DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L–Z) 2011-2012 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L–Z) 2011-2012

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

DANIELE ANDREUCCI

DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSIT`A LA SAPIENZA

VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.).

I paragrafi del libro indicati sono riferiti alla seconda edizione.

Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti alla versione del 1 ottobre 2011 degli Esercizi d’esame e di controllo reperibili sul sito del corso.

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1. Luned`ı 26/9/2011

Presentazione del corso.

Insiemi numerici N, Z, Q.

Qintrodotto mediante gli assiomi di campo totalmente ordinato.

Teorema 1.1. Per ogni x ∈ Q, vale x · 0 = 0.

Per casa 1.2. Dimostrare che per ogni x ∈ Q, (−1) · x = −x.

Dimostrare che non pu`o esistere l’elemento inverso di 0.

Dimostrare che (−1) · x = −x.

Dimostrare che x ≤ y, z ≤ 0 implica x · z ≥ y · z. Teorema 1.3. (Densit`a) Dati due razionali x < y esistono infiniti razionali z tali che x < z < y.

Rappresentazione decimale dei razionali.

Teorema 1.4. Non esiste nessun x ∈ Q tale che x²= 2.

Approssimazione di √

2 per eccesso e per difetto con numeri razionali.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2.

2. Mercoled`ı 28/9/2011

Insiemi limitati superiormente e inferiormente.

Definizione di maggiorante e minorante, di estremo superiore e inferiore, di massimo e di minimo.

Definizione di estremo superiore come il pi`u piccolo dei maggioranti.

Assioma dell’esistenza dell’estremo superiore in R di ogni insieme limitato superiormente.

Definizione di potenza reale di base reale (positiva).

Per casa 2.1.

Teorema 2.2. Se A `e limitato superiormente, inf(−A) = − sup A.

Teorema 2.3. (s.d.) Dati x ∈ R ed ε > 0 esistono q¹, q2∈ Q e r¹, r2∈ R \ Q tali che

x − ε < q¹< x < q2< x + ε , x − ε < r¹< x < r2< x + ε . Esempio 2.4. Calcolo di sup e inf di:

A =n 1 − 1

n | n = 1, 2, 3, . . .o

, B = {x ∈ Q | x²< 11} ,

Definizione di intervalli limitati aperti e chiusi.

Teorema 2.5. (Propriet`a Archimedea) Per ogni x, y > 0 reali, esiste n ∈ N tale che nx > y.

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3. Gioved`ı 29/9/2011

Teorema 3.1. L’estremo superiore di un insieme `e unico.

Per casa 3.2.

Teorema 3.3. sup A `e il minimo dei maggioranti di A.

Teorema 3.4. Se A `e superiormente limitato, M = sup A se e solo se i) M `e un maggiorante di A;

ii) per ogni ε > 0 esiste x ∈ A tale che x > M − ε.

Esempio 3.5. Calcolo di sup e inf di

nan | an= 1 + 1

√n, se n `e pari; an = 2 − 1

n, se n `e dispario .

Teorema 3.6. (Induzione) (s.d.) Se la proposizione Pn `e vera per n = n0, e se

Pn vera =⇒ Pn+1 vera, allora Pn `e vera per ogni n ≥ n0.

Esempio 3.7.

n

X

k=0

k = n(n + 1)

2 ,

n

X

k=0

x^k =xⁿ⁺¹− 1

x − 1 , x 6= 1 .

Teorema 3.8. (Disuguaglianza di Bernoulli) Se a > 1, allora per k = 0, 1, 2, 3, . . .

a^k+1≥ 1 + ka(a − 1) . Esempio 3.9. Sia x > 0, e definiamo

A =

k

X

n=0

xⁿ| k = 1, 2, 3, . . . ;

allora sup A = 1/(1 − x) se 0 < x < 1, sup A = ∞ se x ≥ 1. Per casa 3.10. A) Sia 0 < x < 1 e

B =

p

X

i=1

x^mⁱ| p = 1, 2, 3, . . . mi ∈ N , m1< m2< · · · < mp ; si dimostri che sup B = _1−x¹ .

B) Determinare le somme

n

X

k=0

k².

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.2, 1.5.

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4. Venerd`ı 30/9/2011

Definizione di valore assoluto di un numero reale.

