A

(1)

(2)

Introduzione 3

1 La attura muoni a su nu leo di deuterio 5

1.1 Fenomenologia della attura muoni a . . . 5

1.2 Cinemati a eplot diDalitz . . . 7

1.3 Tasso di attura muoni a . . . 9

2 I sisteminu leari on

A = 2

20 2.1 Il potenziale nu leone-nu leone . . . 20

2.2 Il deutone . . . 22

2.2.1 Proprietàdel deutone . . . 22

2.2.2 Cal olo della funzioned'onda deldeutone . . . 25

2.2.3 Risultati . . . 30

2.3 Sistemaneutrone-neutrone . . . 33

2.3.1 Cal olo della funzioned'onda delsistemaneutrone-neutrone . . 33

2.3.2 Risultati . . . 36

3 Il metodo Monte Carlo 40 4 Operatoridi ari a e orrente debole 45 5 Risultati 51 Con lusioni 54 A Programmi in linguaggio Fortran 56 A.1 PlotdiDalitz . . . 56

B Elementi di me ani a relativisti a 58 B.1 La metri adello spazio diMinkowski . . . 58

B.2 Matri idiDira . . . 59

C Cal olo degli elementi di matri e 61

(3)

In questo lavoro di tesi i proponiamo di studiare la attura muoni a su nu leo di

deuterio (

µd

) se ondo il pro esso

µ

−

_{+ d → n + n + ν}

µ

e di al olarne il tasso di attura

Γ

µd

.

Ci sonomoltepli i ragioni he indu onoisi ia studiarequestareazione. La attura

muoni a

µd

èinfattiilpiùsempli epro essomediatodall'interazionedebole he oin-volgeunnu leoepuòesseresia al olato hemisurato onunaltogradodipre isione.

Essendo noto il datosperimentale di

Γ

µd

, è possibile fare un paragone tra teoria ed esperimento, e quindi veri are la validità dell'appro io teori o usato per studiare

questotipodipro essi. Traquesti, isonoaltrereazionidigrossointeresseastrosi o

omela attura

p + p → d+e

+

_{+ ν}

e

(

pp

)[1℄ela

p +

3 _{He →}

4 _{He + e}

+

_{+ ν}

e

(hep)[2℄, he fanno partedella prin ipale atena direazioni he avvengono nelsole e nelle stelledi

sequenzaprin ipale,elereazioni

ν + d → ν + p + n

e

ν

e

+ d → e

−

_{+ p + p}

(

νd

),pro essi usati nel rivelatore SNO per rivelare i neutrini solari[3 ℄. Lo studio di tutte queste

reazioni ha dimostrato he l'operatore ditransizione nu leare debole è il medesimo.

Inparti olarel'operatoredi orrenteassiale(operatore diGamow-Teller)è quello he

dàil ontributopiùimportante,maèan hequellomenosotto ontrollo. Varimodelli

per iò sono possibili, ed è per questo motivo he è ne essario paragonare i risultati

teori i on ilmaggior numero didati sperimentali disponibili. Il tasso di attura

Γ

µd

è unodiquesti.

I dati sperimentali più re enti per

Γ

µd

sono stati ottenuti da G.Bardin et al. nel 1986[4 ℄ edaM.Cargnelli etal. nel1989[5℄, edhanno un'a uratezzadel6-10%. Essi

valgonorispettivamente

(470 ± 29)

s

−1

e

(409 ± 40)

s

−1

,e risultano quindiina ordo

solo marginalmente. Un progetto per misurare

Γ

µd

, on una migliore a uratezza, è stato presentato al Paul S herrer Institute (PSI) inSvizzera ed è stato approvato;

l'esperimento ora in atto è onos iuto ome MuSun[6 ℄. Tale esperimento si ollo a

all'internodiunprogrammapiùgeneraleil uineèdimostrare,attraversoilmaggior

numero didatisperimentali,lavaliditàdellateoria heèallabasedellereazionisopra

itate. In questoprogramma rientrano an he gli esperimenti MuCap[7 ℄ e MuLan[8 ℄,

he studiano la attura muoni a su protone

µ

−

_{+ p → n + ν}

µ

e il de adimento del muone

µ

+

_{→ e}

+

_{+ ν}

e

+ ν

µ

,rispettivamente.

Inlineadiprin ipio,la attura

µd

puòavvenireinduediversi statidistutturaiperne dell'atomo muoni o

µd

, detti stato di doppietto e di quartetto. Tuttavia, la attura

(4)

µd

avvieneprin ipalmente nellostatodidoppietto. An heleosservazionisperimentali esistenti ne danno onferma. L'esperimento MuSun si propone di misurare il tasso

di attura muoni asul deutone

Γ

µd

nello stato didoppietto onun errore minoredel 1.5%. Tale esperimento utilizza fas i di muoni he vengono fatti in idere su un

ber-sagliodigas ostituito dadeuteriopuro. A ausadella di oltà dirivelare parti elle

non ari he he vengonoprodottenellostatonale, iltasso di attura

Γ

µd

èmisurato on late ni aseguente. Ilmuone negativo

µ

−

puòsia de adere(

µ

−

_{→ e}

−

_{+ ν}

µ

+ ν

e

), on untasso dide adimento paria

Γ

µ

−

, he essere atturato on untasso di attura

Γ

µd

, mentre il muone positivo può solo de adere (

µ

+

_{→ e}

+

_{+ ν}

e

+ ν

µ

) on un tasso di de adimento

Γ

µ

+

. Denendo

Γ

−

= Γ

µ

−

+ Γ

_µd

e supponendo he

Γ

µ

−

= Γ

µ

+

, il tasso di attura muoni a

Γ

µd

può essere determinato ome dierenza tra

Γ

−

e

Γ

µ

+

,

Γ

µd

= Γ

−

− Γ

µ

+

. Il datosperimentaleperiltasso dide adimento

Γ

µ

+

èstato ottenu-to nell'esperimento MuLan, mentre, ri ostruendo evento perevento il punto in ui il

muone siè fermato, èpossibilemisurare iltasso dis omparsa

Γ

−

.

Inquesto lavoroditesi abbiamo al olato iltasso di attura muoni a

Γ

µd

nellostato didoppietto. Il al oloèstatosviluppato onsiderandounappro iononrelativisti o,

in uigli statinu leari iniziale e nale, des ritti da una Hamiltoniana

H

,sono stati ottenuti utilizzando opportuniprin ipi variazionali. Inoltre, nellostato naledei due

neutroni,abbiamo onsiderato solo l'ondaS,ossialostato

1 _S

0

he iaspettiamodia il ontributomaggiorealtassodi attura. Tuttavia,leondediordinesuperiore, ome

per esempio le onde P, non possono essere tras urate per un paragone signi ativo

onidatisperimentali. Infatti,peresempio, in [9 ℄èstatotrovato he

Γ

L=1

µd

≈ 1/3Γ

µd

. Inne, per il al olodel tasso di attura muoni a

Γ

µd

, abbiamo utilizzato laimpulse approximation, ioèabbiamo onsideratosolo glioperatoridi ari a e orrentedebole

a un orpo. Infatti, s opo di questo lavoro era vedere se l'utilizzo di tali operatori

fossesu iente ariprodurreildatosperimentale. Inrealtà,quello hesiosservaè he

ildato sperimentale nonè riprodottodalnostro al olo, e quindiè importante an he

introdurre estudiare i ontributidegli operatoridi ari a e orrente adue orpi.

