CORSO DI LAUREA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE, DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (A-E) ANNO ACCADEMICO (PROF. D.

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (A-E)

ANNO ACCADEMICO 2018-2019 (PROF. D. PUGLISI)

24-09-2018 Equazioni e disequazioni polinomiali, razionali e irrazionali.

25-09-2018 Insufficienza di Q con dimostrazione dell’irrazionalit`a di radice di 2. Defini- zione di numero reale, uguaglianza e ordinamento. Definizione di funzione e di successione. Definizione di successioni monotone. Successioni stabilizzate e lemmi sulle successioni stabilizzate (dimostrati sia per successioni in N che in R).

26-09-2018 Definizione di valore assoluto e dimostrazione di tutte le proprietá. Pro- prietà commutativa, associativa, distributiva, la legge di annullamento del prodotto, la regola dei segni^∗. Definizione della potenze a base reale ed esponente intero relativo con enunciazione delle proprietà usuali. Enuncia- zione del teorema di esistenza ed unicità della radice aritmetica n-esima e studio dell’equazione xⁿ = a negli altri casi.

01-10-2018 Cenni di teoria degli insiemi. Operazioni di appartenenza, unione, inter- sezione, complementare. Principio di doppia inclusione. Propriet`a commutativa, associativa e distributiva. Prodotto cartesiano. Relazione di equivalenza e insieme quoziente. Relazione di ordine parziale, di ordine totale e buon ordinamento. N `e ben ordinato^∗. Massimo e minimo di un insieme. Insieme dei maggioranti e minoranti. Estremo superiore e estremo inferiore. Completezza secondo Dedekind. Caratterizzazione.

03-10-2018 Caratterizzazione di completezza secondo Dedekind. Propriet`a caratteristiche del sup e inf di un insieme. Principio di Archimede. R `e Dedekind completo. Esercizi.

04-10-2018 N non è limitato superiormente. Proprietà caratteristiche del sup e inf in R. Densità di Q in R, densità di R \ Q in R ^∗. Esistenza e unicità della parte intera di un numero reale. Divisione euclidea. Esistenza e unicità della radice n-esima di un numero reale non negativo. Esistenza e unicità dell’esponenziale. Proprietà. Funzione iniettiva, suriettiva e invertibile. La funzione esponenziale è invertibile^∗. Esercizi.

08-10-2018 Definizione di log_ay. Propriet`a del logaritmo. Q non `e Dedekind completo.

Principio di induzione. Esercizi.

10-10-2018 Binomio di Newton. Numeri complessi. Operazioni. Forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso. C non ammette ordinamento totale. Formula di De Moivre. Radici n-esime di un numero complesso.

Teorema su n distinte radici n-esime di un numeo complesso^∗. Esercizi.

11-10-2018 Teorema fondamentale dell’algebra^∗. Decomposizione di un polinomio a coefficienti reale. Equazioni di secondo grado complesse. Esercizi. Spazi

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metrici. Esempi di spazi metrici. Intorni. Insiemi aperti e chiusi. Interno e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e di frontiera. Esercizi.

15-10-2018 Un insieme `e chiuso se e solo se contiene il derivato (o la frontiera). Insiemi compatti in uno spazio metrico. Teorema di Heine-Borel. Esercizi.

17-10-2018 Successioni reali. Successioni regolari e oscillanti. Successioni monotone. Ogni successione monotona `e regolare. Teorema di unicit`a del limite.

Teorema della permanenza del segno. Teoremi del confronto. Numero di Nepero^∗. Operazione di somma/differenza. Operazione di prodotto. Forma indeterminata del tipo (∞ − ∞) e (∞ · 0). Limiti di polinomi. Esercizi.

18-10-2018 Operazione di valore assoluto. Una successione `e infinitesima se e solo se

`

e assolutamente infinitesima. Successioni limitate. Il prodotto di una successione limitata e una infinitesima `e infinitesima. Operazione di reciproco e rapporto tra successioni. Operazione di esponenziale e logaritmo. Forme indeterminate del tipo ^∞_∞, ⁰₀, 0⁰, ∞⁰, 1^∞. Successioni estratte. Teo- rema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successioni limitata ammette estratta convergente. Esercizi.

22-10-2018 Criterio di convergenza di Cauchy. Se una successione converge allora ogni estratta converge allo stesso limite. Se esistono un numero finito di estratte i cui indici ricoprono N convergenti tutti allo stesso limite allora l’intera successione converge a tale limite^∗. Limiti notevoli:

(1) limn→∞ P (n)

Q(n), con P e Q polinomi.