Teorema 4.1. Per x, y ∈ R, a > 0 vale

|x − y| < a se e solo se

x − a < y < x + a .

Teorema 4.2. (Disuguaglianza triangolare) Per x, y, z ∈ R valgono

|x + y| ≤ |x| + |y| , e

|x − y| ≤ |x − z| + |z − y| . Esercizio 4.3. Risolvere la disequazione:

|2 − x| > x².

Definizione di funzione; dominio, immagine, grafico.

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive.

Funzione inversa di biiezione. Grafico ottenuto per simmetria rispetto alla retta y = x.

Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo. Esempi di esistenza e non esistenza del massimo e minimo.

Funzioni monotone e strettamente monotone.

Teorema 4.4. Se f : A → R `e strettamente monotona in A allora `e invertibile in A.

La funzione esponenziale a^x e la sua inversa funzione logaritmo logax (a > 1). Le principali propriet`a del logaritmo.

Funzioni goniometriche: cos, sin, tg. Le funzioni inverse arctg : R → (−π/2, π/2), arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1, 1] → [0, π].

Per casa 4.5. Dimostrare che arctg x + arctg1

x= π

2, per ogni x > 0.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.1, 1.3.3, App. 1.A, 2.1, 2.2.1, 2.2.3, 2.3, 2.4, 2.6.

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5. Luned`ı 3/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Richiami sui vari insiemi numerici e sulle loro propriet`a.

Definizione dell’insieme dei numeri complessi come insieme di coppie ordinate di numeri reali.

Definizione delle operazioni di addizione e moltiplicazione e loro propriet`a.

Forma algebrica dei numeri complessi, propriet`a del numero i.

Coordinate polari nel piano e forma trigonometrica dei numeri complessi.

Passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa.

Esercizi sulle operazioni in forma algebrica e sul passaggio da una rappresentazione all’altra di vari numeri complessi.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4.

6. Mercoled`ı 5/10/2011

(prof. Filomena Pacella)

Teoremi sul prodotto e rapporto di due numeri complessi in forma trigonometrica.

Potenza con esponente intero positivo di un numero complesso.

Funzione esponenziale complessa e rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.

Teorema sulle radici di numeri complessi.

Esercizi sul calcolo del prodotto, rapporto e potenze di numeri complessi in forma trigonometrica.

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7. Gioved`ı 6/10/2011

Definizione di funzione composta f ◦ g.

La composizione `e associativa ma non commutativa.

Teorema 7.1. Se f e g sono entrambe crescenti, o decrescenti, f ◦ g `e crescente.

Se una delle due `e crescente e l’altra decrescente, f ◦ g `e decrescente.

Definizione di funzioni pari e dispari.

Esempio 7.2. Caso delle potenze intere: sono pari [dispari] se l’esponente `e pari

[dispari].

Teorema 7.3. Siano f pari, g dispari; oppure f dispari, g pari; oppure f pari, g pari; allora f ◦ g `e pari.

Siano f dispari, g dispari; allora f ◦ g `e dispari.

Esempi di comportamento di funzioni vicino a x = 0:

x², [x] , sin 1 x, 1

xsin1 x. Definizione di limite finito di una funzione f (x) per x → x⁰. Esempio 7.4. Esistenza di

x→0limx², e non esistenza di

x→0lim[x] .

Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2.2, 2.5, 3.2.

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8. Venerd`ı 7/10/2011

Definizione di limite (finito e infinito) di una funzione f (x) per x → x⁰, x → x⁰±.

Teorema 8.1. Casistica di

x→xlim⁰[f (x) + g(x)] .

Esempio 8.2. Limiti per x → 0+ di f(x) + g(x), ove g(x) = −1/x, x > 0, e f (x) = 1

x, f (x) = 2

x, f (x) = 1

x+ sin1

x, x > 0 .

Teorema 8.3. Casistica di

x→xlim⁰[f (x) · g(x)] . Teorema 8.4. Casistica di

x→xlim⁰ f (x) g(x). Per casa 8.5. Casistica di

x→0+lim x^αx^β,

α, β ∈ R.

Per casa 8.6. Costruire un esempio ove

x→0+lim f (x) = +∞ , lim

x→0+g(x) = +∞ , lim

x→0+

f (x) g(x) 6 ∃ .

9. Luned`ı 10/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Polinomi ed equazioni algebriche in campo complesso.

Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Teorema fondamentale dell’algebra (s.d.).

