Tema d'esame (A) del 21/12/2009 commentato

(1)

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

21 Dicembre 2009

Domande a Risposta Multipla

Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere V e quali sono le affermazioni false F .

1. Il controllo in retroazione

V F Consente di ottenere una buona reiezione dei disturbi

V F Consente di implementare il controllore ideale, cio´e tale per cui l’uscita `e uguale al riferimento

V F ´E meno robusto del controllo in avanti

Commento. L’argomento della domanda riguarda le propriet´a del controllo in retroazio-ne.

Come é noto, il controllo in retroazione permette di ottenere una buona reiezione dei disturbi. Non é peró possibile implementare il controllore ideale, in quanto l’errore si an-nulla solo asintoticamente. Una delle caratterisctiche del controllo in retroazione é la sua maggiore robustezza rispetto a quello in avanti.

2. Si consideri una funzione del tempo f (t). Sia F (s) = L [f (t)] la sua trasformata di Laplace V F lim_t7→∞f(t) = lim_s7→0sF(s)

V F lim_t7→∞f(t) = lim_s7→0F(s)_s V F L[Rt

0f(τ )dτ ] = sF (s)

Commento. L’argomento della domanda riguarda le propriet´a della trasformata di La-place.

In base al teorema del valore finale, lim_t7→∞f(t) = lim_s7→0sF(s) Inoltre: L[Rt 0f(τ )dτ ] = F(s) s , mentre L[ df(t) t ] = sF (s)

3. Si consideri lo schema a blocchi riportato nella figura sottostante, e si indichi con con Gtot(s) =

Y(s)

R(s) la funzione di trasferimento complessiva

V F Gtot(s) = _1+G(s)H(s)G(s) + F (s)

V F Gtot(s) = _1+G(s)H(s)G(s)+F (s)

V F Gtot(s) = _1+G(s)H(s)G(s) + _1+G(s)H(s)F(s)

(2)

G(s)

F(s)

+

-Y(s)

R(s)

₊

+

H(s)

Commento. L’argomento della domanda riguarda l’interconnessione tra blocchi.

Definendo E (s) l’ingresso del blocco G (s), si ottiene (si omette la dipendenza dei termini da s): Y = E · G + F · R dove E = R − Y · H. Y = G (R − Y · H) + F · R Y = G · R − Y · G · H + F · R Y (1 + G · H) = R (G + F ) Y R = G+ F 1 + G · H = G 1 + G · H + F 1 + G · H

4. Si consideri un sistema dinamico descritto da una funzione di trasferimento razionale fratta G (s) V F La somma dei modi corrisponde all’uscita del sistema quando l’ingresso applicato ´e un

gradino unitario

V F I modi del sistema si ottengono antitrasformando secondo Laplace ciascun fratto semplice in cui ´e fattorizzata la funzione di trasferimento

V F I modi del sistema non dipendono dalla parte immaginaria dei poli

Commento. L’argomento della domanda riguarda il legame tra i modi del sistema e l’uscita del sistema.

I modi del sistema si ottengono antitrasformando secondo Laplace ciascun fratto semplice in cui ´e fattorizzata la funzione di trasferimento. Pertanto, dipendono sia dalla parte reale che dalla parte immaginaria dei poli. La somma dei modi corrisponde all’uscita del sistema quando l’ingresso applicato ´e un impulso unitario

5. Si consideri il sistema dinamico descritto dalla funzione di trasferimento G (s) = _1+2s1 eccitato con un gradino di ampiezza unitaria

V F Il tempo di assestamento Ta ´e circa uguale a 3s

V F La massima sovraelongazione ´e circa uguale al 5%

(3)

Commento. L’argomento della domanda riguarda i sistemi elementari del primo ordine. In un sistema del primo ordine, la risposta al gradino non supera il valore di regime: la sovraelongazione ´e quindi nulla. Il tempo di assestamento si calcola come Ta≈ 3 · τ , dove

τ ´e la costante di tempo del sistema, in questo caso τ = 2, quindi Ta ≈ 6s.

