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Fondamenti di Informatica

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Academic year: 2021

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(1)

Fondamenti di Informatica

Introduzione ai DBMS ed al Modello E -R

Pro f. M a rco Lo mb a rd i A . A . 2 0 1 9 / 2 0 2 0

(2)

Dati e Basi di Dati – 1/4

I dati sono importanti poiché costituiscono una risorsa

aziendale

• La loro importanza può essere pari all’importanza degli impianti di produzione, delle risorse umane, ecc.

Spesso i dati costituiscono una fonte di profitto per una certa azienda

I dati implicano informazione

L’informazione implica conoscenza

La conoscenza implica il supporto a decisioni (strategiche e/o aziendali)

(3)

Dati e Basi di Dati – 2/4

• È quindi necessario delineare quali sono i possibili modelli e linguaggi formali per la progettazione e manipolazione di semplici collezioni di dati

(4)

Dati e Basi di Dati – 3/4

Una base di dati è una collezione di dati in relazione tra

loro, i quali descrivono fatti che possono essere utilizzati per produrre informazioni

• I database hanno le seguenti caratteristiche:

Persistenza

Potenzialmente grandi

Potenzialmente condivisi

(5)

Dati e Basi di Dati – 4/4

Dati

Database 1

Dati

Database 2

Una base di dati è una collezione di dati in relazione tra

loro, i quali descrivono fatti che possono essere utilizzati per produrre informazioni

(6)

DataBase Management System (DBMS) – 1/2

Un DataBase Management System (DBMS) è un software che consente di ottenere la persistenza, la consistenza e la

gestione dei dati

• I dati vengono memorizzati da un DBMS, in modo che sia semplice reperirli, manipolarli e produrre informazioni

• Esistono diversi DBMS in commercio

• Ad esempio: Microsoft SQL, Oracle, MySQL, ecc.

• Verranno trattati aspetti generali, che sono comuni alla maggior parte dei DBMS

(7)

Dati

Database 1

Dati

Database 2 DataBase Management System (DBMS)

(8)

1

2

Linguaggi testuali specifici del DBMS utilizzato

Interfacce Grafiche (es. Microsoft™ Access®)

Linguaggi per Manipolare Dati

Linguaggio SQL (Structured Query Language)

Linguaggio testuale standard de facto per DBMS relazionali

Un modello dei dati è un insieme di concetti, utilizzati per

organizzare i dati di interesse mediante un DBMS

• Ogni DBMS fornisce linguaggi specifici per la definizione dello schema (la struttura) di un database e la

manipolazione (e accesso) dei suoi dati

(9)

1

2

Linguaggi testuali specifici del DBMS utilizzato

Interfacce Grafiche (es. Microsoft™ Access®)

Linguaggio SQL (Structured Query Language)

Linguaggio testuale standard de facto per DBMS relazionali

Verrà introdotto nella prossima lezione

Linguaggi per Manipolare Dati

Un modello dei dati è un insieme di concetti, utilizzati per

organizzare i dati di interesse mediante un DBMS

• Ogni DBMS fornisce linguaggi specifici per la definizione dello schema (la struttura) di un database e la

manipolazione (e accesso) dei suoi dati

(10)

Schema Concettuale

• Rappresenta le specifiche informali della parte di mondo reale che si sta rappresentando

• Nessun riferimento ai dettagli relativi agli aspetti «fisici» di memorizzazione dei dati ed alla loro codifica

Schema Logico

• Lo schema concettuale viene tradotto in termini di modello di rappresentazione dei dati

• Anche in questa fase non vi è nessun riferimento relativo ai dettagli «fisici» della memorizzazione

Schema Fisico

• Specifica i parametri fisici relativi alla memorizzazione ed alla codifica dei dati

• Dipendente dal DBMS

(11)

Fasi di Progettazione

Raccolta dei Requisiti

Progettazione Concettuale

Progettazione Logica

Progettazione Fisica

(12)

Lo schema concettuale fornisce una rappresentazione

astratta, di alto livello, dei requisiti dei dati, raccolti nella

fase di raccolta dei requisiti

• Descrizione dettagliata dei dati

• Descrizione delle relazioni tra i dati

• Descrizione di eventuali vincoli sui dati

Per la rappresentazione di uno schema concettuale si utilizza il modello Entità-Relazioni (modello E-R)

(13)

Entità

Modello E-R

Una entità rappresenta una classe di oggetti (ad es., automobili, impiegati, studenti) o di fatti (ad es., conti corrente, corsi universitari, ecc.)