Decomposizione di un polinomio.

Polinomi a coefficienti reali e loro decomposizione in fattori di primo e secondo grado.

Esercizi vari sulle equazioni algebriche.

Esercizi di ricapitolazione sulle operazioni con i numeri complessi.

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10. Mercoled`ı 12/10/2011

Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso utilizzando la forma algebrica.

Richiami sulla definizione di limite nei vari casi ed esempi.

Esercizi di verifica del limite utilizzando la definizione.

Definizione di funzione continua.

Teorema sull’unicit`a del limite.

Teorema della permanenza del segno.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4, 3.2, 6.1.

11. Gioved`ı 13/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Teorema inverso della permanenza del segno.

Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto.

Teorema del confronto.

Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate.

Teorema sui limiti delle funzioni monotone.

Limiti e continuit`a della funzione esponenziale e della funzione logaritmo.

12. Venerd`ı 14/10/2011

Limiti e continuit`a della funzione potenza e delle funzioni trigonometriche dirette e inverse, mediante il teorema sui limiti delle funzioni monotone.

Limiti di funzioni esponenziali-potenze e relative forme indeterminate.

Teorema sui limiti delle funzioni composte.

Limite all’infinito di funzioni razionali.

Esercizi sugli argomenti trattati.

13. Luned`ı 17/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Esercizi sui limiti di funzioni esponenziali-potenze.

Definizione di infiniti e infinitesimi e loro confronto.

Uso del simbolo o(1).

Limiti di funzioni razionali che si presentano come rapporto di infinitesimi.

Principio di sostituzione degli infiniti e degli infinitesimi.

Limiti notevoli di funzioni trigonometriche.

Paragrafi di riferimento sul testo: 3.4 , 3.5 , 3.6.

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14. Mercoled`ı 19/10/2011

Ordine di un infinito o infinitesimo rispetto a un infinito o infinitesimo campione.

Confronto fra infiniti di tipo esponenziale e potenza.

Confronto fra infiniti di tipo logaritmico e potenza.

Esercizi vari sul confronto fra infiniti e infinitesimi.

Esercizi sul calcolo dell’ordine di infiniti o infinitesimi.

15. Gioved`ı 20/10/2011

Esercizi sull’estremo superiore e inferiore: 1, 3, 4/110.

16. Venerd`ı 21/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Esercizi sul confronto e sull’ordine di infinitesimi e infiniti.

Definizione di successione e limite di successioni.

Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate.

Riformulazione dei teoremi sui limiti nel caso delle successioni : unicit`a del limite, confronto, permanenza del segno, teorema sui limiti delle successioni monotone.

Esempi vari.

Definizione del numero e come limite di una successione monotona crescente.

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17. Luned`ı 24/10/2011

Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo.

Continuit`a da destra e da sinistra.

Teorema 17.1. Se f e g sono continue allora f + g, f g, f ◦ g, f/g se g 6= 0, f^g se f > 0, sono continue.

Permanenza del segno per funzioni continue.

Discontinuit`a eliminabili, di prima e di seconda specie.

Esempio 17.2.

sin1

x, [x] , f (x) =





 sin x

x , x 6= 0 , 0 , x = 0 ,

Esempio 17.3. La funzione di Dirichlet: f (x) = 0 se x ∈ Q, f(x) = 1 se x 6∈ Q. Per casa 17.4. Dimostrare che la funzione definita per x > 0 da

f (x) =







0 , x 6∈ Q , 1

p, x = m p ,

con m, p ∈ N primi tra loro, `e continua in R \ Q. Teorema 17.5. (Esistenza degli Zeri) Sia f ∈ C ([a, b]), con f(a)f(b) < 0.

Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0.

Dimostrazione del precedente teorema con il metodo del sup e con quello delle bisezioni.

Per casa 17.6. Costruire una funzione continua in [0, 1] con infiniti zeri isolati. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, 6.2, 6.3.

18. Mercoled`ı 26/10/2011

Dimostrazione della monotonia e limitatezza inferiore della successione che converge ad e.

Ulteriori limiti notevoli e relativi esercizi.

Confronto fra successioni che tendono all’infinito, in particolare il caso delle successioni n! e nⁿ.

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19. Gioved`ı 27/10/2011

(prof. Filomena Pacella) Criterio del rapporto per il confronto di successioni.

