CAPITOLO 2

CAPITOLO 2

ANALISI DI ANTENNE IN TRASMISSIONE

TRAMITE IL METODO DEI MOMENTI

2.1 MODELLIZZAZIONE DELLA SORGENTE: METODO DEL “FRILL GENERATOR”

Nel capitolo precedente abbiamo visto come sia possibile utilizzare il metodo dei momenti per analizzare il problema di un corpo illuminato da un’onda elettromagnetica. In questo capitolo illustreremo come sia possibile sfruttare il MoM per l’analisi di antenne in trasmissione.

Il problema che ci troviamo ad affrontare è quello di modellizzare l’alimentazione in modo all’interno del MoM.

Uno dei metodi utilizzati a questo scopo è il cosiddetto “frill

generator” (generatore a collare).

Consideriamo la figura 2.1, in cui è mostrata un’antenna a monopolo su un piano di massa, alimentata da un cavo coassiale. Supponendo che nel cavo sia presente solo il modo TEM, ed usando il principio di equivalenza ed il teorema delle immagini, possiamo sostituire piano di massa e cavo con una distribuzione di corrente magnetica definita su una corona circolare, con centro sull’origine degli assi, come mostrato in figura 2.2

Figura 2.1: antenna a monopolo alimentata da un cavo coassiale

(si può adesso capire il perché del nome “generatore a collare”).

Avendo supposto la presenza del solo modo TEM, il campo sull’apertura vale:

E

ρ'

(

ρ

'

)

=

₂

_ρ

_'

_ln(b/a)

1

,

b a

E_ρ

Figura 2.2: applicazione del principio di equivalenza all'antenna a monopolo

considerando un sistema di riferimento in coordinate cilindriche con asse coincidente con l’asse dell’antenna; la corrente magnetica da imporre sulla corona circolare vale dunque:

=

−

×

=

−

_ρ

_'

_ln(b/a)

φ

ˆ

1

ˆ

2

m

n

E

J

_,

dove

nˆ

è la normale uscente dall’apertura.

La Jm così trovata genera un campo elettrico, che diviene il campo elettrico incidente da inserire nella (1.25) per il calcolo del vettore V.

frill di corrente magnetica

2.2 MODELLIZZAZIONE DELLA SORGENTE: METODO DEL “DELTA GAP”

Il modello del frill generator non è di facile utilizzo, in quanto la valutazione del campo incidente risulta essere piuttosto complessa, e viene di solito fornita tramite tabelle.

Il modello più diffuso, e di più immeditata implementazione, per la modellizzazione della sorgente è quello conosciuto come “delta gap

model”, che illustriamo di seguito [6].

Consideriamo per semplicità un’antenna filare, con centro posto sull’origine, i cui due elementi siano rappresentati tramite due cilindri con gli assi posti sull’asse z e distanziati di una quantità δ; supponiamo che tale antenna sia alimentata tramite un generatore ideale di tensione VA alla

frequenza di lavoro f. La situazione è mostrata nella figura seguente:

Figura 2.3: modello cilindrico di antenna filare

x δ a z VA _V A

Possiamo supporre che nel gap fra le due sezioni dell’antenna sia presente un campo elettrico costante diretto lungo l’asse z:

E

=

V

_δ

A

z

ˆ

(2.1)

come mostrato in figura 2.4.

Per δ tendente a zero si ottiene un campo infinito, localizzato sui punti dell’antenna con coordinata z nulla:

Figura 2.4: campo elettrico nel gap

E

(r

)

=

δ

E

0 altrove. (2.2)

antenna

r

ˆ

(z)

V

_A

δ

z

∈

Questo perché il prodotto Eδ deve essere sempre uguale a VA: al

tendere di δ a zero, otteniamo una delta di Dirac di area VA .