Devono essere oggetti rilevanti

Ogni entità è caratterizzata da un nome (si

utilizzano nomi singolari) e da attributi

Caratteristiche

Un attributo è una specifica proprietà che caratterizza ciascuna

entità nel contesto di interesse

(14)

Entità

Rappresentata come rettangolo con all’interno il nome del tipo di entità

Attributo

Sono rappresentati mediante ovali, al cui interno vi è il nome dell’attributo (altra rappresentazione: cerchi)

Modello E-R

(15)

Modello E-R

Studente

Nome Cognome Matricola

(16)

Modello E-R

Studente

Nome Cognome Matricola

Entità

(17)

Modello E-R

Studente

Nome Cognome Matricola

Attributi

(18)

Modello E-R (altra rappresentazione)

Studente

CognomeNome

(19)

Una occorrenza di una entità sarà caratterizzata dai valori assunti dai suoi attributi

Modello E-R

Le Occorrenze

Nome: Mario Cognome: Rossi Matricola: 00001 Occorrenza 1 Nome: Giovanni Cognome: Gialli Matricola: 00002 Occorrenza 2 Nome: Antonio Cognome: Blu Matricola: 00003 Occorrenza 3

(20)

Una occorrenza di una entità sarà caratterizzata dai valori assunti dai suoi attributiRappresentazione TabellareTabella: Studente Nome: Mario Cognome: Rossi Matricola: 00001 Occorrenza 1 Nome: Giovanni Cognome: Gialli Matricola: 00002 Occorrenza 2 Nome: Antonio Cognome: Blu Matricola: 00003 Occorrenza 3

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001 Giovanni Gialli 00002 Antonio Blu 00003

Modello E-R

(21)

Una occorrenza di una entità sarà caratterizzata dai valori assunti dai suoi attributiRappresentazione TabellareTabella: Studente Nome: Mario Cognome: Rossi Matricola: 00001 Occorrenza 1 Nome: Giovanni Cognome: Gialli Matricola: 00002 Occorrenza 2 Nome: Antonio Cognome: Blu Matricola: 00003 Occorrenza 3

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001 Giovanni Gialli 00002 Antonio Blu 00003

Righe → Occorrenze (Record)

Modello E-R

(22)

Una occorrenza di una entità sarà caratterizzata dai valori assunti dai suoi attributiRappresentazione TabellareTabella: Studente Nome: Mario Cognome: Rossi Matricola: 00001 Occorrenza 1 Nome: Giovanni Cognome: Gialli Matricola: 00002 Occorrenza 2 Nome: Antonio Cognome: Blu Matricola: 00003 Occorrenza 3

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001 Giovanni Gialli 00002 Antonio Blu 00003

Righe → Occorrenze (Record)

Colonne → Attributi (Campi del record)

Modello E-R

(23)

Attributo composto

Attributo suddivisibile in parti più piccole

Modello E-R

(24)

Attributo composto

Attributo suddivisibile in parti più piccole

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola Indirizzo Via CAP Città Attributo Composto

(25)

Attributo multivalore

Attributo che può assumere più valori per ciascuna occorrenza di una entità

Modello E-R

(26)

Attributo multivalore

Attributo che può assumere più valori per ciascuna occorrenza di una entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola Telefoni Attributo Multivalore

(27)

Attributo multivalore

Attributo che può assumere più valori per ciascuna occorrenza di una entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola Telefoni Attributo Multivalore Nome: Mario Cognome: Rossi Matricola: 00001 Telefoni: 123, 456, 789 Occorrenza 1 Nome: Giovanni Cognome: Gialli Matricola: 00002 Telefoni: 987 Occorrenza 2

(28)

Attributo multivalore (altra rappresentazione)