Il presente elaborato è organizzato nel modo seguente: il Capitolo 1 è dedi ato allo

studio della inemati a e al al olo formale del tasso di attura muoni a

Γ

µd

. Nel Capitolo 2inve edis utiamo ilpotenziale nu leare utilizzatoinquestolavoroper

de-s riveregli statinu leari inizialee nale edes riviamo late ni a usataperil al olo

dellefunzioni d'ondadeldeutoneedelsistemaneutrone-neutrone. IlCapitolo 3è

de-di ato alla dis ussionedella te ni adiintegrazione MonteCarlo, appli ata al al olo

degli elementi di matri e di ari a e di orrente debole he ompaiono nel tasso di

attura

Γ

µd

. Nel Capitolo 4 dis utiamogli operatori di ari a e orrente debolea un orpo e irispettivi elementi dimatri e. Inne, nelCapitolo 5 riportiamo e

(5)

La attura muoni a su nu leo di

deuterio

1.1 Fenomenologia della attura muoni a

Ilmuone(

µ

−

)èunaparti ellaelementaredi ari anegativaappartenenteallafamiglia

deileptoni onmassa ariposoparia

m

µ

= 105.658

MeV

/c

2

, ir a

207

volte lamassa dell'elettrone (

e

−

). Esso è una parti ella instabile e de ade on una vita media di

ir a

2.2 µ

s se ondo ilseguente pro esso

µ

−

_{→ e}

−

+ ν

e

+ ν

µ

,

(1.1)

dove

ν

µ

ed

ν

e

sono rispettivamente il neutrino muoni o e l'antineutrino elettroni o. Quando un muone attraversa lamateria, esso viene attrattodai nu lei degli atomi e

quindi atturato. Una volta atturato, ilmuone ha due possibilità: de adere mentre

è in orbita attraverso il pro esso (1.1) oppure formare i osiddetti atomi muoni i.

Gliatomimuoni i dieris ono daquelli ordinari proprioper lapresenza diuno opiù

muonineigus i elettroni i. Dalmomento heilmuone èpiùpesantedell'elettrone, la

suaorbita nello stato fondamentale

1S

sarà piùvi inaalnu leo rispetto aquella he avrebbe un elettrone. Infatti,ilraggio diBohr perl'elettrone è denito ome

a

0 = 4π

ǫ

0 ~

2 µ

e

2 ≈ 5.29 × 10

−11

m

,

(1.2)

dove

e

èla ari adell'elettrone,

ǫ

0

è ostantedielettri adelvuotoe

µ

e

= m

e

m

p

/(m

e

+

m

p

)

èla massaridotta delsistema elettrone-protone,

m

e

= 0.511

MeV

/c

2

è lamassa

dell'elettrone e

m

p

= 938.272

MeV

/c

2

èla massadelprotone.

Perquantoriguarda unmuone inunnu leo di ari a

Ze

,ilraggio diBohr puòessere s ritto

a

µ

₀

= 4π

ǫ

0 ~

2 µ

µ

Ze

2

(6)

dove

µ

= m

µ

m

N

/(m

µ

+ m

N

)

è la massaridottadel sistema muone-nu leo on

m

N

massadelnu leo equindi

a

µ

₀

=

µ

e

µ

a

0 Z

≈

m

e

m

µ

a

0 Z

≈ 2.56 × 10

−13

_Z

−1

m

.

(1.4)

Nell'ultimauguaglianzasiè onsideratolamassadelprotoneedelnu leomolto

mag-giore di

m

e

m

µ

,rispettivamente. Dalla(1.4) sievin e he nello stato fondamentale il raggio orbitale muoni o è ir a

200

volte maggiore di quello della distribuzione di ari a nu leare (

≈ 10

−15

m) per gli atomi leggeri. Per atomi più pesanti, l'orbita

muoni a può diventare addirittura interna al nu leo stesso. Da questosi dedu e he

esiste una erta probabilità (dipendentedal numero di ari a

Z

) he il muone venga atturatoda un protonedelnu leo.

Nel presente lavoro di tesi si studierà la attura muoni a sul nu leo di deuterio

d

(

Z = 1

)se ondo il pro esso

µ

−

_{+ d → n + n + ν}

µ

.

(1.5)

Questo pro esso è s hematizzato in Fig.1.1. Un muone di quadri-impulso

k

µ

è

at-turato da unnu leodideuterio fermo on quadri-impulso

P

µ

. Iprodotti nali,ossia

i due neutroni ed il neutrino, hanno rispettivamente quadri-impulsi

P

µ

1

,

P

µ

2

,

k

′µ

. Il

muone si trova nello stato atomi o

1S

e si muove on una energia di ir a

3

keV. È per iò plausibile onsiderare l'impulso

k

del muone tras urabile. Utilizzando unità naturali (

~

= c = 1

),iquadri-impulsi sinqui introdotti sono osì deniti:

k

µ

= (m

µ

, 0) ,

(1.6)

P

µ

= (m

d

, 0) ,

(1.7)

k

′µ

= (ǫ

′

, k

′

_{) ≡ (k}

′

, k

′

) ,

(1.8)

P

₁

µ

= (E

1 , p

1 ) ≡ (

q

p

2 ₁

+ m

2 n

, p

1 ) ,

(1.9)

P

₂

µ

= (E

1 , p

2 ) ≡ (

q

p

2

2 + m

2 n

, p

2 ) ,

(1.10) dove

m

n

= 939.566

MeV è lamassa del neutrone,

m

d

= 1875.66

MeV è lamassa del deutone. Inoltre siindi a on

q

µ

ilquadri-impulso trasferito,denito ome

q

µ

_{= (k − k}

′

₎

µ

_{= (m}

µ

− ǫ

′

, −k

′

) .

(1.11) Esso orrisponde alquadri-impulso delbosone

W

−

s ambiato nell'interazione debole

(7)

Figura1.1: Catturamuoni a sulnu leodideuterio

µ

−

_{+ d → n + n + ν}

µ

.

1.2 Cinemati a e plot di Dalitz

Il plotdiDalitzèuno strumento he permettediindividuaregra amentela

inema-ti a di un pro esso a tre orpi. In questo lavoro, per des rivere il pro esso (1.5), si

utilizzeranno ome variabili le energie ineti he dei due neutroni

T

1

e

T

2

, rispettiva-mente,denite ome

T

i

= E

i

− m

i

on

i = 1, 2

. Perfare iò,ène essariospe i arele relazioni tra questegrandezze ed individuarne ivalori massimie minimi he possono

assumere.