Teorema sul rapporto tra limiti di funzioni e limiti di successioni (s.d.).

Limitatezza delle successioni convergenti.

Successioni estratte o sottosuccessioni.

Relazione fra i limiti di una successione e quelli delle sue estratte.

Teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni limitate.

20. Venerd`ı 28/10/2011

Teorema dei valori intermedi per funzioni continue.

Teorema 20.1. Se f ∈ C (I) e I `e un intervallo, allora f(I) `e un intervallo.

Teorema 20.2. Una funzione monotona pu`o avere punti di discontinuit`a solo di prima specie.

Teorema 20.3. Se f ∈ C (I) con I intervallo `e invertibile, allora f `e strettamente monotona.

Teorema 20.4. L’inversa di una funzione continua `e continua.

Esempio 20.5. Definita g(a) come il valore dell’unico x > 0 tale che 1 − 2^−x= a

x, studiare la monotonia di g, e (per casa) trovare

a→∞lim g(a) .

Esercizio 20.6. Studiare la convergenza della successione definita per ricorrenza da

a1= 1 , an+1= sin an, n ≥ 1 .

Esercizio 1/720.

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21. Luned`ı 31/10/2011 1/2

Lemma 21.1. Una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso `e ivi limitata.

Teorema 21.2. (Weierstrass) Una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso assume il suo massimo e il suo minimo.

Teorema 21.3. Una funzione f continua in [0, ∞), tale che f(¯x) ≥ 0 per qualche x ≥ 0 e¯

x→∞lim f (x) = 0 , assume il suo massimo in [0, ∞).

Esempi di funzioni continue e no che assumono i loro estremi o no.

Il caso delle funzioni monotone.

22. Luned`ı 31/10/2011 2/2

Esercizi sui limiti di successioni: 4/710, 2/720.

Definizioni di sinh x, cosh x, tgh x.

Esercizio 22.1. Dimostrare che l’equazione tgh x = sin x

ha infinite soluzioni positive.

Esercizio 22.2.

n→∞lim n + 1

√n + 2tg 1

√n.

Esercizio 22.3.

x→0lim

x ln(1 + arctg x) e − e^cos⁴^x .

23. Mercoled`ı 2/11/2011

(prof. Filomena Pacella) Definizione di successione definita per ricorrenza (o ricorsiva).

Successione di Fibonacci.

Studio della monotonia della successione.

Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone crescenti.

Discussione dell’equazione limite.

Esempi vari.

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24. Gioved`ı 3/11/2011

Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone decrescenti.

Esempi e esercizi vari sulle successioni ricorsive.

25. Venerd`ı 4/11/2011

Definizione di suddivisione di un intervallo. Ampiezza di una suddivisione.

Raffinamenti di suddivisioni.

Somma superiore S(D, f) e inferiore s(D, f) relative a una suddivisione e a una funzione.

Lemma 25.1. Se D2⊂ D1 allora

s(D2, f ) ≤ s(D1, f ) ≤ S(D1, f ) ≤ S(D2, f ) .

Definizione di integrale secondo Riemann di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato.

Esempio 25.2. Integrale di funzioni costanti.

La funzione f (x) = x `e integrabile.

Per casa 25.3. Dimostrare che una funzione costante a tratti `e integrabile. Esercizio 25.4. Convergenza della successione

a1= 1 , an+1= 1 + 4 an+ 2.

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26. Luned`ı 7/11/2011

Lemma 26.1. f ∈ R(a, b) se e solo se per ogni ε > 0 esiste D^ε tale che 0 ≤ S(D^ε, f ) − s(D^ε, f ) ≤ ε .

Teorema 26.2. Se f `e monotona su [a, b] `e integrabile su [a, b].

Teorema 26.3. L’integrale gode delle proprietà di linearità, monotonia, additività rispetto all’intervallo di integrazione. Inoltre

b

Z

a

f

≤

b

Z

a

|f| .

Corollario 26.4. Una funzione monotona su [a, c] e su [c, b] `e integrabile su [a, b].

Per casa 26.5. Trovare una funzione tale che |f| ∈ R(a, b), ma f 6∈ R(a, b). Esempio 26.6. La funzione di Dirichlet non `e integrabile. Esempio 26.7. La funzione

f (x) =





 sin1

x, 0 < x ≤ 1 ,

0 , x = 0 ,

`e integrabile in [0, 1].