Dunque, la prima approssimazione che facciamo è quella di considerare il gap tendente a zero, ossia di non avere soluzione di continuità fra le due parti dell’antenna

Supponiamo adesso di discretizzare la superficie dell’antenna con elementi triangolari, come visto nel capitolo precedente, avendo l’accortezza di far sì che non vi siano elementi triangolari a cavallo della giunzione fra le due parti dell’antenna, ottenendo così la situazione mostrata in figura 2.5:

Figura 2. 5: mesh intorno alla giunzione

Se analizziamo la (1.25), che per comodità riportiamo di seguito:













⋅

+

⋅

=

+ + − −

2

2

V

c m m c m m m m

l

ρ

E

ρ

E

ci accorgeremo che, per la particolare espressione del campo elettrico da noi imposta, saranno diversi da zero quegli elementi di V corrispondenti a spigoli che si trovano sulla giunzione fra le due sezioni.

In realtà l’espressione del campo elettrico data in [6] mal si adatta al calcolo del generico termine V _m per l’implementazione del MoM qui analizzata: questo perché in letteratura tale termine viene solitamente

calcolato considerando il campo elettrico nel punto medio dello spigolo m-esimo. Dovremo quindi apportare una modifica nel campo imposto dalla sorgente .

Consideriamo adesso il generico spigolo k appartenente alla giunzione: sia lk la sua lunghezza, e Tk+ e Tk- gli elementi triangolari ad

esso collegati, come riportato in figura 2.6

Se indichiamo con nˆ il versore normale alla giunzione, questo corrisponde alla direzione del campo elettrico E generato dall’alimentazione (il verso della normale è scelto in modo da essere concorde con quello di E). Supporremo allora che il campo nei baricentri ck+ ck- dei due triangoli valga:

E

E

_d

n

ˆ

V

E A k k k

=

=

− + , (2.3)

dove con dE indichiamo il modulo della proiezione su nˆ del vettore che

unisce i due baricentri, ossia:

Figura 2.6:rappresentazione di una generica coppia di patch di sorgente

d

Ek

=

v ˆ

k

⋅

n

. (2.4)

Riassumendo, per analizzare un’antenna in trasmissione alimentata da un generatore VA, non faremo altro che sostituire il vettore V calcolato

tramite la (1.25) con un nuovo vettore i cui termini sono non nulli solo in corrispondenza di spigoli di sorgente, ossia:

ρκc+ ρκ c-vk

nˆ

ck+ ck -Tk+ Tk

Una volta ottenuto V, possiamo procedere al calcolo dei coefficienti delle densità di corrente tramite la (1.24): come già notato nel capitolo precedente, infatti, gli elementi della matrice Z dipendono solo dalla frequenza di lavoro e dalle caratteristiche fisiche e geometriche del corpo considerato, e rimangono dunque invariati.

Possiamo dunque notare come questo modello di sorgente sia di più agevole implementazione rispetto al frill generator, infatti:

- il campo imposto dalla sorgente è semplicemente un campo

elettrico costante in una regione di spazio limitata.

- solo gli elementi di V in corrispondenza di spigoli di sorgente risultano essere diversi da zero, riducendo notevolmente l’onere computazionale.

Utilizzeremo dunque il modello del delta gap per implementare l’analisi di antenne trasmittenti tramite MoM.

Vm =

giunzione

m

2

ˆ

d

V

2

ˆ

d

V

V

_{E E}

_

∈











⋅

+

⋅

=

+ cm− m c m m m m

l

ρ

n

ρ

n

0 altrove. (2.5)

Nel seguito vedremo come calcolare il campo irradiato in zona lontana e l’impedenza d’ingresso dell’antenna una volta noto il vettore

I

.

2.3 CAMPO ELETTRICO IRRADIATO IN ZONA LONTANA

Per valutare il campo elettrico irradiato in zona lontana, consideriamo la (1.10):

Es(r) = -jωAs_{(r) - ∇Φ}s_{(r) - (1/ε}

M)∇xFs(r).