Attributo che può assumere più valori per ciascuna occorrenza di una entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola Telefoni Attributo Multivalore (1,N)

(29)

cardinalità

di un attributo

Attributo multivalore (altra rappresentazione)

Attributo che può assumere più valori per ciascuna occorrenza di una entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola Telefoni Attributo Multivalore (min,max) (1,N)

(30)

Attributo derivato

Attributo che può essere determinato a partire da altri attributi dell’entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola DataNascita Età Attributo Derivato

(31)

Attributo derivato

Attributo che può essere determinato a partire da altri attributi dell’entità

Esempio

Modello E-R

Tipologie di Attributi

Studente

Nome Cognome Matricola DataNascita Età Attributo Derivato

L’attributo Età può essere derivato dall’attributo DataNascita

(32)

Il dominio di un attributo è l’insieme dei valori che possono essere assegnati ad un attributo di una entità

Esempi

Attributo Età

Dominio: valori da 18 a 100

Attributo Via

Dominio: insieme delle stringhe composte da al massimo 30

caratteri

Modello E-R

(33)

In un’occorrenza è possibile che il valore di un attributo sia

ignoto o nullo, poiché tale attributo non è applicabile ad

una specifica occorrenza

Si utilizza il valore NULL per indicare una di queste condizioni

Esempi

DataNascita = NULL

Data di nascita non nota

VotoLaurea = NULL

Laurea non ancora conseguita

Modello E-R

(34)

Attributo Chiave

• Una entità ha generalmente un attributo (o un insieme di attributi), i cui valori sono distinti per ciascuna occorrenza di un’entità

Tale attributo è l’attributo chiave

Modello E-R

(35)

Attributo Chiave

• Una entità ha generalmente un attributo (o un insieme di attributi), i cui valori sono distinti per ciascuna occorrenza di un’entità

Tale attributo è l’attributo chiave

Esempio

Modello E-R

Chiave di una Entità

Studente

Nome Cognome Matricola

(36)

Attributo Chiave

• Una entità ha generalmente un attributo (o un insieme di attributi), i cui valori sono distinti per ciascuna occorrenza di un’entità

Tale attributo è l’attributo chiave

Esempio

Modello E-R

Chiave di una Entità

Studente

Nome Cognome Matricola Attributo Chiave Il nome dell’attributo si sottolinea

(37)

Attributo Chiave

• Una entità ha generalmente un attributo (o un insieme di attributi), i cui valori sono distinti per ciascuna occorrenza di un’entità

Tale attributo è l’attributo chiave

Esempio (altra rappresentazione)

Modello E-R

Chiave di una Entità

Attributo Chiave

Studente

CognomeNome

(38)

Attributo Chiave

• Una entità ha generalmente un attributo (o un insieme di attributi), i cui valori sono distinti per ciascuna occorrenza di un’entità

Tale attributo è l’attributo chiave

Altro Esempio (altra rappresentazione)

Modello E-R

Chiave di una Entità

Chiave

Persona

Nome Cognome Data di nascita Indirizzo Luogo di nascita

(39)

La proprietà di unicità è un vincolo sullo schema

dell’entità, non su un particolare insieme di occorrenze

dell’entità

La chiave va determinata quindi sulla base delle

proprietà caratterizzanti la parte di mondo reale che la

base di dati rappresenta

Modello E-R

(40)

Una entità può avere più di un insieme di attributi che

verificano il vincolo di chiave

Esempio

Entità: Studente

Chiave candidata 1: Matricola

Chiave candidata 2: CodificeFiscale

• Entrambe queste chiavi candidate soddisfano il vincolo di chiave e la proprietà di unicità

• Alcune entità non hanno un attributo chiave

Una entità in cui non vi sono attributi chiave è detta entità

debole

Modello E-R

(41)

La chiave non deve essere dipendente da un particolare «stato» o da una particolare istanza di tabella

Modello E-R

(42)

La chiave non deve essere dipendente da un particolare «stato» o da una particolare istanza di tabella