27. Mercoled`ı 9/11/2011

Funzioni lispchitziane. Costante di Lipschitz. Significato geometrico della definizione.

Lemma 27.1. Una funzione lipschitziana `e continua.

Proposizione 27.2. Una funzione lipschitziana in [a, b] `e integrabile in [a, b].

Definizione di modulo di continuit`a.

Lemma 27.3. Il modulo di continuit`a `e lipschitziano con costante 1.

Definizione di funzione uniformemente continua in I.

Teorema 27.4. Le funzioni in C ([a, b]) sono uniformemente continue in [a, b].

Teorema 27.5. Se f `e uniformemente continua in [a, b] allora `e integrabile in [a, b].

Corollario 27.6. C ([a, b]) ⊂ R(a, b).

Esempio 27.7. f (x) = √

x, 0 ≤ x ≤ 1 non `e lipschitziana, pur essendo

uniformemente continua, con δε= ε².

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28. Gioved`ı 10/11/2011

Studio dell’uniforme continuit`a delle funzioni:

√x , x ∈ [0, ∞) ; sin1

x, x ∈ (0, 1) ; sin x², x ∈ [0, ∞) ; x², x ∈ [0, ∞) .

Per casa 28.1. Se f `e uniformemente continua in [0, ∞) esistono due costanti a,

b > 0 tali che |f(x)| ≤ ax + b, x ≥ 0.

Lemma 28.2. (s.d.) La funzione continua f : (a, b) → R `e uniformemente continua in (a, b) se e solo se esistono finiti i limiti f (a+) e f (b−).

Teorema 28.3. Sia f : [a, b] → R limitata, e continua in [a, b] a parte un numero finito di punti di discontinuit`a. Allora f ∈ R(a, b).

Definizione di media integrale

M (a, b, f ) := 1 b − a

b

Z

a

f (x) dx .

Teorema 28.4. Vale inf[a,b]f ≤ M(a, b, f) ≤ sup[a,b]f .

Corollario 28.5. Se f ∈ C ([a, b]) allora esiste c ∈ [a, b] tale che M(a, b, f) = f(c).

Teorema 28.6. Se f ∈ R(a, b) e f `e continua in x⁰, allora M (x, x0, f ) → f(x⁰) per x → x⁰.

Esercizio 28.7. Sia f ∈ C ([a, b]), conR1

0 f = 0,R1

1

2 f < 0. Allora esiste c tale che

f (c) = 0.

Per casa 28.8. Siano f , g ∈ C ([a, b]), con f > g su [a, b]. AlloraRb a f >Rb

a g. Esercizio 28.9. Studiare il limite della successione an data da

an

Z

0

dx

x + e^√^x+ 1 = n .

Esercizio 28.10. Sia f ∈ C ([a, b]), con Rβ

αf ≥ 0, per ogni [α, β] ⊂ [a, b]. Allora

f ≥ 0.

Per casa 28.11. Sia f : [0, ∞) → R tale che f(x) → L per x → ∞. Allora per

ogni x0≥ 0 si ha M(x, x0, f ) → L per x → ∞.

Cenno iniziale agli integrali impropri.

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29. Venerd`ı 11/11/2011

Retta tangente come migliore approssimazione lineare.

Definizione di derivata.

Esempi di derivate: ax + b, x², e^x, |x|, sin x.

Per casa 29.1. Derivare cos x.

Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange.

Teorema 29.2. Se f^′= 0 in un intervallo aperto, f `e costante in quell’intervallo.

Definizione diRb

a f con a ≥ b.

Teorema 29.3. Se f `e continua in x0, allora posto F (x) =

x

Z

a

f (t) dt si ha F^′(x0) = f (x0).

Teorema 29.4. Se f `e continua in [a, b], e F^′= f in (a, b), allora

x

Z

a

f (t) dt = F (x) + C , x ∈ [a, b] .

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30. Luned`ı 14/11/2011

Notazione di Leibniz.

Teorema 30.1. Se f `e derivabile in x0 allora `e continua in x0. Teorema 30.2. Se f e g sono derivabili in x0 allora:

(αf + βg)^′(x0) = αf^′(x0) + βg^′(x0) , (f g)^′(x0) = f^′(x0)g(x0) + f (x0)g^′(x0) ,

f g

′

(x0) = f^′(x0)g(x0) − f(x⁰)g^′(x0)

g(x0)² , se g(x0) 6= 0.