Dalla onservazione dell'impulso sitrova he

p

1 + p

2 + k

′

= 0 ,

(1.12)

mentre dalla onservazionedell'energia siottiene

m

µ

+ m

d

= E

1 + E

2 + ǫ

′

=

q

p

2 ₁

+ m

2 n

+

q

p

2 ₂

+ m

2 n

+ ǫ

′

.

(1.13)

Elevando alquadrato ledueequazioni (1.12) e (1.13) siha he

p

2 ₁

+ p

2 ₂

+ 2p

1 p

2

os

φ = ǫ

′2

_,

(1.14)

(8)

dove

M

µd

= m

µ

+ m

d

= 1981.272

MeV e

φ

è l'angolo ompreso tra

p

1

ed

p

2

.

Combinando insieme le equazioni (1.14) e (1.15) si ottiene la relazione tra

p

1

e

p

2

, ovvero

p

2 =

−αβ ±

p4β

2 _γ

2 _m

2 n

+ γ

2 (α

2 − 4γ

2 m

2 n

)

2(β

2 _{− γ}

2 ₎

,

(1.16) dove

α ≡ 2M

µd

E

1 − M

µd

2 − 2m

2 n

,

β ≡ p

1

os

φ ,

γ ≡ E

1 − M

µd

,

(1.17) on la ondizione

4β

2 _γ

2 _m

2 n

+ γ

2 (α

2 − 4γ

2 m

2 n

) ≥ 0

.

Dall'equazione(1.14) èpossibiletrovare

p

1

infunzionedi

p

2

,

ǫ

′

e os

φ

. Cal olandone laderivataprima rispettoall'angolo

φ

e ponendola uguale azero, sipuò determinare il valore massimo eminimo di

p

1

. In parti olare, sitrova he ilvalore massimodi

p

1

si ha per

φ = π

e vale

p

1

max

= p

2 + ǫ

′

. Sostituendo questo risultato nell'equazione

(1.15) siottiene

p

1

max

=

1

2 (ǫ

′

₊

q

_M

2 µd

− 2ǫ

′

M

µd

− 4m

2 n

) .

(1.18) Derivando questo risultato rispetto a

ǫ

′

si trova he

p

1

è massimo quando

ǫ

′

_{= 0}

.

Quindi, dall'equazione(1.18) si ha he

p

1

max

=

1

2 q

M

_µd

2 _{− 4m}

2 n

,

(1.19)

E

1

max

=

q

p

2 ₁

max

+ m

2 n

=

M

µd

2 = T

1

max

+ m

n

,

(1.20) per ui

T

1

max

= 51.09

MeV.

Danotare he, quando

ǫ

′

_{= 0}

allora

p

1

max

= p

2 ≡ p

2

max

.

(1.21)

Studiamoinneilimitisu

ǫ

′

. Dall'equazione(1.18)sideveavere

M

2 µd

−2ǫ

′

M

µd

−4m

2 n

≥

0

,e quindi

ǫ

′

max

=

M

2 µd

− 4m

2 n

2M

µd

≈ 99.51

MeV

.

(1.22)

Tutte queste onsiderazioni sulla inemati a del pro esso (1.5) sonostate

implemen-tateinunprogrammariportatoinAppendi eA.1, s rittoinlinguaggioFortran,

otte-nendo ilgra oinFig.1.2. Laregione interna alla urvaèlaregione energeti amente

(9)

0

10

20

30

40

50

60

0

10

20

30

40

50

60 T

2 (MeV)

T

₁

(MeV)

ε′=0

ε′=90

Figura 1.2: Plot di Dalitz della attura muoni a

µd

ome funzione delle energie i-neti he dei due neutroni,

T

1

ed

T

2

. L'energia del neutrino orrispondente è indi ata dalle rette diagonali.

1.3 Tasso di attura muoni a

La atturamuoni a

µd

èunpro esso hepuòavvenireinduediversistatidistruttura iperne dell'atomo muoni o. Infatti

S

µd

= S

µ

+ S

d

=

1

2 ,

3

2

, dove

S

µ

indi a lo spin delmuone e

S

d

quellodeldeutone. Questi due statisarannoindi ati rispettivamente ome statididoppiettoe quartetto.

Nelpresentelavoro ilimiteremoastudiarela atturamuoni anellostatodidoppietto

S

µd

= 1/2

,poi héquestorisultadareil ontributo dominantealtasso di attura [10℄. Nell'ambitodelmodellostandarddelleparti elleelementari,ilpro esso(1.5)èmediato

dall'interazionedebole, la uidensitàdiHamiltonianatralostato iniziale

|ii

e quello nale

|fi

puòesseres ritta ome

hf|H

W

(x

µ

)|ii = i

h

− i

g

W

2 √

2 l

σ

(x

µ

₎

i

−i(g

στ

− q

σ

q

τ

/M

W

2 )

q

2 _{− M}

2 W

h

− i

g

W

2 √

2 V

µd

hf|J

τ

(x

µ

_)|ii

i

_,

(1.23)

dove

g

W

è la ostante adimensionale di interazione debole,

q

σ

è il quadri-impulso

trasferito,

M

W

è lamassa delbosone

W

−

pari a

80.40

GeV e

V

µd

=

os

θ

= 0.974

è

il oseno dell'angolodi Cabibbo [11℄.

Il termine

l

σ

_(x

µ

₎

rappresenta la orrente asso iata al verti e leptoni o ed assume la

seguente espressione

(10)

Lematri i

γ

σ

ed

γ

5

sonolematri idiDira ,le uiproprietàsonodis ussebrevemente

in Appendi e B.1.

Ψ

ν

(x

µ

₎

ed

Ψ

µ

(x

µ

₎

sono i bi-spinori di Dira del neutrino e del

muone, rispettivamente.

Ingeneraleunbi-spinore diDira

Ψ(x

µ

₎

èunamatri e olonnaaquattro omponenti:

le prime due omponenti rappresentano i due stati di spin del leptone, le altre due

rappresentano idue statidispin dell'anti-leptone. Per iò è possibiles rivere

Ψ(x

µ

) =

X

ks

h

a

ks

u(k, s)e

−ik

µ

x

µ

+ b

+

_ks

_{v(−k, s)e}

ik

µ

x

µ

i

,

(1.25)

dove il primo addendo rappresenta lafunzione d'onda del leptone, il se ondo la

fun-zione d'onda dell'anti-leptone,

u(k, s)

e

v(−k, s)

sono gli spinori di Dira ,

a

ks

e

b

+

ks

sonorispettivamente l'operatoreleptoni o didistruzionee reazionee lasomma

P

ks

è fatta su tutti ivalori possibili dell'impulso

k

e degli statidispin

s

. Inne

Ψ(x

µ

₎

è denita ome

Ψ(x

µ

_{) ≡ Ψ}

+

(x

µ

)γ

0 ,

(1.26) dove

Ψ

+

_(x

µ

₎

èl'hermitiano oniugato di

Ψ(x

µ

₎

. L'operatore

J

τ

_(x

µ

₎

rappresenta la orrenteasso iataalverti e nu leoni o

J

τ

(x

µ

) = (ρ(x

µ

), J(x

µ

)) ,

(1.27) e saràdis ussa nelCapitolo 4.