Si dimostra1 che il campo scatterato dal corpo (anche se nel caso specifico si tratta in realtà di un campo irradiato) può essere espresso come:

(

)

I

[

(

)

sn

(

)]

N 1 n s n n s

_r

_e

_r

_e

_r

E

₋ = +

+

=

∑

_{, (2.6)} dove

(

)

1

(

)

2

(

)

3

(

)

s n

r

r

r

r

e

_±

=

C

_n±

+

C

_n±

+

C

_n± , (2.7) con

∫∫

±

−

⋅

∇

∇

=

± n T n M 1n

'

R

jkR)

exp(

)

'

(

πε

4

1

jω

1

)

(

r

f

r

S

C

d

_{, (2.8)}

∫∫

±

−

−

=

± n T n M 2n

'

R

jkR)

exp(

)

'

(

π

4

jω

)

(

r

f

r

S

C

µ

d

_{, (2.9)}

∫∫

±

−

×

×

∇

−

=

± n T s n n 3n

'

R

jkR)

exp(

)

'

(

)]

'

(

)

'

(

[

π

4

1

)

(

r

f

r

i

r

r

S

C

η

d

_;

il primo contributo è dovuto al potenziale scalare, il secondo al potenziale vettore elettrico, il terzo al potenziale vettore magnetico.

Poiché la divergenza della generica funzione di base vale:

altrove 0 ) ( 1 ) ( _m m          ∈ − ∈ = ∂ ∂ ± = ⋅ ∇ − − + + ± ± ± r T T r r f m m m m m m m m m A l A l f ρ ρ ρ (2.11)

e utilizzando l’espressione del gradiente in coordinate sferiche:

φ ψ senθ r 1 θ ψ r 1 r ψ ψ _{r θ φ} ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ i i i _(2.12) (2.10)

rispetto ad un sistema di coordinate centrato in r’, la (2.9) diventa:

∫∫

±

−

+

=

± ± n T 3 -jkR -jkR n n M 1n

(

'

)

'

R

e

jkRe

A

l

πε

4

1

jω

1

)

(

r

r

r

S

C

_m

d

_.

Si noti che l’operatore gradiente può essere portato all’interno dell’integrale, poiché stiamo considerando lo spazio esterno al corpo, e non si presentano dunque casi di singolarità.

Se poi ricordiamo la definizione di funzione base data in (1.6), la (2.10) può essere scritta come:

∫∫

±

−

−

=

_± ± ± n T n n n M 2n

'

R

jkR)

exp(

)

'

(

2A

l

π

4

jω

)

(

r

ρ

r

S

C

µ

d

_{. (2.14)}

Infine, poiché vale:

∇

×

(

v

A

)

=

v

∇

×

A

−

A

×

∇

v

, (2.15) e tenendo conto che ∇×[ρ_n±(r')×i_n±(r')]=0 (il vettore risultante dal prodotto vettoriale tra parentesi è costante al variare di r), la (2.11) diviene:

∫∫

±

−

∇

×

×

=

_± ± ± n T s n n n n n

]

'

R

jkR)

exp(

)

'

(

[

)]

'

(

)

'

(

[

2A

l

π

4

1

)

(

3

r

ρ

r

i

r

r

S

C

η

d

_. (2.16) Se supponiamo che l’impedenza superficiale non vari all’interno del singolo patch, ossia ηs(r)≈ηn± , e sviluppando l’operatore gradiente come

in precedenza, possiamo scrivere:

∫∫

± − − ± ± ± ±

+

×

×

−

=

n T 3 jkR jkR n n n n n n

'

R

e

jkRe

)

'

(

)]

'

(

)

'

(

[

2A

l

π

4

1

)

(

3

r

ρ

r

i

r

r

r

S

C

η

-

d

_.

Poiché stiamo calcolando il campo nel caso r→∞, sono possibili ulteriori semplificazioni.

Osservando la (1.10), possiamo notare come sul potenziale scalare venga effettuata un’operazione di gradiente: poiché Φs _{varia con 1/r (come}

mostrato dalla (1.15), il suo gradiente varierà con 1/r2, a causa dell’operazione di derivazione. Al tendere di r all’infinito, il contributo del potenziale scalare diviene quindi trascurabile rispetto agli altri due. Possiamo dunque riscrivere la (2.7) come:

(

)

I

[

(

)

n

(

)

n

(

)

n

(

)]

N 1 n n n s

_r

_C2

_r

_C2

_r

_C3

_r

_C3

_r

E

_{− + −} = +

+

+

+

=

∑

_. (2.18) (2.17)

Inoltre, R=|r-r’| può essere approssimato con r quando agisce sull’ampiezza della funzione integranda, e con R_n±=|r-rnc±| quando agisce

sulla fase . Possiamo dunque portare tali espressioni fuori dall’integrale e ottenere: ± ± ±