Derivate di xⁿ e x⁻ⁿ, n ∈ N.

Definizione di integrale indefinito.

Esempio 30.3.

b

Z

a

xⁿdx = bⁿ⁺¹− aⁿ⁺¹ n + 1 .

Teoremi di derivazione di funzione composta e di funzione inversa.

Derivate di ln x, x^αα ∈ R, α^x α > 0, tg x, arcsin x, arccos x, arctg x.

Per casa 30.4. Derivare cosh x, sinh x.

Teorema 30.5. Se f^′≥ 0 [f^′ > 0] in (a, b), allora f `e [strettamente] crescente in (a, b).

Se f^′≤ 0 [f^′< 0] in (a, b), allora f `e [strettamente] decrescente in (a, b).

Per casa 30.6. Studiare la monotonia di f (x) = (|x|^1/4− 3)⁴. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4, 8.5.

31. Mercoled`ı 16/11/2011 prof. Filomena Pacella Definizione di serie numerica e somme parziali.

Condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Serie geometrica, serie di Mengoli.

Serie a termini non negativi.

Serie armonica.

Esempi vari.

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32. Gioved`ı 17/11/2011

Definizione di punto angoloso e di cuspide.

Localizzazione di un estremo locale: punti critici.

Definizione di derivata destra e sinistra.

Ricerca degli asintoti obliqui.

Per casa 32.1. Studio della funzione f (x) = −x

4 + arctgp|x − 1| .

Esempi di studio di funzione.

Esempio 32.2. Calcolare f⁻¹(1) e (f⁻¹)^′(1), se f : [−π/2, π/2] → R `e data da f (x) = e^x+ sin x .

33. Venerd`ı 18/11/2011

Derivate seconde e successive. Classi Cⁿ((a, b)).

Definizione di funzione convessa e concava in un intervallo.

Teorema 33.1. Se f ∈ C²((a, b)) e f^′′≥ 0 in (a, b), allora f `e convessa in (a, b).

Esempio 33.2. Studio della funzione f (x) = −x

4 + arctgp|x − 1| .

Esempio 33.3. La funzione f (x) = x²sin(1/x) `e ovunque derivabile ma non ha

derivata continua.

18

(19)

34. Luned`ı 21/11/2011

Teorema dell’Hopital.

Teorema di Cauchy.

Esempio 34.1.

x→lim^π2

π 2 − x

tg x ; lim

x→∞

1 xe^x

x²

Z

0

e^√^tdt ; lim

x→∞xπ

2 − arctg x .

Definizione di integrale improprio, convergente e divergente.

Esempio 34.2. Calcolo di Z∞

1

dx

x^α , α > 0 .

Per casa 34.3. Calcolo di

1

Z

0

dx

x^α , α > 0 .

Esempio 34.4. Calcolo del limite

x→∞lim xπ

2 − arctg x a partire da

π

2 − arctg x = Z∞

x

dt 1 + t².

35. Mercoled`ı 23/11/2011 prof. Filomena Pacella

Serie resto e condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Serie a termini positivi.

Criterio del confronto e del confronto asintotico.

Criterio del rapporto.

Esercizi vari.

(20)

36. Gioved`ı 24/11/2011

Cenno al differenziale di funzioni di due variabili.

Integrazione per parti.

Integrazione per sostituzione.

Metodo dei fratti semplici per l’integrazione di funzioni razionali.

Esempi; esercizio 7/520.

Per casa 36.1. Dimostrare che

Z dx

(1 + x²)^m = x(x²+ 1)^1−m

2(m − 1) +2m − 3 2m − 2

Z dx

(1 + x²)^m−1.

Per casa 36.2. Calcolare Z dx

1 + x⁴.

37. Venerd`ı 25/11/2011

prof. Filomena Pacella Criterio della radice per le serie.

Esercizi vari sulle serie a termini non negativi.

Serie di segno variabile.

Convergenza assoluta e convergenza semplice.

La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (s.d.).

La convergenza semplice non implica la convergenza assoluta.

Serie a segni alterni e enunciato del criterio di Leibniz.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8.3, 4.9.1.