La ombinazione

−i(g

στ

_−q

σ

_q

τ

_/M

2 W

)/(q

2 −M

W

2 )

rappresentailpropagatoredelbosone

W

−

e poi hé il pro esso in questione avviene ad energie tali per ui

q

2 _{<< M}

2 W

(

q

max

= ǫ

′

max

,inequazione (1.22)), essopuò esseresempli ato ome

−i(g

στ

_{− q}

σ

_q

τ

_/M

2 W

)

q

2 _{− M}

2 W

≈

ig

στ

M

2 W

.

(1.28)

L'equazione(1.23) può esserealloraris ritta ome

hf|H

W

(x

µ

)|ii ≡

G

V

√

2 l

σ

_(x

µ

)hf|J

τ

(x

µ

)|ii

=

G

_√

V

2 h

Ψ

ν

(x

µ

)γ

σ

(1 − γ

5 )Ψ

µ

(x

µ

)

i

hf|J

τ

(x

µ

)|ii .

(1.29)

Quiabbiamo introdotto

G

V

= G

F

V

µd

(1 + δ

R

)

1/2

[12 ℄,dove

G

F

èla ostantediFermi denita ome

G

F

√

2 =

g

2 _W

8M

_W

2

(1.30)

e

δ

R

è il ontributo delle orrezioni radiative di ordine

α

[12℄. Inserendo i valori di [12℄,si ha he

G

V

= 1.14939 × 10

−5

GeV

−2

.

A questopunto introdu iamo l'operatore ditransizione ome

T ≡ −i

Z

(11)

e l'elemento dimatri e di

T

è datoda

hf|T |ii ≡ −i

Z

d

4 _xhf|H

W

(x

µ

)|ii

= −i

G

√

V

2 X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

i

Z

d

4 _{x hν(k}

′

_{, h)|l}

σ

(x

µ

_)|µ

1S

(k, s

µ

) i

×hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x

µ

)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.32)

Ri ordiamo he on

ν(k

′

_{, h)}

abbiamoindi atolafunzioned'ondadelneutrinodieli ità

h

, mentre

µ

1S

(k, s

µ

)

rappresenta la funzione d'onda delmuone nell'orbitale atomi o

1S

e nello stato dispin

s

µ

. Inoltre,

Ψ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )

rappresenta lafunzione d'onda dis attering delsistemaneutrone-neutrone onspin

s

1

e

s

2

, al olata espli itamente nelCapitolo 2, mentre

Ψ

d

(M

d

)

èla funzioned'onda deldeutone, nello stato (

1, M

d

), an he essa al olataespli itamente nelCapitolo 2. Innegli stati dispin

(1, M

d

)

del deutonee

(1/2, s

µ

)

delmuonesonostatia oppiatinellostato(

S

µd

, s

µd

) on

S

µd

= 1/2

inquestolavorodi tesi.

Utilizzando l'equazione (1.24) e (1.25) è possibile al olare espli itamente l'elemento

dimatri e della orrente leptoni a:

hν(k

′

, h)|l

σ

(x

µ

_)|µ

1S

(k, s

µ

)i = u(k

′

, h)γ

σ

(1 − γ

5 )Φ

1S

(r)u(0, s

µ

) e

ik

′

µ

_x

µ

_e

−im

µ

t

≡ l

σ

(h, s

µ

)Φ

1S

(r)e

ik

′µ

_x

µ

_e

−im

µ

t

_,

(1.33) dove

u(k

′

_{, h)}

e

u(0, s

µ

)

sono gli spinori del neutrino e del muone ed abbiamo posto

k

= 0

(vedi equazione (1.6)). Abbiamo inne introdotto

Φ

1S

(r)

he rappresenta la funzione d'onda del muone nell'orbitale

1S

, e on

r

abbiamo indi ato la oordinata relativa del sistema deutone-muone. In analogia all'atomo di idrogeno, la funzione

Φ

1S

(r)

può esseres ritta ome

Φ

1S

(r) = 2

1 √

4π

(a

µ

0 )

−3/2

e

−x/a

µ

0 .

(1.34)

Dal momento he

a

µ

0 = 2.56 × 10

−13

m per

Z = 1

(vedi equazione (1.4)) e il raggio nu leare è dell'ordine

10 −15

m, si può onsiderare ilnu leo ome puntiforme e

nell'e-lemento dimatri e (1.33), he ompare nell'integrale (1.32), si può sostituire

Φ

1S

(r)

on

Φ

1S

(r) ≈ Φ

1S

(0) ,

(1.35) dove

Φ

1S

(0)

vale

Φ

1S

(0) = 2(

e

2 m

µ

4πǫ

0 ~

2 )

3/2

√

1 4π

.

(1.36)

L'equazione(1.32) assumeadesso laseguenteespressione

hf|T |ii = −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

(h, s

µ

)

×

Z

d

4 x e

ik

′µ

x

µ

_e

−im

µ

t

_hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x

µ

)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.37)

(12)

J

σ

(x

µ

) = e

iHt

J

σ

(x)e

−iHt

,

(1.38) dove

H

è l'Hamiltoniana nu leare (vedil'equazione (2.1) nelCapitolo 2). Otteniamo quindi

hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x

µ

)|Ψ

d

(M

d

)i = e

i(E

1 +E

2 −m

d

)t

×hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.39)

L'equazione(1.37) può essereper iò ris ritta ome

hf|T |ii = −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

(h, s

µ

)

Z

d

4 x e

i(ǫ

′

t−k

′

·x)

× e

−im

µ

t

_e

i(E

1 +E

2 −m

d

)t

_hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i

= −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1

2 s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

_{(h, s}

µ

)

Z

dt e

i(E

1 +E

2 −m

d

−m

µ

+ǫ

′

)t

×

Z

dx e

−ik

′

·x

_hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i

= −i 2πδ(E

1 + E

2 − m

d

− m

µ

+ ǫ

′

)

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

×

X

s

µ

M

d

h

1

2 s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

_{(h, s}

µ

)

×

Z

dx e

−ik

′

·x

_hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i

≡ 2πδ(E

1 + E

2 − m

d

− m

µ

+ ǫ

′

)hf|M|ii ,

(1.40) on

hf|M|ii = −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

(h, s

µ

)

×

Z

dx e

−ik

′

·x

_hΨ

nn

(p

1 , p

2 , s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i ,

(1.41) e

δ(E

1 + E

2 − m

d

− m

µ

+ ǫ

′

) ≡ δ(∆E)

rappresenta la onservazione dell'energia nel pro esso di attura.

