Esercitazione 12 novembre 2020
Primitive di funzioni elementari (definite su intervalli)
Funzioni Primitive xα (α ∈ R ∧ α 6= −1) 1 α + 1x α+1+ c 1 x ln |x | + c ex ex+ c ax (a > 0 ∧ a 6= 1) 1 ln aa x + cPrimitive di funzioni elementari
Funzioni Primitive cos x sin x + c sin x − cos x + c 1 cos2x tan x + c 1 sin2x − cotan x + cPrimitive di funzioni elementari
Funzioni Primitive 1 1 + x2 arctan x + c 1 √ 1 − x2 arcsin x + c sinh x cosh +c cosh x sinh +cIntegrazioni immediate
Dalla regola di derivazione della funzione composta [g (f (x ))]0 = g0(f (x ))f0(x ) si ottiene:
Z
Integrazioni immediate
Funzioni Primitive [f (x )]αf0(x ) , α ∈ R ∧ α 6= −1 1 α + 1[f (x )] α+1+ c f0(x ) f (x ) ln |f (x )| + c f0(x ) ef (x ) ef (x )+ c f0(x ) af (x ) (a > 0 ∧ a 6= 1) 1 ln aa f (x )+ cIntegrazioni immediate
Funzioni Primitive f0(x ) cos f (x ) sin f (x ) + c f0(x ) sin f (x ) − cos f (x) + c f0(x ) [cos f (x )]2 tan f (x ) + cIntegrazioni immediate
Funzioni Primitive f0(x ) 1 + [f (x )]2 arctan f (x ) + c f0(x ) p1 − [f (x)]2 arcsin f (x ) + cEsercizio
Calcolare i seguenti integrali indefiniti
1 Z x3 √ x4+ 2dx 2 Z x cos(3x2+ 1) dx 3 Z ln2x x dx 4 Z 1 x2 sin 1 x dx
Esercizio
Calcolare i seguenti integrali indefiniti
5 Z xe−x2dx 6 Z 2x + 3 2x2+ 6x dx 7 Z x 1 + (1 + x2)2 dx
Integrazione per parti
La regola di Leibniz afferma che: h
f (x )g (x )i 0
= f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ) (1) (f (x ), g (x ) funzioni derivabili). Integrando entrambi i membri, si ottiene: f (x )g (x ) = Z f0(x )g (x )dx + Z f (x )g0(x )dx Z f (x )g0(x )dx = f (x )g (x ) − Z f0(x )g (x )dx
Esercizio
Utilizzando il metodo di integrazione per parti, calcolare i seguenti integrali 1 Z ln x dx 2 Z sin2x dx , Z cos2x dx 3 Z x ln2x dx 4 Z 2x arctan x dx Z
Esercizio
6 Z x2exdx 7 Z exsin x dx 8 Z x2cos x dx 9 Z x2ln x dxIntegrazione per sostituzione
Utilizzando il metodo di sostituzione per integrali indefiniti, calcolare 1 Z p 1 − x2dx 2 Z 1 x (ln x − 4)dx
Integrazione di funzioni razionali
Calcolare 1 Z x + 4 x2− 5x + 6dxSuggerimento: indicate con x1e x2 le radici del trinomio a
denominatore, scrivere la funzione integranda nella forma A x − x1 + B x − x2 . 2 Z 1 9x2− 6x + 1dx
Integrazione di funzioni razionali
3
Z
1
x2− 6x + 12dx
Suggerimento: utilizzare il metodo del completamento del quadrato.
4
Z 2x + 1 x2− 4x + 4dx
Suggerimento: scrivere la funzione integranda nella forma A
(x − 2)+
B