20

(21)

38. Luned`ı 28/11/2011

Integrazione per sostituzione di varie funzioni riconducibili a funzioni razionali:

R(x,pa²± (cx + d)²) , R(x,p(cx + d)²− a²) . Esempi.

Esempio 38.1. Integrazione per parti di Z

e^axcos(bx) dx .

Esercizi 6/520, 1/580.

Esercizio 38.2. Trovare una stima inferiore per f (1), sapendo che f ∈ C²(R) , f (0) = 0 , f (1/2) = 1 , f^′′≥ 0 .

Per casa 38.3. Trovare una funzione f tale che

f (x)²=

x

Z

0

f (t) t

1 + t²dt , x ∈ R .

Per casa 38.4. Calcolare

Z √ x²+ x

x dx .

39. Mercoled`ı 30/11/2011 prof. Filomena Pacella Dimostrazione del criterio di Leibniz.

Stima dell’errore per serie a segni alterni.

Confronto tra serie numeriche e integrali impropri.

Criterio dell’integrale per la convergenza di una serie numerica.

Esercizi vari.

(22)

40. Gioved`ı 1/12/2011

Polinomi di Taylor.

Teorema 40.1. Il polinomio di Taylor Tn di ordine n `e l’unico polinomio di grado

≤ n tale che Tⁿ^(k)(x0) = f^(k)(x0) per k = 1, . . . , n.

Teorema 40.2. (Peano) Il polinomio di Taylor Tndi ordine n `e l’unico polinomio di grado ≤ n tale che

f (x) = Tn(x) + o((x − x0)ⁿ) , x → x0.

Esempio 40.3. Sviluppi di MacLaurin di e^x, sin x.

Per casa 40.4. Sviluppo di MacLaurin di cos x.

Esercizio 2/310.

41. Venerd`ı 2/12/2011

Esercizi sugli sviluppi di Taylor.

Teorema 41.1. (Formula del resto di Lagrange) Sia f ∈ Cⁿ⁺¹((a, b)).

Allora, se x, x0∈ (a, b) e Tn denota il polinomio di Taylor di f in x0, vale f (x) − Tn(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(cx)

(n + 1)! (x − x0)ⁿ⁺¹, ove cx appartiene all’intervallo di estremi x0 e x.

Esempi di serie di Taylor.

42. Luned`ı 5/12/2011

Serie di Taylor.

Serie di potenze.

Definizione di raggio di convergenza R.

Teorema 42.1. L’insieme di convergenza di una serie di potenze `e un intervallo di raggio R centrato in x0.

Teorema 42.2. Se esiste uno dei limiti

k→∞lim

p|ak ^k| = L , lim

k→∞

|ak+1|

|a^k| = L , allora R = 1/L.

Ogni serie di potenze convergente `e la serie di Taylor della sua somma.

Esercizi: 7/110, 5/420.

22

(23)

43. Mercoled`ı 7/12/2012

Definizione di punti di flesso.

Test delle derivate successive per i punti critici.

Esempio 43.1. Applicazione del test a f (x) = x⁴− 4x³+ 6x²− 4x + 1. Esercizio 1/800.

44. Venerd`ı 9/12/2011

Esercizi: 2,4/770, 8/110.

Esempio 44.1. L’integrale

Z∞

0

sin x x dx

converge, ma non assolutamente.

Per casa 44.2. Dimostrare che Z∞

0

xⁿe^−xdx = n! , n ∈ N .

45. Luned`ı 12/12/2011

Esercizi 1/420, 12/770, 2/800.

La formula di Stirling

n! =√

2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿe^{12 n}^θn , n ≥ 1 , con 0 < θn< 1, θn → 1 per n → ∞, e applicazioni.

Studio della convergenza delle serie:

X∞ n=1

n^α (mn)!,

X∞ n=1

n!x² n

n

, con m ∈ N, m ≥ 1, α > 0.

Per casa 45.1. Studiare la convergenza di

∞

X

n=2

1 n(ln n)^α,

al variare di α ∈ R.

Per casa 45.2. Calcolare il limite

x→0lim

x(x4^x− 2^x+ 1)² x − arctg x .

(24)

46. Mercoled`ı 14/12/2011

Ricapitolazione.

Esercizi 7/770, 6/800.

47. Gioved`ı 15/12/2011

Ricapitolazione.

Esercizi 3,9,11/770.

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