A questo punto è possibile al olare il tasso di attura muoni a

Γ

µd

. Utilizzando la regola d'orodi Fermi,si ha he

dΓ

µd

= (2π)

3 δ(p

1 + p

2 + k

′

)2πδ(∆E)

X

s

i

X

s

f

|hf|M|ii|

2 _(2π)

dp

1 ₃

_(2π)

dp

2 ₃

_(2π)

dk

′

₃

,

(1.42)

(13)

dove

δ(p

1 +p

2 +k

′

₎

rappresentala onservazionedell'impulso, on

P

s

i

e

P

s

f

abbiamo

mediatosuglistatidispininizialiesommatosuquellinalie

dp

1 (2π)

3 _(2π)

dp

2

3 dk

′

(2π)

3

èlospazio delle fasia tre orpi,ossiatutti ipossibilistatinali deidue neutroni edel neutrino.

Per sempli areil problema, èpossibileintrodurre

p

cm

= p

1 + p

2 ,

(1.43)

p

=

p

1 − p

2

2 ≡ pˆz ,

(1.44)

dove

p

cm

è l'impulso del entro di massanel sistema neutrone-neutrone, mentre

p

è l'impulsorelativodirettolungol'asse artesiano

z

,s elto omeassediquantizzazione. Sostituendo l'equazione(1.43) e (1.44) nelle equazioni (1.12) e (1.13) siottiene he

p

cm

= −k

′

= q ,

(1.45)

M

µd

=

r

k

′2

4 + p

2 − k

′

· p + m

2 n

+

r

k

′2

4 + p

2 + k

′

· p + m

2 n

+ ǫ

′

= 2

r

ǫ

′

₂

4 + p

2 _{+ m}

2 n

+ ǫ

′

+ O(

(k

′

_{· p)}

2 m

3 n

) .

(1.46) Quindi

∆E = E

1 + E

2 − m

d

− m

µ

≈ 2

r

ǫ

′2

4 + p

2 _{+ m}

2 n

− M

µd

− ǫ

′

,

(1.47) dove abbiamo tras urato i termini di ordine

O(

(k

′

·p)

2 m

3 n

)

. L'elemeto di matri e

(1.41)

può essereris ritto ome

hf|M|ii = −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

(h, s

µ

)

×

Z

dx e

iq·x

_hΨ

nn

(q, p, s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i

= −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1

2 s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

_{(h, s}

µ

)

×

Z

dx e

iq·(x−R)

_hΨ

nn

(p, s

1 s

2 )|J

σ

(x)|Ψ

d

(M

d

)i

≡ −i

G

√

V

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

(h, s

µ

)

×hΨ

nn

(p, s

1 s

2 )|J

σ

(q)|Ψ

d

(M

d

)i ,

(1.48) dove

R =

r

1 +r

2

è laposizionedel entrodimassadelsistemaneutrone-neutrone e

r

i

è la oordinata dell'i-esimo neutrone on

i = 1, 2

e

J

σ

(q) =

Z

(14)

dΓ

µd

= (2π)

3 δ(p

cm

+ k

′

)2πδ(∆E)

X

s

i

X

s

f

|hf|M|ii|

2 _(2π)

dp

cm

₃

_(2π)

dp

₃

_(2π)

dk

′

₃

.

(1.50)

L'integrazione su

p

cm

puòessere fattautilizzando lafunzione

δ(p

cm

+ k

′

₎

,equindi

dΓ

µd

= 2π δ(∆E)

X

s

i

X

s

f

|hf|M|ii|

2 dˆ

p

2 _dp

(2π)

3 dˆ

k

′

_ǫ

′2

_dǫ

′

(2π)

3 .

(1.51) L'integrazione in

ǫ

′

puòessere fattasfruttandolafunzione

δ(∆E)

. Poi hé

Z

dǫ

′

δ(∆E) =

1 |

∂∆E

∂ǫ

′

|

ǫ

′

_=ǫ

′

0 ,

(1.52) dove

ǫ

′

0

ètale per ui

∆E = 0

,e ioè

ǫ

′

₀

=

M

2 µd

− 4m

2 n

− 4p

2 2M

µd

,

(1.53) l'equazione (1.51) diventa

dΓ

µd

=

X

s

i

X

s

f

|hf|M|ii|

2 dˆ

p

2 _dp

(2π)

3 dˆ

k

′

(2π)

2 ǫ

′2

0 (1 −

ǫ

′2

0 M

µd

) .

(1.54)

O orre adesso al olare, l'elemento di matri e

M

f i

≡ hf|M|ii

, he può essere s ritto ome

M

f i

= −i

G

V

√

2 Φ

1S

(0)

X

s

µ

M

d

h

1

2 s

µ

, 1M

d

|S

µd

s

µd

il

σ

_{(h, s}

µ

)hΨ(p, s

1 , s

2 )|J

σ

(q)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.55)

Lafunzioned'ondadelsistemaneutrone-neutronepuòessereespansainondeparziali,

per ui

Ψ(p, s

1 , s

2 ) =

√

4π

X

LSJJ

z

√

2L + 1 i

L

_h

1

2 s

1 ,

1

2 s

2 |SS

z

i hSS

z

, L0|JJ

z

i

p

ˆ

Ψ

p,LSJJ

z

η

T T

z

,

(1.56)

dove

L

,

S

,

J

,

T

sono rispettivamente il momento angolare orbitale relativo, lo spin totale (

S = 0, 1

), il momento totale angolare (

J

= L + S

) e l'isospin del sistema neutrone-neutrone,

Ψ

p,LSJJ

z

è espli itata nell'equazione(2.59) delCapitolo 2 e

η

T T

z

rappresenta lo stato diisospin totaledei due neutroni. Essendo

T

z

= −1

deve essere ne essariamente

T = 1

, quindi

η

T T

z

≡ η

1−1

. Nell'approssimazione fatta in questo lavoroin uisololostato

1 _S

0

vienein luso,la

Ψ(p, s

1 , s

2 )

dipenderà solodalmodulo di

p

,manon dalla suadirezione ediventerà

Ψ(p, s

1 , s

2 ) ≡ Ψ(p, s

1 , s

2 ) = h

1

2 s

1 ,

1

2 s

2 |00iΨ

1 _S

0 p

,

(1.57)

(15)

dove

Ψ

1 _S

0 p

≡ Ψ

p,0000

η

1−1

. Quindil'equazione (1.55) puòessere ris ritta ome

M

f i

= −i

G

V

√

2 Φ

1S

(0)

√

4π

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|

1

2 s

µd

ih

1

2 s

1 ,

1

2 s

2 |00i

×l

σ

(h, s

µ

)hΨ

1 _S

0 p

|J

σ

(q)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.58) A questopunto

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 =

X

s

1 ,s

2 ,h

1

2 X

s

µd

G

2 V

2 |Φ

1S

(0)|

2 _4π

×|

X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|

1

2 s

µd

ih

1

2 s

1 ,

1

2 s

2 |00i

×l

σ

(h, s

µ

)hΨ

1 _S

0 p

|J

σ

(q)|Ψ

d

(M

d

)i|

2 .