Esempio

Modello E-R

Chiave di una Entità

Errato Corretto

Attributi Chiave: Nome, Cognome Attributi Chiave: Matricola

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001

Giovanni Gialli 00002

Antonio Blu 00003

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001

Giovanni Gialli 00002

(43)

La chiave non deve essere dipendente da un particolare «stato» o da una particolare istanza di tabella

Esempio

Modello E-R

Chiave di una Entità

Errato Corretto

Attributi Chiave: Nome, Cognome Attributi Chiave: Matricola

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001

Giovanni Gialli 00002

Antonio Blu 00003

Nome Cognome Matricola

Mario Rossi 00001

Giovanni Gialli 00002

Antonio Blu 00003

Anche se in questa istanza sono presenti

esclusivamente valori univoci, in futuro potrebbero

(44)

La proprietà di un attributo di essere chiave è dipendente dal contesto

Modello E-R

(45)

La proprietà di un attributo di essere chiave è dipendente dal contesto

Esempio

In questa caso, per l’entità Studente, l’attributo Matricola può essere considerato chiave?

Modello E-R

Chiave di una Entità

Matricola Cognome Nome Università

00001 Rossi Mario Università degli Studi di Salerno 00002 Verdi Giuseppe Università degli Studi di Salerno 00001 Bianchi Maria Università di Napoli «Federico II»

(46)

La proprietà di un attributo di essere chiave è dipendente dal contesto

Esempio

In questa caso, l’attributo Matricola può essere considerato chiave?

NO → Ci possono essere delle duplicazioni!

Modello E-R

Chiave di una Entità

Matricola Cognome Nome Università

00001 Rossi Mario Università degli Studi di Salerno 00002 Verdi Giuseppe Università degli Studi di Salerno

00001 Bianchi Maria Università di Napoli «Federico II»

(47)

La proprietà di un attributo di essere chiave è dipendente dal contesto

Esempio

In questa caso, l’attributo Matricola può essere considerato chiave?

NO → Ci possono essere delle duplicazioni!

Modello E-R

Chiave di una Entità

Matricola Cognome Nome Università

00001 Rossi Mario Università degli Studi di Salerno 00002 Verdi Giuseppe Università degli Studi di Salerno

00001 Bianchi Maria Università di Napoli «Federico II»

(48)

• Una associazione (denominata anche relazione)

rappresenta un collegamento semantico tra entità di interesse per l’applicazione

• Ogni associazione è caratterizzata da un nome

(tipicamente verbo all’infinito)

Modello E-R

(49)

• Una associazione (denominata anche relazione)

rappresenta un collegamento semantico tra entità di interesse per l’applicazione

• Ogni associazione è caratterizzata da un nome

(tipicamente verbo all’infinito)

Esempio

Modello E-R

Le Associazioni (o Relazioni)

(50)

• Una associazione (denominata anche relazione)

rappresenta un collegamento semantico tra entità di interesse per l’applicazione

• Ogni associazione è caratterizzata da un nome

(tipicamente verbo all’infinito)

Esempio

Modello E-R

Le Associazioni (o Relazioni)

Impiegato

Lavorare

Dipartimento

(51)

Esempio

Modello E-R

Le Associazioni (o Relazioni)

Impiegato1 Impiegato2 Impiegato3 Impiegato4 Impiegato5 Impiegato Dipartimento1 Dipartimento2 r1 r2 r3 r4 r5 Lavorare Dipartimento

(52)

Esempio

Modello E-R

Le Associazioni (o Relazioni)

Impiegato1 Impiegato2 Impiegato3 Impiegato4 Impiegato5 Impiegato Dipartimento1 Dipartimento2 r1 r2 r3 r4 r5 Lavorare Dipartimento

Impiegato1 Lavora per Dipartimento1 (r1)

Impiegato2 Lavora per Dipartimento 1 (r2)

Impiegato3 Lavora per Dipartimento 2 (r3)

Impiegato4 Lavora per Dipartimento 2 (r4)

(53)

Il grado di una associazione è il numero di entità che sono

coinvolte nell’associazione stessa (che vi partecipano)

Modello E-R

(54)

Il grado di una associazione è il numero di entità che sono

coinvolte nell’associazione stessa (che vi partecipano)