(2) lim_n→∞Aⁿ, con A ∈ R.

(3) lim_n→∞ ^A_x^xnp

n con (x_n)_n divergente positivamente.

(4) lim_n→∞ ^ln_n^b_pⁿ

Esercizi. Un punto x₀ `e di accumulazione per A se e solo se ∀r > 0, B(x_o, r) ∩ A `e infinito.

24-10-2018 Limiti notevoli:

(5) limn→∞ nⁿ n!. (6) limn→∞ ⁿ

√n.

(7.1) limn→∞(1 + _x¹

n)^xⁿ con (xn)n divergente positivamente.

(7.2) limn→∞(1 + zn)^1/zⁿ con (zn)n infinitesima.

(8) lim_n→∞ ^ln(1−z_z ⁿ⁾

n con (z_n)_n infinitesima.

(9) limn→∞ a^xn−1

x_n con (xn)n infinitesima.

(10) lim_n→∞ ^(1+x_xⁿ⁾^α⁻¹

n con (x_n)_n infinitesima.

(11) limn→∞ sin xn

xn con (xn)n infinitesima.

(12) limn→∞ 1−cos xn

x²_n con (xn)n infinitesima.

Esercizi.

25-10-2018 Primo teorema di Cesaro^∗e corollario. Secondo teorema di Cesaro^∗e corollario. Esercizi. Serie numerica. Successione delle somme parziali. Caratte- re di una serie. Serie telescopica. Serie geometrica. Se una serieP∞

n=1a_n converge allora lim_n→+∞a_n = 0. Non vale il viceversa. Esempio (serie armonica). Serie a termini non negativi. Una serie a termini non negativi pu`o solo o convergere oppure divergere positivamente. Teorema del confronto di due serie a termini non negativi. Confronto asintotico di due serie a termini positivi. Esercizi.

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29-10-2018 Criterio del rapporto e rapporto asintotico. Criterio della radice e corollario. Criterio di Raabe e corollario^∗. Criterio di condensazione di Cauchy^∗. Esempi. Studio della serie armonica generalizzata attraverso il corallario di Raabe. Esercizi.

31-10-2018 Criterio di Condensazione di Cauchy. Serie a segno alterno. Teorema di Leibnitz 1 e Teorema di Leibnitz 2^∗. Assoluta convergenza. Ogni serie assolutamente convergente converge ma non vale il viceversa. Esercizi. Li- miti di funzioni lim_x→x₀f (x) = ` (includendo i casi x₀= ±∞ e ` = ±∞).

Teorema ponte tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esercizi.

05-11-2018 Operazioni su limiti di funzioni. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Esercizi.

07-11-2018 Restrizione di una funzione. Limiti di funzioni attraverso le restrizioni.

Limite destro e limite sinistro. Come provare che un limite non esiste.

Esempi. Ordine tra infiniti e infinitesimi. Il limx→x₀f (x) non dipende dal valore f (x0). Asintoto verticale , asintoto orizzontale e asintoto obliquo di una funzione. Teorema di limiti di funzioni composte. Teorema di cambia- mento di variabile per limiti di funzioni. Funzioni monotone. Teorema di limiti di funzioni monotone. Esercizi.

08-11-2018 Punti isolati. Funzioni continue in un punto e in un insieme. Operazioni di funzioni continue (somma-differenza, prodotto, rapporto). Teorema di composizione di funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri. Teo- rema di Darboux. Punti di massimo e minimo assoluti di una funzione.

Teorema di Weierstrass. Natura di punti di discontinuit`a. Esempi. Teore- ma di continuit`a per funzioni inverse (dimostrazione solo per il caso dominio compatto). Esercizi.

12-11-2018 Funzioni uniformemente continue. Ogni funzione uniformemente continua `e continua, ma non vale il viceversa. Controesempi. Teorema di Heine-Cantor (con dimostrazione diretta e indiretta). Funzioni lipschitziane e holderiane di esponente α > 0. Esempio di funzione uniformemente continua non holderiana per nessun esponente. Funzioni arcsin y, arccos y e arctan y.

Esercizi.

14-11-2018 Ogni funzione uniformemente continua `e prolungabile in maniera uniformemente continua fino alla chiusura. Studio delle funzioni iperboliche e inverse. Derivata di una funzione in un punto. Interpretazione geometrica della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione mediante la derivata. Operazione derivata di combinazioni lineari. Studio di derivate dei polinomi. Esercizi.