(1.59) Per omodità,siutilizzerà omeassediquantizzazionequello orrispondenteal

quadri-impulso

q

. Espli itando l'equazione(1.59), siavrà he

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 =

X

s

1 ,s

2 ,h

1

2 X

s

µd

G

2 V

2 |Φ

1S

(0)|

2 4π|h

1 ₂

s

1 ,

1

2 s

2 |00i|

2 ×

h X

s

µ

M

d

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|

1

2 s

µd

il

σ

_{(h, s}

µ

)J

σ

(q, p, M

d

)

i

∗

×

h X

s

′

µ

M

′

d

h

1 ₂

s

′

_µ

, 1M

_d

′

_|

1

2 s

µd

il

τ

_{(h, s}

′

µ

)J

τ

(q, p, M

d

′

)

i

,

(1.60) dove

J

σ

(q, p, M

d

) ≡ hΨ

1 _S

0 p

|J

σ

(q)|Ψ

d

(M

d

)i .

(1.61) Utilizzandole proprietàdei oe ienti diClebsh-Gordonsitrova he

X

s

1 ,s

2 |h

1

2 s

1 ,

1

2 s

2 |00i|

2 _{= 1 ,}

(1.62) e

s

µd

= s

′

µ

+ M

d

′

= s

µ

+ M

d

,e quindi

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 =

1

2 G

2 V

2 |Φ

1S

(0)|

2 _4π

X

s

µ

M

d

M

d

′

h

1 ₂

s

µ

, 1M

d

|

1

2 (s

µ

+ M

d

)i

×h

1 ₂

(s

µ

+ M

d

− M

d

′

), 1M

d

′

|

1

2 (s

µ

+ M

d

)il

σ∗

_{(h, s}

µ

)

×l

τ

(h, (s

µ

+ M

d

− M

d

′

))J

σ

∗

(q, p, M

d

)J

τ

(q, p, M

d

′

) .

(1.63) Le varie possibilità dia oppiamento degli statidi spinsono mostrati nella Tab.1.1

(16)

i

M

d

M

d

′

s

µ

s

′

µ

C.G. 1 -1 -1

1/2

2/3

2 -1 0

1/2

−1/2 −

√

2/3

3 0 1

1/2

−1/2 −

√

2/3

4 0 0

1/2

1/3

5 0 -1

−1/2

1/2

−

√

2/3

6 0 0

−1/2 −1/2

1/3

7 1 0

−1/2

1/2

−

√

2/3

8 1 1

−1/2 −1/2

2/3

Tabella1.1: Possibilità dia oppiamentodeglistatidispinerisultatiperi oe ienti

C.G.

= h

1

2 s

µ

, 1M

d

|

1

2 (s

µ

+ M

d

)i h

1

2 (s

µ

+ M

d

− M

d

′

), 1M

d

′

|

1

2 (s

µ

+ M

d

)i

. e l'espressione(1.63) diventa

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 =

1

2 G

2 _V

2 |Φ

1S

(0)|

2 _4π

×

n X

h

l

σ∗

(h, 1/2)l

τ

(h, 1/2)

n

2

3 J

∗

σ

(q, p, −1)J

τ

(q, p, −1)

+

1

3 J

∗

σ

(q, p, 0)J

τ

(q, p, 0)

oi

+

X

h

l

σ∗

_{(h, −1/2)l}

τ

_{(h, −1/2)}

n

2

3 J

∗

σ

(q, p, 1)J

τ

(q, p, 1)

+

1

3 J

∗

σ

(q, p, 0)J

τ

(q, p, 0)

oi

−

X

h

l

σ∗

(h, 1/2)l

τ

_{(h, −1/2)}

√

2

3 n

J

∗

σ

(q, p, −1)J

τ

(q, p, 0)

+J

_σ

∗

(q, p, 0)J

τ

(q, p, 1)

oi

−

X

h

l

σ∗

_{(h, −1/2)l}

τ

(h, 1/2)

√

2

3 n

J

_σ

∗

(q, p, 0)J

τ

(q, p, −1)

+J

_σ

∗

(q, p, 1)J

τ

(q, p, 0)

oio

.

(1.64)

Dall'equazione (1.64) sievin e he ène essario al olare leseguenti quantità:

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

(h, s)

on

s = ±

1

2 ,

(1.65)

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

_{(h, −s)}

on

s = ±

1

2 .

(1.66)

(17)

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

(h, s) =

X

h

u(k

′

, h)γ

σ

_{(1 − γ}

5 )u(k, s

µ

)

i

∗

h

u(k

′

, h)γ

τ

_{(1 − γ}

5 )u(k, s

µ

)

i

=

Tr

h

γ

τ

_{(1 − γ}

5 )

6 k + m

µ

2m

µ

(

1 + γ

5 _{6 s}

2 )(1 + γ

5 _)γ

σ

6 k

′

2k

′

i

.

(1.67)

Utilizzandole proprietàdelle matri i

γ

e delle tra e(vediAppendi e B.1)si ottiene

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

(h, s) =

1 m

µ

k

′

n

k

τ

k

′σ

+ k

σ

k

′τ

_{− g}

στ

k

′

_{· k + iǫ}

στ αγ

k

γ

k

′

α

−m

µ

λ

h

k

′σ

n

τ

+ k

′τ

n

σ

_{− g}

στ

k

′

_{· n + iǫ}

στ αβ

n

β

k

α

′

i

,

(1.68) dove

λ = ±1

e

n

σ

_{≡ (0, 0, 0, 1)}

.

L'equazione(1.66) inve e puòessere ris ritta ome

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

_{(h, −s) =}

X

h

u(k

′

, h)γ

τ

(

γ

1 _{∓ iγ}

2

2 )(1 ∓ γ

3 _γ

0 _)γ

σ

_{u(k, s}

µ

)

i

=

Tr

h

γ

τ

(

γ

1 _{∓ iγ}

2

2 )(1 ∓ γ

3 _γ

0 _)γ

σ

6 k

′

2k

′

i

,

(1.69)

doveil

∓

si riferis erispettivamentead

s = ±1/2

.

Utilizzandole proprietàdelle matri i

γ

e delle tra e(vediAppendi e B.1)si trova

X

h

l

σ∗

(h, s)l

τ

_{(h, −s) = (g}

τ 1

_{∓ ig}

τ 2

)

n

k

′σ

k

′

± g

3σ

_{± g}

σ0

o

+(g

σ1

_{∓ ig}

σ2

)

n

k

′τ

k

′

∓ g

3τ

∓ g

τ 0

o

.

(1.70)

Sostituendo l'equazione(1.68) e (1.70) nella (1.64) siottiene

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 = G

2 V

π|Φ

1S

(0)|

2 ×

n

2 ₃

h

2i(J

_x

∗

_{(q, p, −1)J}

y

(q, p, −1) − J

x

(q, p, −1)J

y

∗

(q, p, −1))

+|ρ(q, p, 0)|

2 + |J

z

(q, p, 0)|

2 + ρ

∗

(q, p, 0)J

z

(q, p, 0)

+ρ(q, p, 0)J

∗

z

(q, p, 0) + 2(|J

x

(q, p, 1)|

2 + |J

y

(q, p, 0)|

2 )

i

−

2 √

2

3 n

(J

x

(q, p, 1) + iJ

y

(q, p, 1))(ρ

∗

(q, p, 0) + J

z

∗

(q, p, 0))

+(J

_x

∗

(q, p, 1) + iJ

_y

∗

(q, p, 1))(ρ(q, p, 0) + J

z

(q, p, 0))

o

.

