsione, e una fase aerea o di trasferimento (transfer phase), durante la quale la gamba viene ruotata da una prima fase di appoggio alla successiva.

Per descrivere in maniera analitica la locomozione Hildebrand, McGhee, Frank e altri autori [38] hanno introdotto una serie di parametri legati alla suddivisone del ciclo motorio appena illustrato; essi sono:

• la posizione posteriore estrema (PEP, posterior estreme position) della gamba, cioè la posizione di transizione tra la fase di appoggio e quella di trasferimento.

• la posizione anteriore estrema (AEP, anterior extreme position) della gamba, ossia la posizione di transizione tra la fase di trasferimento e quella di appoggio.

• il diagramma di gait: un grafico utilizzato per illustrare le fasi di appoggio e di trasferimento delle gambe in funzione del tempo; la figura 3.2 illustra due diagrammi di gait: le linee spesse rappresentano le fasi di appoggio di ogni gamba:

Fig. 3.2: Possibili “diagrammi di gait” di un robot esapode

• il poligono di supporto, cioè quella figura geometrica ottenuta unendo tra loro i punti di contatto dei piedi con il terreno; l’area racchiusa dal poligono rappresenta quindi l’area di supporto (A_sup): essa è rappresentata, in verde, in figura 3.2.

• il passo, che rappresenta l’avanzamento della gamba; il ciclo di passo cioè il moto ciclico della gamba e la lunghezza di passo, ossia la distanza che intercorre tra due punti di appoggio consecutivi.

• lo stride, esso è costituito da un numero di passi pari al numero di gambe e ogni gamba completa un ciclo di passo al suo interno. La distanza percorsa dal tronco (o dal BCOM) in uno stride rappresenta la lunghezza di stride e il tempo

impiegato a percorrerla la durata di stride ( T ). Dividendo la lunghezza di stride per la durata , si ricava la velocità di locomozione.

• la fase relativa ϕ_i,che rappresenta il tempo (dato come frazione della durata di stride) che intercorre tra l’appoggio del piede, scelto come riferimento, e quello del piede i-esimo. Al piede di riferimento sarà assegnato il numero 1, e la fase relativa ϕ₁ sarà posta uguale a zero (ϕ₁=0); le fasi relative alle altre gambe saranno invece espresse come:

<

<

∆ =

= 1 0

1 con

i

i i i ,....,n

T t

ϕ ϕ

• il duty factor (tipicamente indicato con β_i), esso rappresenta infine la frazione di tempo, in uno stride, in cui il piede i-esimo si trova nella fase di appoggio. Il duty factorè quindi sempre un numero compreso tra zero e uno (0<β_i<1). L’introduzione del duty factor β_i e della fase relativa ϕ_i permette di definire il gait di locomozione come una sequenza temporale di eventi, durante i quali le gambe cambiano stato: dalla fase di appoggio alla fase di transizione e viceversa. Come evento iniziale dello stride è in genere scelto l’istante in cui la gamba presa come riferimento entra in contatto con il terreno; successivamente la gamba i-esima poggerà a terra dopo una frazione di tempo pari alla fase ϕ_i¹² e vi rimarrà per un intervallo di tempo pari al duty factor β_i. Quindi è possibile esprimere la sequenza di gait nel seguente modo:

( ₁, ₂,... , ₂, ₃,... ) perngambe

g_f = β β β_n ϕ ϕ ϕ_n

È anche possibile rappresentare la sequenza temporale del gait di locomozione in funzione della fase relativa ϕ_i e di un parametro ψ_i che esprime l’istante in cui l’i- esima gamba viene sollevata da terra:

( ₁, ₂,... , ₂, ₃,... ) perngambe

g_f = ψ ψ ψ_n ϕ ϕ ϕ_n

Il nuovo parametro ψ_i è comunque sempre funzione del duty factor β_i e della fase relativa ϕ_i:

≥ +

− +

<

+

= +

1 se

1

1 se

i i

i i

i i

i i

i ϕ β ϕ β

β ϕ β

ψ ϕ

12Ovviamente, la fase ϕ₁ relativa alla gamba di riferimento risulterà pari a zero.

Per esempio, se la fase relativa e il duty factor sono rispettivamente ϕ_i =0.5 e β_i =0.8, il valore diψ_i risulta essere pari a 0.3.

Di seguito sono descritti brevemente i gait di locomozione più comuni:

• il wave gate è una sequenza di movimenti che prevede il sollevamento in successione di tutte le gambe ipsilaterali, partendo sempre da quella che si trova in posizione più arretrata; la sequenza viene ripetuta per entrambi i lati.

Poiché rimane sollevata una sola gamba per volta, questo gait di locomozione anche se lento risulta molto stabile.