L’uscita del sistema si calcola come l’antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento dell’ingresso (1_s) moltiplicata per la funzione di trasferimento del sistema.

6. Si consideri un sistema elementare del secondo ordine, in cui δ e ωn sono rispettivamente il

coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale, eccitato con un gradino di ampiezza unitaria V F La massima sovraelongazione percentuale ´e proporzionale alla radice quadrata della

pulsazione naturale ωn

V F Il valore della parte immaginaria dei poli influenza la massima sovraelongazione percen-tuale

V F La massima sovraelongazione percentuale raggiunge il valore massimo quando il coeffi-ciente di smorzamento δ ´e pari a 1

Commento. L’argomento della domanda riguarda i sistemi elementari del secondo ordi-ne.

La massima sovraelongazione percentuale si calcola come S = 100e

−πδ

√

1−δ2. Dipende

pertan-to unicamente dal coefficiente di smorzamenpertan-to, e non dalla pulsazione naturale. Siccome il valore della parte immaginaria dei poli influenza il valore del coefficiente di smorzamen-to, esso influenza anche la sovraelongazione percentuale. La massima sovraelongazione raggiunge il suo valore massimo (100%) quando il coefficiente di smorzamento ´e nullo.

7. Si consideri un sistema dinamico asintoticamente stabile, descritto dalla funzione di trasferimento G(s)

V F Per calcolare la funzione di risposta armonica occorrono ulteriori informazioni sulle caratteristiche di G (s)

V F Eccitanto il sistema con un segnale u (t) = 5 sin (4t + 6), si ottiene sicuramente, a regime, un’uscita sinusoidale con pulsazione 4

V F Eccitanto il sistema con un segnale u (t) = 5 sin (4t + 6), si ottiene sicuramente, a regime, un’uscita sinusoidale con ampiezza 5

Commento. L’argomento della domanda riguarda la funzione di risposta armonica. Se un sistema ´e asintoticamente stabile e descritto dalla funzione di trasferimento G (s), la funzione di risposta armonica si calcola come G (jω), sostituendo cio´e jω ad s.

Eccitando un sistema con un segnale sinusoidale, si ottiene in uscita una sinusoide con la stessa pulsazione, che in generale ha ampiezza e fase diverse.

8. Il criterio di Routh

V F Permette di verificare la stabilit´a di un sistema lineare stazionario descritto da una funzione di trasferimento razionale fratta

V F Permette di calcolare il valore dei poli di una funzione di trasferimento razionale fratta V F Pu´o essere utilizzato nel progetto di dispositivi di controllo in retroazione

(4)

Commento. L’argomento della domanda riguarda il criterio di Routh.

Questo criterio permette di dedurre il segno della parte reale delle soluzioni di un’equazione algebrica, senza la necessitá di risolverla. Se l’equazione algebrica in questione é l’equazione caratteristica del sistema in esame, il criterio di Routh permette quindi di verificare la stabilitá del sistema. Il criterio permette unicamente di trovare il segno dei poli, non il loro valore esatto.

9. Si consideri il sistema descritto in figura

G(s)

+

-Y(s)

R(s)

k

Sia Gtot(s) = Y_R(s)(s) la funzione di trasferimento complessiva. Il luogo delle radici

V F Descrive il valore dei poli di G (s) al variare del parametro k V F Descrive il valore dei poli di Gtot(s) al variare del parametro k

V F Ha un numero di asintoti pari alla differenza fra il numero di poli e il numero di zeri di Gtot(s)

Commento. L’argomento della domanda riguarda il luogo delle radici.