(1.71)

(18)

Èpossibileris riverequest'ultimaespressioneintrodu endoglioperatori

J

±

(q, p, M

d

)

J

_±

(q, p, M

d

) = ∓

1 √

2 h

J

x

(q, p, M

d

) ± iJ

y

(q, p, M

d

)

i

.

(1.72)

L'equazione(1.71) si ridu e osì a

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 = G

2 V

π|Φ

1S

(0)|

2

3 ×

n

2|J

+

(q, p, −1)|

2 + 2|J

−

(q, p, −1)|

2 + |ρ(q, p, 0)|

2 +|J

z

(q, p, 0)|

2 + ρ

∗

(q, p, 0)J

z

(q, p, 0) + ρ(q, p, 0)J

z

∗

(q, p, 0)

+2 |J

+

(q, p, 1)|

2 + 2 |J

−

(q, p, 1)|

2 − 2 ρ

∗

(q, p, 0)J

−

(q, p, 1)

− 2 ρ(q, p, 0)J

−

∗

(q, p, 1) − 2 J

z

∗

(q, p, 0)J

−

(q, p, 1)

− 2 J

z

(q, p, 0)J

₋

∗

(q, p, 1)

o

.

(1.73)

Per ilteoremadiWigner-E kart, siha he

J

δ

(q, p, ±1) =

h1 ± 1, 1δ|00i

√

3 ||J(q, p)|| ,

(1.74)

dove

δ = ±1

e

||J(q, p)||

èl' elemento dimatri e ridotto. Per iò,si ha he

J

+

(q, p, −1) = J

−

(q, p, 1) ,

J

+

(q, p, 1) = J

−

(q, p, −1) = 0 .

(1.75) Utilizzandole proprietà(1.75) nell'equazione(1.73) si ottiene he

X

s

i

X

s

f

|M

f i

|

2 = G

2 V

π|Φ

1S

(0)|

2

3 |2J

−

(q, p, 1) − J

z

(q, p, 0)) − ρ(q, p, 0)|

2 _.

(1.76)

L'espressionedeltasso di attura muoni a (1.54) diventa

dΓ

µd

= G

2 V

π|Φ

1S

(0)|

2

3 2J

−

(q, p, 1) − J

z

(q, p, 0)) − ρ(q, p, 0)

2 ×

4π p

2 _dp

(2π)

3 4π

(2π)

2 ǫ

′2

0 (1 −

ǫ

′2

0 M

µd

) ,

(1.77) e quindi

dΓ

µd

dp

= G

2 V

|Φ

1S

(0)|

2

1 3π

2 2J

−

(q, p, 1) − J

z

(q, p, 0)) − ρ(q, p, 0)

2 ×p

2 ǫ

′2

₀

_{(1 −}

ǫ

′2

0 M

µd

) .

(1.78)

(19)

riportato nell'equazione (1.78), sono gli elementi di matri e

J

−

(q, p, 1)

,

J

z

(q, p, 0)

e

ρ(q, p, 0)

he abbiamo denito nell'equazione (1.61). Il al olo di tali elementi di matri e saràmostrato nelCapitolo 4. Però, perfare iò, ène essarioprima al olare

espli itamentelefunzionid'ondadeldeutone

Ψ

d

(M

d

)

edelsistemaneutrone-neutrone

Ψ

1 S

0

(20)

I sistemi nu leari on

A = 2

2.1 Il potenziale nu leone-nu leone

In generale, un qualunquesistema nu leare può esserevisto ome uninsieme di

par-ti elle (nu leoni) tra loro interagenti. Nel limite non relativisti o, tale interazione è

des ritta da unaHamiltoniana

H

deltipo

H ≡ T + V =

A

X

i=1

(−

~

2 2m

i

∇

2 i

) + (

A

X

i<j=1

v

ij

+

A

X

i<j<k=1

V

ijk

+ ...) ,

(2.1) dove

T =

A

X

i=1

(−

~

2 2m

i

∇

2 i

)

è l'energia ineti a,

A

è il numero di nu leoni del sistema

onsideratoe

m

i

èlamassadell'i-esimonu leone.

V = (

A

X

i<j=1

v

ij

+

A

X

i<j<k=1

V

ijk

+ ...)

rappresental'interazionenu leare, on

v

ij

e

V

ijk

l'interazioneadue orpieatre orpi, rispettivamente.

Nel presente lavoro, ome visto nel Capitolo 1, tratteremo sistemi a due orpi: il

deutonee il sistemaneutrone-neutrone. Quindil'Hamiltoniana nu leare

H

diventa

H = −

~

2 2µ

∇

2 r

+ V ,

(2.2)

dove

V ≡ V

12

,

r

= r

1 − r

2

è la oordinata relativa delsistemanu leone-nu leone,

r

i

è la oordinatadella i-esimaparti ella on

i = 1, 2

e

µ = (m

1 m

2 )/(m

1 + m

2 )

èlamassa ridotta. Il modello di potenziale he utilizzeremoper il al olodella funzione d'onda

deldeutone e del sistemaneutrone-neutrone è l'Argonne

v

18

(AV18)[13 ℄ e ne des ri-veremo brevementele aratteristi he prin ipali. La forzanu leareè aratterizzata da

(21)

del nu leo atomi o, ossia

1

fm

= 10

−13

m. Inoltre, poi hé il potenziale nu leare deve

essere invariante per traslazioni e per trasformazioni di Galileo, esso può dipendere

solo dalla distanza relativa

r

e dall'impulso relativo

p

=

1

2 (p

1 − p

2 )

, dove

p

1

e

p

2

sono gli impulsi delle due parti elle, e non da altre ombinazioni di

r

1

,

r

2

,

p

1

e

p

2

. Intuitivamente,dalmomento heesistononu leistabili omeperesempioildeutone,è

possibilepensareall'interazionenu lere omeunaforzaattrattiva. Inrealtà,da

osser-vazioni di arattere sperimentale sis opre helaforzanu leareèrepulsivaa distanze

internu leari pi ole,

r ≤ 1

fm, è attrativa per distanzeintermedie,

1

fm

< r < 2

fm, e alungoraggio, per

r > 2

fmpuòesseredes ritta ome mediatadallo s ambiodiun pione(one-pion-ex hange-OPE). Ilpotenziale OPEnas enel 1934 dall'idea diY

uka-wa di onsiderare l'interazione tradue nu leonimediata dallas ambiodivarimesoni

e in parti olare di onsiderare il potenziale a grandi distanze mediato dallo s ambio

diun pione[14 ℄.