Esempio 1

Grado dell’associazione Lavorare

Coinvolte due entità

Impiegato e Dipartimento

Grado = 2

Modello E-R

Grado di una Associazione – 2/3

(55)

Esempio 2

Grado dell’associazione Lavorare

Coinvolte tre entità

Impiegato, CollaboratoreEsterno e Dipartimento

Grado = 3

Modello E-R

Grado di una Associazione – 3/3

Impiegato

Lavorare

Dipartimento

(56)

• Si definiscono vincoli strutturali di una relazione (o associazione)

• Rapporto di Cardinalità

• Partecipazione

Modello E-R

(57)

• Si definiscono vincoli strutturali di una relazione (o associazione)

Rapporto di Cardinalità

• Partecipazione

Modello E-R

(58)

1:1 (Uno-a-uno)

Una relazione è uno-a-uno se ad ogni occorrenza della prima entità corrisponde al più una occorrenza della seconda entità e viceversa

Esempio (Relazione: Dirigere)

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

Impiegato1 Impiegato2 Impiegato3 Impiegato4 Impiegato5 Impiegato Dipartimento1 Dipartimento2 r1 r2 Dirigere Dipartimento

(59)

1:1 (Uno-a-uno)

Una relazione è uno-a-uno se ad ogni occorrenza della prima entità corrisponde al più una occorrenza della seconda entità e viceversa

Esempio (Relazione: Dirigere)

• Rappresentazione mediante modello E-R

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

(60)

1:1 (Uno-a-uno)

Una relazione è uno-a-uno se ad ogni occorrenza della prima entità corrisponde al più una occorrenza della seconda entità e viceversa

Esempio (Relazione: Dirigere)

• Rappresentazione mediante modello E-R

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

Impiegato

1 Dirigere 1

Dipartimento

Indicano la cardinalità della relazione

(61)

1:N (Uno-a-molti)

Una relazione è uno-a-molti se ad ogni occorrenza della prima entità possono corrispondere più occorrenze della seconda

• Una occorrenza della seconda entità può essere associata al più ad una occorrenza della prima

Esempio (Relazione: Allocare)

Impiegato1 Impiegato2 Impiegato Progetto1 Progetto2 Progetto3 Progetto4 Progetto r1 r2 r3 r4 Allocare

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

(62)

1:N (Uno-a-molti)

Una relazione è uno-a-molti se ad ogni occorrenza della prima entità possono corrispondere più occorrenze della seconda

• Una occorrenza della seconda entità può essere associata al più ad una occorrenza della prima

Esempio (Relazione: Allocare)

• Rappresentazione mediante modello E-R

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

(63)

M:N (Molti-a-molti)

• Una relazione viene definita molti-a-molti se esiste

un’occorrenza della prima entità in relazione con più di un’occorrenza della seconda, e viceversa

Esempio (Relazione: Insegnare)

Docente1 Docente2 Docente Studente1 Studente2 Studente3 Studente r1 r2 r3 r4 Insegnare

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

(64)

M:N (Molti-a-molti)

• Una relazione viene definita molti-a-molti se esiste

un’occorrenza della prima entità in relazione con più di un’occorrenza della seconda, e viceversa

Esempio (Relazione: Insegnare)

• Rappresentazione mediante modello E-R

Modello E-R

Rapporto di Cardinalità

(65)

• Si definiscono vincoli strutturali di una relazione (o associazione)

• Rapporto di Cardinalità

Partecipazione

Modello E-R

(66)

Specifica se l’esistenza di una entità dipende dal

fatto che essa è correlata ad un’altra entità

attraverso una relazione

Due vincoli di partecipazione

• Totale

• Parziale

Modello E-R

(67)

• Il vincolo di partecipazione totale viene detto anche

dipendenza di esistenza

• Si rappresenta nel diagramma E-R con una doppia linea

Modello E-R

(68)

• Il vincolo di partecipazione totale viene detto anche

dipendenza di esistenza

Si rappresenta nel diagramma E-R con una doppia linea

Esempio

Modello E-R

Vincolo di Partecipazione Totale

(69)