Il luogo delle radici ´e il luogo che descrive l’andamento dei poli del sistema chiuso in retroazione, al variare del guadagno k. Ha un numero di asintoti pari alla differenza fra il numero di poli e il numero di zeri della funzione di trasferimento del sistema in catena aperte G (s)

10. Sia dato un sistema il cui margine di fase ´e Mf = 50◦

V F Con una rete di anticipo ´e sempre possibile ottenere un margine di fase Mf = 80◦

V F Con una rete di ritardo ´e sempre possibile ottenere un margine di fase Mf = 80◦

V F Non pu´o essere reso stabile con una rete di anticipo

Commento. L’argomento della domanda riguarda le reti correttrici.

La possibilit´a di ottenere il valore di margine di fase desiderato per mezzo di una rete di ritardo o di anticipo dipende dal valore della pulsazione di taglio ωc del sistema, e da

quella desiderata. Queste informazioni non sono disponibili, e non si puó quindi essere certi della possibilitá di usare una rete di ritardo o di anticipo. Non si puó nemmeno peró escludere a priori tale possibilitá.

11. In un controllore di tipo PID

V F Il tuning dei parametri non ´e necessario, in quanto si tratta di un regolatore standard V F Nella sua forma ideale ´e un sistema improprio, non fisicamente realizzabile

(5)

Commento. L’argomento della domanda riguarda il regolatore PID.

Si tratta di un regolatore standard, nel senso che la sua struttura ´e nota a priori. Per adattarlo al particolare problema di controllo che si sta affrontando, ´e necessario il tuning dei parametri che lo caratterizzano.

Nella sua forma ideale ´e un sistema improprio: per renderlo fisicamente realizzabile, si modifica il termine derivativo, aggiungendo un polo.

Il termine derivativo o quello integrale possono essere assenti, dando luogo ai controllori P I o P D.

12. Si consideri un sistema lineare tempo invariante stabile, descritto dalla funzione di trasferimento razionale fratta G (s). Si pu´o sicuramente affermare che

V F Tutti i poli di G (s) hanno parte reale negativa

V F Tutti gli zeri di G (s) hanno parte reale negativa o nulla V F Nessun polo di G (s) ha parte reale positiva

Commento. L’argomento della domanda riguarda la stabilit´a.

Se un sistema é asintoticamente stabile, tutti i suoi poli hanno parte reale negativa. Se invece si dice unicamente che un sistema é stabile, esso ha tutti i poli a parte reale negativa o nulla, e quelli a parte reale nulla sono semplici. Gli zeri non influenzano la stabilitá.

Si svolgano i seguenti esercizi indicando chiaramente i passaggi seguiti per raggiungere la soluzione

Esercizio 1

Si consideri il seguente sistema in retroazione dove

G(s)

+

-Y(s)

R(s)

C(s)

G(s) = 10 s2 100+ s 5+ 1 (s + 100) (100s + 1) (0.05s + 2)

1. Si traccino i diagrammi di Bode della funuzione di risposta armonica associata a G (s)

2. Sia l’ingresso R (s) un gradino di ampiezza 2. Ponendo C (s) = k, dove k é un parametro reale, si determini per quali valori di k é possibile ottenere un errore a regime inferiore a 0.1. Se non é possibile per alcun valore di k, si progetti un controllore C (s) che permetta di ottenere un errore a regime inferiore a 0.1.

(6)

3. Sia l’ingresso R (s) una rampa di pendenza unitaria. Ponendo C (s) = k, dove k é un parametro reale, si determini per quali valori di k é possibile ottenere un errore a regime inferiore a 0.1. Se non é possibile per alcun valore di k, si progetti un controllore C (s) che permetta di ottenere un errore a regime inferiore a 0.1.

Commento

La prima domanda richiede di tracciare i diagrammi di Bode della funzione di risposta armonica. Per prima cosa si ricava quindi tale funzione, a partire dalla G (s)

G(jω) = 10 −ω2 100 + jω 5 + 1 (jω + 100) (100jω + 1) (0.05jω + 2) Si ricava quindi la forma in costanti di tempo

G(jω) = 10 −ω2 100 + jω 5 + 1 100₁₀₀jω + 1(100jω + 1) 2 (0.025jω + 1) G(jω) = 1 20 −ω2 100 + jω 5 + 1 jω 100 + 1 (100jω + 1) (0.025jω + 1) Si analizzano ora i fattori che compongono la funzione di risposta armonica.