−

µ

−

=

c n n n M 2n

2

l

r

)

jkR

exp(

π

4

jω

)

(

r

ρ

C

_{, (2.19)}

r

i

ρ

r

C

=

−

±

×

×

− ± ± ±

]

[

r

jke

η

2

l

π

4

1

)

(

c _n n 2 jkR n n 3n n . (2.20)

Poiché r→∞, possiamo utilizzare l’approssimazione a raggi paralleli per Rn±, ossia:

Rn± ≈ r - rnc± ⋅ ir , (2.21)

a questo proposito si faccia riferimento alla figura 2.7

Esplicitando la (2.18) tramite le (2.19) e (2.20), e tenendo conto della (2.21), otteniamo infine l’espressione del campo elettrico:

         _{+ × ×} ⋅ +    +       _{+ × ×} ⋅ π = − − − − = + + + +

∑

r n c n n M c n r c n N 1 n r n c n n M c n r c n n n 2 jkη µ 2 jω ) exp(jk 2 jkη µ 2 jω ) exp(jk l I exp(-jkr) r 4 1 i i ρ ρ i r i i ρ ρ i r (r) Es (2.22) .

R

n±

r

r

nc±

r - r

nc±

⋅ i

r

O

r

nc±

⋅ i

r

Figura 2.7:approssimazione a raggi paralleli

Dobbiamo comunque sottolineare come l’algoritmo implementato nel software calcoli in realtà il valore Es(r)r. L’utente dovrà fornire il valore r della distanza alla quale desidera conoscere il campo, attraverso il file

campo.

2.4 IMPEDENZA D’INGRESSO

Vedremo adesso come sia possibile ricavare l’impedenza d’ingresso dell’antenna in esame relativamente alla zona di inserzione dell’alimentazione.

Sia f la frequenza di lavoro: se indichiamo con VA la tensione imposta

dall’alimentazione, e con IA* il valore della corrente sull’antenna in

corrispondenza dell’alimentazione stessa (inseriamo l’apice * per indicare che si tratta di una corrente, non di una densità di corrente), il valore dell’impedenza di ingresso alla frequenza f vale:

* A A in

I

V

Z

=

_{. (2.23)}

Poiché VA è noto, dobbiamo calcolare il valore di IA*. A tal fine,

osserviamo intanto come2 il generico coefficiente In nella (1.16):

J(r)=

∑

=

N n 1

Ι

n

f

n

(

r)

rappresenti la densità di corrente superficiale normale allo spigolo n-esimo. Dunque, ricordando la definizione delle funzioni di base data in (1.6), la corrente In* che scorre attraverso tale spigolo varrà:

n n * n

=

∫

J

(

r

)

⋅

n

ˆ

dl

=

I

l

I

n l , (2.24)

dove nˆ è la normale allo spigolo diretta dall’elemento positivo a quello negativo. La situazione è riportata graficamente in figura 2.8.

Figura 2.8: riferimenti geometrici per il calcolo della corrente attraverso l’edge n-esimo

Supponiamo ora di avere M spigoli di sorgente, e ipotizziamo per semplicità che siano gli spigoli s=1,...M; indichiamo con ls la lunghezza di

ogni spigolo. La corrente che scorre sull’antenna in corrispondenza dell’alimentazione vale allora:

ln

nˆ

ρn -ρn+ Tn+ Tn

∑

=

=

M 1 s s * A

I

I

s

l

_{, (2.25)}

e siamo adesso in grado di calcolare l’impedenza d’ingresso Zin .

Se sono presenti K alimentazioni diverse, possiamo indicare con V1...Vk le tensioni associate ad ogni alimentazione. L’impedenza

d’ingresso rispetto alla generica sorgente j deve essere espressa nella forma: * j j in

I

V

Z

=

_(2.26)

dove abbiamo indicato con Ij* la corrente che fluisce esclusivamente

attraverso gli spigoli appartenenti alla sorgente j; se ipotizziamo che tali spigoli siano individuati da sj=1...Mj, possiamo scrivere:

∑

=

=

j j j M 1 s s * j

I

I

j s

l

. (2.27) Vk=0

∀

k≠j