• il tripod gate (o tripode) è comunemente utilizzato dagli hexapod; esso consiste nell’attivazione di un set di tre sole gambe per volta: le protoraciche (frontali) e le metatoraciche (posteriori) ipsilaterali e quella metatoracica (mediana) controlaterale.

• il tetrapod gait è più complicato del tripod in quanto almeno quattro gambe per volta sono appoggiate a terra. Tale gait di locomozione è utilizzato dagli animali e dai robot con sei o più zampe. In genere gli insetti utilizzano il tetrapod gait alle basse velocità e il tripod alle alte. In figura 3.2 è possibile osservare questi due gait di locomozione: le linee scure rappresentano la fase di appoggio all’interno di uno stride.

• il ripple gait è simile al wave gate in quanto prevede il sollevamento delle gambe da entrambi i lati, a partire da quelle più arretrate; a differenza di quest’ultimo però le “onde” di sollevamento delle gambe risultano sfasate di 180°. In altri termini se consideriamo le due onde a partire dalle gambe posteriori del robot, l’onda di destra (sinistra) partirà esattamente nell’istante in cui l’onda di sinistra (destra) si trova a metà del suo percorso.

• il creeping gait è una strategia di locomozione in cui al massimo una sola gamba si trova nella fase di trasferimento o aerea.

• il follow-the-leader gait è una strategia di locomozione per cui la gamba in movimento è posta a terra nello stesso punto (o molto vicino a esso) occupato dalla gamba precedente.

3.4 Stabilità

Uno dei maggiori problemi che si incontra nella costruzione di un dispositivo su gambe è il mantenimento della stabilità: un robot infatti deve essere in grado di mantenere la stabilità durante la locomozione in modo da evitare movimenti involontari del corpo o cadute rovinose. I gait di locomozione spesso vengono suddivisi in gait staticamente e dinamicamente stabili a seconda del tipo di strategia utilizzata per garantirne la stabilità.

La principale differenza consiste nel fatto che un gait di locomozione dinamicamente stabile risulta bilanciato grazie al movimento stesso del robot, mentre un gait di locomozione staticamente stabile risulta bilanciato grazie al mantenimento del centro di massa (BCOM) all’interno dell’area di supporto. Più precisamente in una locomozione staticamente stabile, la proiezione verticale del centro di gravità sul piano orizzontale è mantenuta, per tutto il tempo, all’interno dell’area di supporto, come evidenziato in figura 3.3:

(a) (b)

Fig. 3.3: (a) proiezione verticale dei punti di contatto dei piedi e del centro di gravità sul piano orizzontale nel caso di un dispositivo avente quattro gambe; (b) condizioni di stabilità e instabilità statica

In assenza di forze inerziali o esterne, il robot mantiene il proprio equilibrio fino a quando vale questa condizione geometrica, altrimenti il gait è definito staticamente instabile (vedi figura 3.3).

Un altro modo di definire la stabilità statica è mediante l’introduzione del margine di stabilità: esso è definito come la distanza minima tra la proiezione verticale del centro di gravità sul piano orizzontale e i lati del triangolo di supporto. Tale parametro è definito positivo se il centro di massa cade all’interno del triangolo di supporto, negativo altrimenti: una locomozione è quindi detta staticamente stabile se in ogni istante il margine di stabilità risulta positivo.

BCoM

Una sistema di locomozione si dice dinamicamente stabile quando il raggiungimento dell’equilibrio è permesso dal movimento stesso del corpo e non può prescindere da questo; un bilanciamento di tipo dinamico non può quindi essere attuato a basse velocità di avanzamento quando gli effetti inerziali del moto sono trascurabili

Alcuni autori definiscono talvolta la stabilità dinamica come una “caduta controllata”

del corpo: esso è lascito libero di cadere, sotto l’azione della forza di gravità o di altre forze esterne, per brevi periodi di tempo, fino a quando un nuovo posizionamento del piedi (o dei piedi) ne interrompe la caduta variandone il moto.

Il tipo di bilanciamento da adottare in un dispositivo robotico è spesso condizionato dal gait di locomozione utilizzato: ad esempio nel caso di un gait di locomozione lento, come il tetrapod, è sufficiente adottare una stabilità di tipo statico, mentre nei gait di locomozione veloci, come il tripod, è necessario realizzare un bilanciamento di tipo dinamico. Da notare inoltre che sebbene la stabilità dinamica risulti senz’altro più complessa dal punto di vista del controllo, tale strategia di bilanciamento permette di realizzare robot con prestazioni notevolmente superiori rispetto a quelli staticamente stabili, sia in termini di velocità che di adattabilità ai diversi tipi di terreni.