Il guadagno statico non influenza la fase. Per quanto riguarda il diagramma di Bode delle ampiezze, esso si rappresenta come una costante. In questo caso, il valore ´e

20 log 1 20

≈ −26.02

Il termine a numeratore ´e del tipo

G(jω) = 1 − ω

2

ωn2

+ j2δ ω ωn

In questo caso, ωn = 10, δ = 1. Il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze ´e come in figura

seguente:

ωn

(7)

−3 10−2 10−1 100 101 102 −270 −180 −90 0 90 180 Ph a se (d e g ) Frequency (rad/sec) ω_a ω b

Il diagramma di Bode asintotico delle fasi ´e come in figura seguente: Dove: ωa= 4.81δ−1· ωn≈ 2.08 → log (ωa) ≈ 0.32 ωb= 4.81δ· ωn≈ 48.1 → log (ωb) ≈ 1.68

I termini a denominatore sono del tipo

G(jω) = 1 1 + τ · jω

In questo caso, il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze ´e come in figura seguente:

ω0

-20 db/dec

dove ω0 = 1τ.

Il diagramma di Bode asintotico delle fasi ´e come in figura seguente:

10−3 10−2 10−1 100 101 102 −270 −180 −90 0 90 180 Ph a se (d e g ) Frequency (rad/sec) ωa ω b Dove: ωa= ω0 4.81

(8)

ωb= ω0· 4.81

I valori per i tre fattori che compongono il denominatore sono quindi i seguenti: 1. τ = 1 100 → ω0= 100 → log (ω0) = 2 ωa≈ 20.79 → log (ωa) ≈ 1.31 ωb ≈ 481 → log (ωb) ≈ 2.68 2. τ = 100 → ω0 = 1 100 → log (ω0) = −2 ωa≈ 0.002 → log (ωa) ≈ −2.7 ωb ≈ 0.0481 → log (ωb) ≈ −1.32 3. τ = 0.025 → ω0 = 40 → log (ω0) ≈ 1.6 ωa≈ 8.32 → log (ωa) ≈ 0.92 ωb≈ 192.4 → log (ωb) ≈ 2.28

Nella figura seguente ´e riportato il diagramma di Bode complessivo.

−120 −100 −80 −60 −40 −20 Magnitude (dB) 10−4 10−2 100 102 104 −90 −45 0 45 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

La seconda domanda riguarda l’errore di posizione, che ´e definito come: Ep=

A 1 + Kp

(9)

dove A ´e l’ampiezza del gradino, in questo caso A = 2, e Kp ´e calcolato come segue: Kp= lim s7→0C(s) G (s) Kp = lim s7→0k· 10 s2 100 +s5 + 1 (s + 100) (100s + 1) (0.05s + 2) = = k · 10 1 100 · 2 = 0.05k Per avere Ep <0.1: 2 1 + 0.05k <0.1 → k > 380

La terza domanda riguarda l’errore di velocit´a, che ´e definito come: Ev=

A Kv

dove A ´e la pendenza della rampa, in questo caso A = 1, e Kv ´e calcolato come segue:

Kv = lim

s7→0sC(s) G (s)

Siccome il sistema é di tipo zero, non é possibile ottenere un errore di velocitá limitato con una semplice azione proporzionale.

Si adotta pertanto un controllore con la forma seguente: C(s) = k

s

In questo modo, il sistema C (s) G (s) diventa di tipo 1, e per una selta opportuna del parametro k ´e possibile ottenere l’errore di velocit´a desiderato.

