C APITOLO 3
M
ODELLAZIONE MATEMATICA3.1 Modello matematico
La creazione del robot endoscopico richiede l’utilizzo di una particolare struttura a fili polimerici intrecciati, che ha il doppio ruolo di supporto per gli attuatori locali (molle costruite con leghe a memoria di forma) e di trasmissione delle forze generate lungo tutta la struttura. Il primo passo, per il raggiungimento dell’obiettivo finale, risiede nella realizzazione di un modello matematico generale che caratterizzi il comportamento della struttura in funzione delle forze applicate.
In seguito, dalla conoscenza delle caratteristiche meccaniche della struttura a fili intrecciati, si potrà passare alla progettazione degli attuatori a SMA. Le caratteristiche di progetto delle molle a SMA sono:
Diametro della molla;
Diametro del filo di SMA che costituisce l’attuatore;
Numero di spire;
Lunghezza totale della molla.
Dalle prime tre caratteristiche si determina la forza che l’attuatore può sviluppare, mentre la lunghezza della molla determina le geometrie e gli ingombri degli attuatori locali all’interno della struttura polimerica.
Modello struttura a fibre intrecciate
La struttura è costituita da n fibre che si intrecciano una sull’altra a formare una
serie di configurazioni geometriche elementari uguali tra loro. Quello che si è
modellato sono le capacità di allungamento e accorciamento dell’intero sistema,
che si presentano dopo l’impiego di una o più forze in direzione perpendicolare
alla direzione di deformazione.
L’intero sistema, costituito da un insieme di unità elementari a forma di rombi, può essere semplificato come in figura 3.1, composto soltanto da una fila di celle (in rosso in figura) uguali tra loro che agiscono come rombi articolati. In questo modo la struttura si può definire come formata da un numero n di celle (in rosso) e da n+1 nodi (in giallo) che collegano le singole celle, e inglobano la massa dei
rombi. La posizione dei nodi caratterizza completamente la configurazione della struttura, dal momento che da queste è possibile risalire alle altezze e lunghezze dei vari rombi e alle loro deformazioni.
Fig. 3.1
3.2 Modello Cinematico
Lo studio è stato condotto partendo dalle considerazioni pubblicate nell’- International Journal of Robotics Research (cfr. Alexander S Boxerbaum et al)
(Fig. 3.2), che trattano l’intera struttura come un sistema costituito da una serie di singoli elementi formati da quattro fili rigidi, per poterli analizzare come rombi articolati. Con quest’assunzione, conoscendo la lunghezza iniziale della diagonale ‘d’ e lo spostamento ‘c’
prodotto da una forza applicata lungo la diagonale verticale di un singolo rombo, è possibile ricavare la nuova diagonale verticale d’:
(3.1) la nuova dimensione della diagonale orizzontale e’ e di conseguenza la deformazione longitudinale ɛ della cella. Di seguito viene riportata la trattazione matematica.
Da teorema di Pitagora si ricava :
(3.2)
(3.3)
Utilizzando il teorema dei seni si trova il lato f in funzione della diagonale verticale ‘d’ e dell’angolo ‘α’ tra i due lati adiacenti:
(3.4)
(3.5)
Fig. 1.2
Sostituendo l’equazione (3.5) in (3.3) è possibile risalire alla nuova lunghezza longitudinale
(3.6)
in funzione soltanto dei parametri che possono essere definiti inizialmente quali:
d = lunghezza diagonale maggiore;
α = angolo tra due lati adiacenti;
c = spostamento applicato dalla forza;
La deformazione ɛ è definita come:
(3.7) Con
(3.8)
Infine inserendo (3.6) e (3.8) in (3.7), si ottiene un’equazione che descrive la deformazione longitudinale della cella in funzione del parametro indipendente ‘c’, imposto dall’attuatore e dalle caratteristiche geometriche del singolo elemento (definite da ‘d’ e ‘α’).