• Il vincolo di partecipazione totale viene detto anche

dipendenza di esistenza

Si rappresenta nel diagramma E-R con una doppia linea

Esempio

La partecipazione di Impiegato a Lavora è una partecipazione totale

Ogni occorrenza di Impiegato è associata ad almeno una occorrenza di Dipartimento

Attraverso la relazione Lavorare

Modello E-R

(70)

• Si rappresenta nel diagramma E-R con una singola linea

Esempio

La partecipazione di Impiegato a Dirige è una partecipazione

parziale

Alcune entità (non necessariamente tutte) di Impiegato sono associate ad una occorrenza di Dipartimento

Attraverso la relazione Dirigere

Modello E-R

Vincolo di Partecipazione Parziale

(71)

Esistono altre notazioni per la rappresentazione dei vincoli

• Per ogni entità partecipante, è possibile rappresentare il numero minimo ed il numero massimo di occorrenze coinvolte nella relazione

La notazione utilizzata è la seguente (min, max)

Se min = 0 → partecipazione parziale

Se min > 0 → partecipazione totale

Modello E-R

Vincolo di Partecipazione

(72)

Esistono altre notazioni per la rappresentazione dei vincoli

• Per ogni entità partecipante, è possibile rappresentare il numero minimo ed il numero massimo di occorrenze coinvolte nella relazione

La notazione utilizzata è la seguente (min, max)

Se min = 0 → partecipazione parziale

Se min > 0 → partecipazione totale

Modello E-R

Vincolo di Partecipazione

(73)

Esistono altre notazioni per la rappresentazione dei vincoli

Per ogni entità partecipante, è possibile rappresentare il numero minimo ed il

numero massimo di occorrenze coinvolte nella relazione

La notazione utilizzata è la seguente (min, max)

• N.B. Nella maggior parte dei casi, è sufficiente utilizzare solo tre valori per indicare

le cardinalità di una relazione (associazione): zero, uno e il simbolo N (che indica genericamente un intero maggiore di uno. In particolare:

• per la cardinalità minima, zero o uno; nel primo caso si dice che la

partecipazione è opzionale (parziale), nel secondo caso si dice che la

partecipazione è obbligatoria (totale);

• per la cardinalità massima, uno o molti (N); nel primo caso la partecipazione

dell’entità relativa può essere vista come una funzione (parziale se la cardinalità minima vale zero) che associa a una occorrenza dell’entità una sola occorrenza (o nessuna) dell’altra entità che partecipa alla relazione; nel secondo caso c’è invece una associazione con un numero arbitrario di occorrenze dell’altra entità.

Modello E-R

Cardinalità delle relazioni

0 oppure 1

(74)

Modello E-R

Cardinalità delle relazioni (esempi)

Ordine

(0,1) Vendita (1,1)

Fattura

Osservando le cardinalità massime è possibile classificare le relazioni binarie in base al tipo di corrispondenza che viene stabilita tra le occorrenze delle entità coinvolte.

(75)

Modello E-R

Cardinalità delle relazioni (esempi)

Ordine

(0,1) Vendita (1,1)

Fattura

Osservando le cardinalità massime è possibile classificare le relazioni binarie in base al tipo di corrispondenza che viene stabilita tra le occorrenze delle entità coinvolte.

▪ Vendita → relazione uno a uno (relazione avente cardinalità massima pari ad uno per entrambe le entità coinvolte)

(76)

Modello E-R

Cardinalità delle relazioni (esempi)

Persona

(1,1) Residenza (0,N)

Città

Osservando le cardinalità massime è possibile classificare le relazioni binarie in base al tipo di corrispondenza che viene stabilita tra le occorrenze delle entità coinvolte.

▪ Residenza → relazione uno a molti (relazione avente un’entità con

(77)

Modello E-R

Cardinalità delle relazioni (esempi)

Turista

(1,N) Prenotazione (0,N)

Viaggio

Osservando le cardinalità massime è possibile classificare le relazioni binarie in base al tipo di corrispondenza che viene stabilita tra le occorrenze delle entità coinvolte.

▪ Prenotazione → relazione molti a molti (relazione avente cardinalità massima pari a N)

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