Esercitazione guidata 26 novembre 2010
1. Date le rette r : x − 2y + 1 = 0 ed s : x + 2y − 1 = 0, determinare un’equazione di r ∪ s. 2. Scrivere le equazioni delle circonferenze con centro C(−2, 1) e tangenti a x2+ y2− 4x − 2y + 1.
3. Date r : x = 2t − 1 y = t z = 1 , t ∈ R, s : ( x − y = 0 x − z = 0 ,
a) provare che r, s sono rette incidenti; b) determinare il piano che le contiene.
4. Trovare una retta s sghemba rispetto alla retta r : x = y − 1 = z e trovarne i punti a distanza minima. 5. Date r : ( (λ + 1)x − y − z = 0 (λ − 1)x − y = 0 , s : ( 2x − λy = 0 (λ + 2)y + z = λ − 1 e P (1, 2, 3), a) dire se ∃λ ∈ R tale che r k s;
b) dire se ∃λ ∈ R tale che r ⊥ s; c) determinare r ∩ s al variare di λ ∈ R
6. Date le rette r = {(t − 1, t, 1) : t ∈ R} ed s = {(x, y, x) ∈ R3: x = y = z},
a) dire se sono complanari;
b) determinare l’equazione di una superficie S che le contenga entrambe; c) calcolarne la distanza. 7. Date r : x = t y = 1 − t z = 2t , t ∈ R, s : ( x − y = 0 z = 0 e P (1, 2, 3),
a) provare che r, s sono rette sghembe;
b) provare che il piano contenente r e passante per P interseca s; c) trovare il piano π contenente s e parallelo a r;
d) sia Q ∈ π, Q /∈ s provare che @ alcuna retta per Q che interseca sia r che s.
8. Dati in R2 i punti P (2, 1), Q(1, 2), R(1, 0) determinare l’equazione della circonferenza γ da essi individuata e della retta tangente a γ in P .
9. Descrivere i possibili centri delle circonferenze tangenti sia a x = y che a x + y − 1 = 0.
10. Provare che γ : (
x2+ y2+ z2− 4x + 2y = 0
x + 3y − z = 0 `e una circonferenza e determinarne centro e raggio.
11. Data la retta r di equazioni (
2x + y − z = 0 x − 2y − z = 0 . a) Determinare due punti distinti di r.
b) Verificare che r giace sul piano α di equazione x + 3y = 0. c) Scrivere l’equazione di un piano per r perpendicolare ad α.
d) Scrivere l’equazione di un piano β parallelo ad α e distante 2 da esso.
e) Scrivere le equazioni di due rette una su α e l’altra su β che siano tra loro sghembe.
12. a) Determinare le equazioni della circonferenza di centro C = (1, 2, 3) che passa per i punti A = (1, 1, 3) e B = (0, 2, 3).
b) Determinare le equazioni della retta tangente alla circonferenza nel punto A.