Kv = lim s7→0sC(s) G (s) = lims7→0s k sG(s) = lims7→0kG(s) = 0.05k Per avere Ev <0.1: 1 0.05k <0.1 → k > 200

Esercizio 2

Si consideri il seguente sistema in retroazione

G(s)

+

-Y(s)

R(s)

C(s)

(10)

1. Ponendo C (s) = k, dove k ´e un parametro reale, e ponendo

G(s) = s− 1

(s + 3) (s + 1) (s2_{+ 4s + 5)}

si tracci il luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione al variare di k da 0 a +∞ 2. Ponendo

G(s) = 1

(s + 30) (s2_{+ 2s + 10)}

si progetti un controllore C (s) tale per cui la risposta al gradino unitario del sistema chiuso in retroazione sia caratterizzata da:

• tempo di assestamento inferiore a 1s

• massima sovraelongazione percentuale inferiore al 10%

Commento

La prima domanda richiede di tracciare il luogo delle radici di un sistema. La funzione di trasferimento ha uno zero, z1= 1, e 4 poli:

• p1 = −3

• p2 = −1

• p3,4 = −2 ± i

Il luogo delle radici ha pertanto 3 asintoti.

Il centro della stella si trova sull’asse reale, nel punto σa=

1

3(−3 − 1 − 2 + i − 2 − i − 1) = −3 Gli angoli che formano gli asintoti con l’asse reale sono i seguenti:

• θa,0 = (2·0+1)π₃ = π₃

• θa,1 = (2·1+1)π₃ = π

• θa,2 = (2·2+1)π₃ = 5₃π = −π₃

(11)

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 −15 −10 −5 0 5 10 15 Root Locus Real Axis Im aginary Axi s

La seconda domanda riguarda il progetto di un controllore. Il controllore verr´a progettato mediante il luogo delle radici. La funzione di trasferimento del sistema ha 3 poli e nessuno zero. I poli sono:

• p1 = −30

• p2,3 = −1 ± 3i

Come nel caso precedente, il luogo delle radici ha 3 asintoti. Il centro stella si trova sull’asse reale, nel punto σa= 1 3(−30 − 1 + 3i − 1 − 3i) = − 32 3

Gli angoli che formano gli asintoti con l’asse reale sono quelli calcolati al punto precedente. Il luogo delle radici ´e rappresentato nelle figura seguente

(12)

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 −60 −40 −20 0 20 40 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 Root Locus Real Axis Ima ginary Axi s

Per il progetto del controllore, si approssima il sistema con un sistema del secondo ordine, con-siderando quindi unicamente la dinamica relativa alla coppia di poli complessi coniugati, che risulta dominante.

La specifica sul tempo di assestamento riguarda la parte reale dei poli. In particolare: |Re (p)| ≥ 3

Ta

= 3

La specifica sul tempo di assestamento riguarda il coefficiente di smorzamento δ. In particolare: S = 100e

−πδ

√

1−δ2 <10 → δ > 0.4348

Il coefficiente di smorzamento δ definisce una regione conica nel piano di Gauss, identificata dall’angolo φ:

φ= arccos δ ≈ 64.22◦

(13)

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 −60 −40 −20 0 20 40 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 Root Locus Real Axis Ima ginary Axi s

Una soluzione possibile consiste nel costruire un controllore che abbia due zeri che cancellano i poli complessi coniugati del plant, che si trovano fuori dalla zona desiderata per ogni valore del guadagno. Per ottenere poi una soluzione fisicamente realizzabile, si aggiungono due poli complessi coniugati, con parte reale e immaginaria opportune. Ad esempio:

C(s) = s

2_{+ 2s + 10}

s2_{+ 30s + 234}

dove i poli del controllore sono in −15 ± 3i. Si veda per esempio la figura seguente.

(14)

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 −60 −40 −20 0 20 40 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62 0.76 0.88 0.96 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 Root Locus Real Axis Ima ginary Axi s x x