Dastudi suilivellienergeti ideinu lei spe ulariedaosservazioni sulladiusione

ela-sti a neutrone-neutrone e protone-protone a basse energie[15℄, si s opre he la forza

nu leare fra i due nu leoni è, in prima approssimazione, indipendente dal loro stato

di ari a. Infatti,a parità di ongurazioni di spin, lasola dierenza nell'interazione

tra una oppia di due protoni e quella di due neutroni è la forza elettromagneti a

heesiste traidue protoni. Tale proprietàè tradotta nella onservazione dell'isospin

T

nell'interazione nu leare, quindi

[H, T

z

] = [H, T

2 _{] = 0}

, dove

T

è l'isospin totale

T

= T

1 + T

2

, ossia la forza nu leare è invariante sotto una rotazione nello spazio dell'isospin. Un'altra aratteristi a dell'interazione nu leare, he si osserva

sperimen-talmente[16℄,è heilsistemanu leone-nu leone onspintotale

S

= S

1 +S

2 = 0

(stato disingolettodispin) ha proprietàben diverse da quelledel sistema on

S = 1

(stato ditriplettodispin). Questosuggeris eunafortedipendenzadellaforzanu learedallo

spindeinu leoni. Ineetti,sipuòmostrare hel'operatore

σ

1 · σ

2

, on

σ

i

= 2S

i

per

i = 1, 2

, è proprio quello in grado di distinguere una oppia di nu leoni nello stato di triplettoda una oppia nello stato disingoletto. Inoltre, il datosperimentale he

il momento di quadrupolo

Q

d

del deutone (sistema legato protone-neutrone) è non nullo,puòesserespiegatosolointrodu endouna omponentetensorialenelpotenziale

nu leare, ovvero

S

12 = 3(σ

1 · ˆr)(σ

2 · ˆr) − σ

1 · σ

2

. Inne, studiando la diusione di nu leoni polarizzati, si osserva he nelle forze nu leari gio a un ruolo importante il

terminedispin-orbita

L

·S

,dove

L

èilmomentoangolarerelativotraledueparti elle. Tenendo onto di tutte queste onsiderazioni, un primo modello di potenziale preso

in onsiderazione in questo lavoro di tesi è l'Argonne

v

14

(AV14) he è stato s ritto ome [15℄ AV14

=

X

p=1,14

h

v

_π

p

(r) + v

_I

p

(r) + v

_s

p

(r)

i

O

p

₁₂

(2.3) dove

O

p

12

sonoiseguenti 14 operatori:

O

₁₂

p=1,14

=

h

1, σ

1 · σ

2 , S

12 , L · S, L

2 , L

2 (σ

1 · σ

2 ), (L · S)

2 i

⊗

h

1, τ

1 · τ

2 i

.

(2.4) I termini di ordine superiore ome

L

2

,

L

2 _(σ

1 · σ

2 )

e

(L · S)

2

sono introdotti per

(22)

La funzione radiale

v

p

π

(r)

è data dalla omponente OPE del potenziale nu leare per grandi distanze, mentre

v

p

I

(r)

e

v

p

s

(r)

des rivono laparte delpotenziale aintermedio e orto raggio,rispettivamente. Questeultime due omponenti delpotenziale

nu lea-re possono essere trattate o in maniera fenomenologi a, riprodu endo dunque i dati

sperimentali della diusione nu leone-nu leone a basse energie ome peresempio per

l'AV14, ointerminidis ambiodimesoni,sfruttandolateoriadiYukawa omeperil

potenzialediBonn[17 ℄.

Tuttaviaipotenziali ostruitiperriprodurreidatineutrone-protone,dannounas arsa

des rizionedei datiprotone-protone e vi eversa,an he dopo aver appli ato le

oppor-tune orrezioni perl'interazione Coulombiana. Questadis repanza è dovuta al fatto

hel'interazionefortehauna omponentedirotturadellasuaindipendenzadalla

ari- a[13 ℄. Quindiè ne essariointrodurre nuovitermini nell'equazione (2.4) he tengono

onto di tale osservazione. Il potenziale Argonne AV18[13 ℄ è infatti un'evoluzione

dell'AV14 e onsta,oltre ai14 termini dell'AV14,dialtri 4termini:

O

p=15,18

₁₂

= T

12 , (σ

1 · σ

2 )T

12 , S

12 T

12 , (τ

1z

+ τ

2z

) ,

(2.5) on

T

12 = (3τ

1z

τ

2z

− τ

1 · τ

2 )

.

Il potenziale AV18 è un modello diinterazione nu leare dialta qualità. Infatti, esso

riprodu e i dati sperimentali della diusione nu leone-nu leone e del sistema legato

neutrone-protone on un

χ

2

per dato pari a 1.09. Da notare he i dati disponibili

riprodotti,inun intervallo dienergia nellaboratorio paria 0-350MeV,sono4301.

2.2 Il deutone

Nel Capitolo 1, per al olare il tasso di attura muoni a, è stata introdotta la

fun-zione d'onda del deutone

Ψ

d

(M

d

)

e in questa sezione i proponiamo di al olarla espli itamente.

2.2.1 Proprietà del deutone

Il deutone è il più sempli e stato legato tra i nu leoni ed è formato da un protone

(

p

)eda unneutrone(

n

). Gliesperimentihanno permesso dideterminaremoltedelle sue proprietà. Da notare he, essendo un sistemadebolmentelegato, il deutone non

ammette statie itati.

Il momento angolare deldeutone

J

d

è denito ome

J

d

= S

p

+ S

n

+ l ,

(2.6)

dove

S

p

e

S

n

sonorispettivamente lospindelprotoneedelneutrone e

l

èilmomento angolare orbitale dei due nu leoni, il quale des rive ome essisi muovono attorno al

(23)

loro entrodimassa. Sperimentalmente sitrova he

J

d

assumeilvaloreparia

J

d

= 1

e he la parità della funzione d'onda è positiva (

Π = +

). La parità è un numero quanti o asso iato almoto orbitale dei due nu leoni e si ha

Π = (−)

l

, da ui deriva

he

l

deve esserene essariamente pari, inparti olare

l = 0, 2, ...

. Lo spintotale

S

d

,inve e, ètale he

S

d

= S

p

+ S

n

,

(2.7)

e può assumere il valore

S

d

= 0

, stato di singoletto dispin, oppure

S

d

= 1

, stato di tripletto di spin. Essendo

J

d

Π

_{= 1}

+

e dal momento he

J

d

=| l − S

d

|, ..., (l + S

d

)

, deve esserene essariamente

l = 0, 2

e

S

d

= 1

.

Inne,l'operatore diisospin

T

d

è denito ome

T

d

= T

p

+ T

n

,

(2.8)

dove

T

p

e

T

n

sono rispettivamente l'isospin del protone e quello del neutrone. L'o-peratore

T

d

puòassumere il valore

T

d

= 0

oppure

T

d

= 1

. Poi hé lafunzione d'onda deldeutonedeve soddisfareilprin ipio dies lusionediPauli equindideveessere

an-tisimmetri a perlos ambiodelle due parti elle, operando on l'operatoredis ambio