15-11-2018 Derivabilit`a implica la continuit`a ma non il viceversa (esempio). Operazio- ne derivata di prodotto, reciproco e rapporto. Teorema di derivazione di funzioni composte. Teorema di derivazione di funzioni inverse ^∗. Calcolo di derivata di a^x, log_ax, (g(x))^{f (x)}, sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x e arctan x. Estremi relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Esercizi.

19-11-2018 Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange e corollari (funzioni con derivata identicamente nulla su un intervallo e monotonia attraverso la derivata prima - calcolo punti di estremo relativo). Natura dei punti di non derivabilit`a (angolosi, cuspidali o a tangente verticale). Esercizi.

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21-11-2018 Derivate di ordine superiore. Teoremi di De L’Hopital. Corollario sulla natura dei punti di non derivabilit`a. Polinomio di Taylor. Teorema di Taylor col resto di Lagrange^∗. Teorema di Taylor col resto di Peano^∗. Esempi sul calcolo di limiti. Teorema sugli estremi relativi attraverso derivate di ordini superiore. Esercizi.

22-11-2018 Rappresentazione di un segmento nel piano. Funzioni convesse su un intervallo. Teorema delle 3 pendenze. Per ogni funzione convessa la funzione rapporto incrementale è non decrescente. Per una funzione convessa i punti di non derivabilità possono essere solo angolosi (quindi la funzione è necessariamente continua). Eserczi.

26-11-2018 Convessità attraverso derivata prima. Convessità attraverso la derivata seconda. Punti di flesso. Flessi attraverso derivata seconda. Teorema su convessità locale attraverso derivate di ordine superiore^∗. Esercizi.

28-11-2018 Decomposizione di un intervallo. Somme inferiore e somme superiori di una funzione relativi ad una decomposizione. Gli insiemi delle somme inferiori e delle somme superiori sono separati e contigui. Funzioni limitate Rie- mann integrabili. Esempio di funzione non Riemann integrabile. Criterio di Riemann integrabilit`a. Ogni funzione continua `e Riemann integrabile.

Esercizi.

29-11-2018 Simulazione prova in itinere.

03-12-2018 Ogni funzione monotona `e Riemann integrabile. Definizione della funzione integrale. Propriet`a dell’integrale di Riemann:

(i) f, g limitate e Riemann integrabili, α, β ∈ R, alloraRb

a(αf +βg)(x) dx = αRb

af (x) dx + βRb

af (x) dx (non dim).

(ii)

Rb

af (x) dx ≤Rb

a |f (x)| dx.

(iii) Se f ≤ g alloraRb

af (x) dx ≤Rb

a g(x) dx.

(iv) per ogni c ∈ [a, b] si ha Rb

af (x) dx =Rc

af (x) dx +Rb

c f (x) dx Esercizi.

05-12-2018 Funzione integrale. Propriet`a della funzione integrale. Teorema di Tor- ricelli. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim solo nel caso la funzione `e continua). Primitive di una funzione. Definizione dell’integrale indefinito. Operazione combinazione lineare. Teorema di integrazioni per parti. Applicazioni su primitive di alcune funzioni (formule per iterazione):

1. R logⁿx dx;

2. R xⁿe^xdx;

3. R xⁿsin x dx, R xⁿcos x dx;

4. R e^xsin x dx, R e^xcos x dx;

5. R ₁

(1+x²)ⁿ dx Esercizi.

06-12-2018 6. R cosⁿx dx, R sinⁿx dx;

Primo teorema di sostituzione. Secondo teorema di sostituzione.

7. R tanⁿx dx;

8. Integrali di funzioni fratte.

Esercizi.

10-12-2018 Esercizi.

12-12-2018 Applicazioni al secondo teorema di sostituzione:

9. R R(e^x) dx;

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10. R R(cos²x, sin²x, cos x · sin x) dx;

11. R R(cos x, sin x) dx;

12. R R x, ^p1q

ax+b cx+d, ^p2q

ax+b

cx+d, . . . , ^pnq

ax+b cx+d

dx;

13. R R(x,√

ax²+ bx + c) dx;

Esercizi.

13-12-2018 Esempio di funzione discontinua dotata di primitive. Esempio di funzione che non ammette primitive. Ogni funzione con discontinuità di prima o di seconda specie non ammette primitive. Estensione del teorema di Darboux^∗. Integrale improprio di prima specie. Integrabilità e somma- bilità. Assoluta sommabilità e criterio del confronto asintotico^∗. Som- mabilità della funzione test. Integrale improprio di seconda specie. In- tegrabilità e sommabilità. Assoluta sommabilità e criterio del confronto asintotico^∗. Sommabilità della funzione test. Integrale improprio di terza specie. Esercizi.

NB gli argomenti con^∗ non sono stati dimostrati