(3.9)
3.3 Modello Dinamico
Per analizzare la deformazione di tutta la fila di celle in funzione della forza che l’attuatore produce su un singolo elemento, si è sviluppato un modello dinamico, partendo dalle considerazioni di un articolo pubblicato dall’Università di Cleaveland (cfr. K. A Daltorio et al). Le nuove ipotesi utilizzate sono che:
Ogni singolo elemento, geometricamente uguale a un rombo, è accoppiato
a quello vicino mediante due molle torsionali;
Ogni cella elementare è costituita da una molla longitudinale;
Per semplicità esplicativa si considerano solamente due celle elementari adiacenti uguali tra loro nello stato di riposo, cioè quando non agisce nessuna forza esterna (Fig.3.3):
Le molle torsionali, che distribuiscono la deformazione tra le celle, agiscono una l’
l
b’ d’
c’
a’
’
b d
a h c h’
Fig. 3.3
Fig. 3.4
tra a’ e d e una tra b’ e c; se queste molle avessero rigidezza tendente all’infinito, il sistema si comporterebbe come rigido mentre se avessero rigidezza tendente a zero, il sistema sarebbe estremamente deformabile. Le molle longitudinali, che tendono a far tornare la singola cella alla lunghezza di riposo l’ (o l), agiscono in ogni singolo elemento. Quando viene applicata una forza esterna su una unità, esempio sulla cella(i) (Fig. 3.4), si ha una diminuzione dell’altezza h(t, i) e un rispettivo aumento di lunghezza l(t, i) rispetto alle dimensioni iniziali, sia della cella cui è applicata la forza, sia delle celle (i+1) e (i-1). Per risalire alla posizione dei vari nodi e in seguito alla deformazione longitudinale di ogni cella si utilizzano n+1 equazioni dinamiche, una per ogni nodo, che risolte forniscono la posizione dei vari nodi . Le equazioni dinamiche vengono determinate utilizzando il principio dei lavori virtuali o meglio la sua estensione dinamica:
principio di d’Alambert, che mette in relazione la variazione dell’energia interna al sistema con la variazione del lavoro fatto dalla forza esterna. Il bilancio energetico è:
(3.10)
Dove:
- S(l) = forza non lineare della molla longitudinale agente tra i nodi - = costante elastica molla torsionale
- = costante elastica molla longitudinale - = lunghezza molla longitudinale a riposo - = lunghezza della cella
- θ(t, i) = angolo a cui reagiscono le molle torsionali - m = massa di ogni nodo
- F(t, i) = input del sistema
- , , , = spostamenti virtuali
Infine, implementando le relazioni geometriche fra gli spostamenti virtuali di (3.10), descritti nel modello cinematico, si ottiene l’equazione della dinamica della struttura:
(3.11)
Al fine di semplificare la precedente equazione, sono state svolte alcune considerazioni geometriche riferendosi alla figura 3.4:
Ricavo
e
in funzione di (lunghezza del lato del rombo) e di x:
(3.12) (3.13)
Dagli angoli
e
si ricava l’angolo in funzione di x e :
(3.14)
(3.15) (3.16)
L’equazione dinamica per un i-esimo nodo diventa:
(3.17)
Dove sono stati inseriti i seguenti parametri:
l0 = lato di cella
β0 = angolo di cella nello stato di riposo
h = altezza cella
Dove
(3.18)
Successivamente, per semplificare ulteriormente l’equazione dinamica, si cerca di riscriverla in funzione degli angoli , che si formano tra i lati dei rombi e l’asse di riferimento, che ora chiameremo β. In figura 3.5, in cui vengono considerate solamente cinque unità fondamentali, si può apprezzare meglio la trattazione.
Ricavo la lunghezza (
della cella(i+1), in funzione di
(3.19) (3.20)
(3.21) La stessa cosa fatta per la cella(i+1) può essere svolta per le altre celle in funzione dell’angolo β.
L’angolo e l’altezza della i-esima cella in funzione dell’i-esimo β, sono diventati:
(3.22) (3.23) Infine si arriva a scrivere l’equazione dinamica in funzione di e oltre che dei parametri fissi:
Fig. 3.5
(3.24)
Per esempio, nella configurazione di figura 3.5, le equazioni dinamiche (3.24), saranno quattro, una per ogni nodo. Siccome non siamo interessati allo spostamento assoluto ma solo a quello relativo, passiamo a tre equazioni scritte in funzione delle costanti e di procedendo con una differenza di equazioni tra quella corrispondente al nodo n+1 e quella relativa al nodo n. In questo modo si passa dallo studio dell’i-esimo nodo allo studio della j-esima cella.
1^jesima equazione = equazione al nodo(i+1) – equazione al nodo(i)
Dal procedimento si arriva a scrivere l’equazione:
(3.25)
Infine sostituendo l’uguaglianza:
(3.26)
nell’equazione (3.25) si ottiene la seguente equazione dinamica per la j-esima
cella:
(3.27)
Inoltre per considerare le dissipazioni presenti nel modello di ogni cella, si aggiunge una nuova ipotesi:
In ogni cella sarà presente un ammortizzatore viscoso in parallelo alla
molla longitudinale (Fig. 3.6).
Quest’ammortizzatore viscoso produrrà una forza proporzionale alla velocità della massa del tipo:
(3.28)
con C = coefficiente di smorzamento
Con questa forza, l’equazione (3.11) potrà ora essere scritta come:
l’
l
b’ d’
c’
a’
b d
a h c h’
Fig. 3.6
(3.29)
Seguendo la procedura eseguita precedentemente e ricordando che:
(3.30)
Infine si arriva a scrivere l’equazione dinamica utilizzata nel modello:
(3.31)
che scritta in funzione della variabile di stato risulta:
