(1)UNIVERSITA DEGLI STUDI DIROMA \LA SAPIENZA&#34

(1)

UNIVERSITA DEGLI STUDI DIROMA \LA SAPIENZA"

SEDE DISTACCATA DI LATINA

CORSODI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA(SETTORE dell'INFORMAZIONE)

a.a. 1999/2000-IPROVASCRITTADIESONERODIANALISII

20/12/1999-compitoA

COGNOME ... NOME ...

CORSODI DIPLOMA-LAUREA IN ...

1. Dimostrare,permezzodelprincipiodi induzione,l'uguaglianza

1

12 +

1

23

+:::+ 1

n(n+1)

= n

X

k =1 1

k(k+1)

= n

n+1

8n1:

2. Risolverelaseguentedisequazione

x+2 jx+1j

x+5

>0:

3. Determinareilcaratteredellasuccessione

a

n

= n r

5 n

+n 3

n!

:

4. Calcolareladerivatadellafunzione

f(x)=(sinx) sinx

sin(sinx):

(2)

20/12/1999-compitoB

1+ 1

3 +

2

34

+:::+ 2

n(n+1)

= n

X

k =1 2

k(k+1)

= 2n

n+1

8n1:

x+1 jx+2j

x

>0:

a

n

=

n n

+3 n

n!

1

n

:

f(x)=(cosx) tanx

cos(tanx) :

(3)

20/12/1999-compitoC

1+ 2

2 +

3

2 2

+:::+ n

2 n 1

= n

X

k =1 k

2 k 1

=4

n+2

2 n 1

8n1:

jx 1j jx 3j<0:

3. Calcolareiseguentilimiti

lim

x!+1 x

2

+xsinx+1

x 2

logx; lim

x!0 +

x 2

+xsinx+1

x 2

logx:

f(x)=tan

log ( p

1 2x)

:

(4)

20/12/1999-compito D

1

2 +

2

2 2

+ 3

2 3

+:::+ n

2 n

= n

X

k =1 k

2 k

=2

n+2

2 n

8n1:

jx 2j jx 5j<0:

3. Calcolareiseguentilimiti

lim

x!+1

(x+1)log(1+ 1

x )

x

; lim

x!0 +

(x+1)log(1+ 1

x )

x

:

f(x)=cos h

p

tanx i

:

(5)

2.

fx< 5g [ fx>

3

2 g

3.

lim

n!+1 a

n

=0:

4.

f 0

(x)=fsinx sinx

[log(sinx)+1] cos(sinx)gcosx:

5.

I

def

(f)=fx2IR j 2k<x<(2k+1) ; k2Zg:

(6)

2.

fx<0g

3.

lim

n!+1 a

n

=e:

4.

f 0

(x)= 1

cos 2

x f

log (cosx) sin 2

x

cosx tanx

+sin(tanx)g

5.

I

def

(f)=fx2IR j

2

+2k<x<

2

+2k ; k2Zg:

(7)

2.

fx<2g

3.

lim

x!+1

f(x)=+1 ; lim

x!0 +

f(x)= 1:

4.

f 0

(x)=

1

(2x 1)cos 2

1

2

log(1 2x)

5.

I

def

(f)=fx2IR j x<

1

; x6=

1 h

1 e (2k +1)

i

; k2Zg

(8)

2.

fx<

7

2 g

3.

lim

x!+1

f(x)=0 ; lim

x!0 +

f(x)=+1:

4.

f 0

(x)= sin

p

tanx

1

2 p

tanx

1

cos 2

x :

5.

I

def

(f)=fx2IR j k x <

+k ; k2Z g:

(9)

FACOLT

ADI INGEGNERIA- SEDE DISTACCATA DILATINA

CORSO DIDIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIAAMBIENTE E TERRITORIO

preappellodi AnalisiMatematica I del21-12-1999- compito A

a

n

= n

4

sin 1

n 2

5n 2

+2n :

2. Determinarel'insiemedidenizioneE dellafunzione

f(x)=arctan

log

1

1+x 2

:

3. Calcolareladerivatadellafunzionef(x)delprecedenteesercizio.

4. Determinarel'ordinedi innitesimo,perx!0,dellafunzione

g(x)=xsinx x 2

cosx :

5. Calcolare

Z

e

x 2

logx dx:

(10)

FACOLT

ADI INGEGNERIA- SEDE DISTACCATA DILATINA

CORSO DIDIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIAAMBIENTE E TERRITORIO

preappello di Analisi Matematica I del 21-12-1999-compito B

a

n

= n

5

log 1+ 1

n 2

3n 3

2n+1 :

2. Determinarel'insiemedidenizioneE dellafunzione

f(x)= r

arctan

p

x 4

+1

:

3. Calcolareladerivatadellafunzionef(x)delprecedenteesercizio.

4. Determinarel'ordinedi innitesimo,perx!0,dellafunzione

g(x)=xcosx sinx:

5. Calcolare

Z

=2

x 2

sinxdx:

(11)

1.

lim

n!+1 a

n

= 1

5

2.

I

def

(f)=IR

3.

f 0

(x)=

1

1+log 2

(1+x 2

)

2x

1+x 2

4.

= 4

5.

1+2e 3

(12)

1.

lim

n!+1 a

n

= 1

3

2.

I

def

(f)=IR

3.

f 0

(x)= x

3

x 4

+2

1

q

arctan p

x 4

+1

p

x 4

+1

4.

= 3

5.

(13)

CORSODIDIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIAper l'AMBIENTEeil TERRITORIO

a.a. 1999/2000-PROVASCRITTADIANALISII

11/01/2000

1. Determinaregliinsiemidicontinuitaederivabilitadellafunzione

f(x)= 8

<

:

log(1+x) sex0;

j1+xj 1 sex<0.

2. Studiareilgracodellafunzionef(x)denitanelprecedente esercizio.

3. Calcolare

lim

n!+1 (n!)

2

e 2n

n 2n+1

:

4. Determinarel'ordinedi innitesimo,perx!+1,dellafunzione

g(x)=exp

1

x 2

cos

1

x

:

5. Determinaretutte leprimitivedellafunzione

h(x)= e

x

2x x

:

(14)

1.

f(x)2C 0

(IR) ; f(x)derivabilein IRnf 1g. x= 1 puntoangoloso.

2.

3.

2

4.

=2

5.

1

x

+C ; C2IR

(15)

a.a. 1999/2000-II PROVASCRITTA DIESONERODIANALISII

11/01/2000-compitoA

1. Stabilirel'insiemedi denizionedellafunzione

f(x)= p

jx 2

9j

2. Determinaremassimieminimi,relativieassoluti,dellafunzionef(x)denitanelprecedenteesercizio.

3. Calcolare

Z

=3

=4

1 cos 2

x

cotanx dx:

4. Datalafunzioneintegrale

F(x)= Z

x

0

e 2t

2

3e t

2

+ 5

4

dt

calcolarneladerivataprimaeseconda.

5. (fac.) Determinaregliintervallidiconcavitaeconvessitaedeventuali essidellafunzioneF(x)denita

(16)

a.a. 1999/2000-II PROVASCRITTA DIESONERODIANALISII

11/01/2000-compitoB

1. Stabilirel'insiemedi denizionedellafunzione

f(x)= p

2x 2

jx+1j

2. Determinareglieventualiasintotidellafunzionef(x)denitanelprecedenteesercizio.

3. Calcolarel'areadelsottogracodellafunzione

g(x)= 1 sin

2

x

tanx

nell'intervallo[=4;=3].

F(x)= Z

x

0

sin 2

(t 2

) 3sin(t 2

)+ 5

4

dt

calcolarneladerivataprimaeseconda.

5. (fac.) Determinaregliintervallidiconcavitaeconvessitaedeventuali essidellafunzioneF(x)denita

(17)

1.

I

def

(f)=IR

2.

Minimorelativoeassolutoin ( 3; 0) ein (3; 0);

Massimorelativoin(0; 3) ; nonesistemassimoassoluto.

3.

1

8

(4log2 1)

4.

F 0

(x)=exp(2x 2

) 3exp(x 2

)+ 5

4

; F"(x)=2xe x

2

2e x

2

3

5.

Concavaversol'altoin i

q

log 3

2

; 0 h

ein iq

log 3

2

; +1 h

;

Concavaversoilbassoin i

1; q

log 3

h

ein i

0; q

log 3

h

.

(18)

1.

I

def (f)=

1; 1

2

[ [1; +1[ :

2.

Asintotoobliquodestro: y= p

2

4 +

p

2x;

Asintotoobliquosinistro: y= p

2

4 p

2x.

3.

1

2 log

3

2

1

8

4.

F 0

(x)=sin 2

(x 2

) 3sin(x 2

)+ 5

4

; F"(x)=2xcos(x 2

)

2sin(x 2

) 3

5.

Concavaversol'altoin ogniintervallodeltipo

r

2

+2k ; r

2 +2k

k 2INnf0g e

#

r

3

2

+2k ; r

2 +2k

"

k 2IN

0

(19)

18/01/2000

1. Studiareilgracodellafunzione

f(x)= e

x

+2e 2x

3 :

2. Calcolare

lim

x!2 e

3(x 2)

(x 1) 3 3

2 (x 2)

2

(x 2) 4

:

3. Calcolarel'areadeldominio normaleall'assexdelimitato dallecurvedi equazione

x=0 ; x=2;

f

1

(x)=3+sinx ; f

2

(x)=3+cosx:

4. Vericarechelasuccessione

a

n

= n

4

1

n 1

ecrescente(cioe a

n+1

>a

n

oppure an+1

a

n

>1)perognin>1.

5. Calcolare

lim

n!+1

sin

1

3

n 4

1

:

(20)

1.

2.

lim

x!2 +

f(x)=+1 ; lim

x!2

f(x)= 1 ; 69lim

x!2 f(x)

3.

4 p

2

4.

Lasuccessioneecrescentein quanto puoessereriscrittanellaforma

a

n

=(n 2

+1)(n+1)

percuia

n+1

>a

n

in quanto

(n+1) 2

+1>n 2

+1 e n+2>n+1:

5.

(21)

28/01/2000

1. Calcolare,alvariaredia2IR ,

lim

n!+1 a

n

+( 1) n

nlogn :

f(x)=arcsin(e x

):

3. Determinaregliintervallidi crescenzaedecrescenzadellafunzione integrale

F(x)= Z

x

0

t(1 t 2

)e cos(t

2

)

dt:

4. (fac.) Vericarechelafunzionedelprecedente eserciziosiannullaesattamenteintre punti.

5. Calcolareilseguenteintegrale

Z 15

4

11

e

tanx

1 sin 2

x dx:

(22)

1.

lim

n!+1

= 8

>

<

>

:

+1 sea>1;

0 sejaj1;

69 sea< 1.

2.

3. F(x)crescenegliintervalli ] 1; 1[ e ]0; 1[ ;

decrescenegliintervalli ] 1; 0[ e ]1; +1[ .

5.

1

p

3

(23)

a.a. 1999/2000-PROVASCRITTADIANALISIII

15/02/2000

1. Determinarelesoluzionicomplessedell'equazione

z 3

zjzj 2

+z=0:

2. Determinare(e disegnare)l'insiemediconvergenzadellaserie

+1

X

k =1 ( 1)

k (e

z

) k

k!

z2C

ecalcolarnelasomma.

3. Calcolare,permezzodelleformulediGauss-Green,l'areadeldominio piano

T=

(x;y)2IR 2

: 1x2; 1

x

y 2

x

:

(24)

15/02/2000

1. Calcolareillimitedellasuccessione

a

n

=

log(1+n)

n 3

:

f(x)=

logjxj

:

F(x)= Z

x

0

arcsintdt

(a) stabilirnel'insiemedi denizione;

(b) calcolareF(1=2);

(c) calcolareF 0

(1=2).

(25)

1.

z

1

=0 ; z

2

= p

2

i ; z

3

= p

2

i :

2.

I

conv

=C

S(z)=exp( e z

) 1

3.

log2

(26)

1.

0

2.

3.

(a) x2[ 1; 1] ;

(b)

12 +

p

3 ;

(c)

.

(27)

a.a. 1999/2000-PROVASCRITTADIANALISII-1 o

MODULO

18/02/2000

1. Calcolare

lim

n!+1 e

n

2 nlogn

n n

:

2. Determinareipuntidimassimoeminimo,relativiedassoluti,dellafunzione

f(x)=jx 3

3x 2

+3xj

nell'intervallo[ 2;3].

3. Calcolare

lim

x!0 1

3x 8

Z

x

0 tsin(t

7

)dt:

4. Calcolare

Z

2

0

2x+4

x 2

+4x+5 dx :

Hasenso calcolare

Z

2

2x+4

x 2

+4x 5 dx?

(28)

1.

0

2.

minimorelativoeassoluto: (0; 0) ;

massimirelativi: ( 2; 26) e (3; 9) ;

massimoassoluto: (3; 9) :

3.

0

4.

log

17

5

(29)

a.a. 1999/2000-PROVASCRITTADIANALISIII

21/02/2000

1. Studiarelaconvergenzapuntuale dellasuccessionedifunzioni

f

n (x)=

e nx

n 2

x 2

+1 :

Nell'insiemedi convergenzapuntualesihaanchelaconvergenzauniforme? Perche?

2. Determinaretutte lesoluzionidelproblema

8

>

<

>

: y

00

3y 0

+2y=e x

y(0)=2

lim

x! 1

y(x)=0:

3. Calcolare

int Z

T (x

2

+1)dxdy

dove

2 2 2

(30)

21/02/2000

1. Stabilireilcaratteredellasuccessione

a

n

=e

log(arctann)

:

(FAC.)Hasensocalcolare

lim

n!+1 e

log (arcsinn)

?

Perche?

2. Determinaretuttigliasintotidellafunzione

f(x)= x

3

3x 2

+5x 1

x 2

1 :

3. Calcolare

Z

3

2 x

3

3x 2

+5x 1

x 2

1

dx:

(31)

1.

2

Nonhasensocalcolareil secondolimite, perchearcsinxedenitosoloper 1 x 1.

2.

Asintotoobliquodestroesinistro: y=x 3 ;

Asintotiverticali: x= 1 e x=1 .

3.

11log2 5log3 1

2

(32)

1.

I

conv

=[0; +1[

f(x)= (

0 se x>0 ;

1 se x=0 .

Nonc'econvergenzauniformeperchef(x)62C 0

( [0; +1[).

2.

y(x)=C

1 e

x

+C

2 e

2x

xe x

y(x)=C

1 e

x

+(2 C

1 )e

2x

xe x

3.

5