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Analisi Matematica II (9 Novembre 2020)

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(1)

Analisi Matematica II (9 Novembre 2020)

Primo compito in itinere, 9 Novembre 2020

* Obbligatoria

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Dati Personali

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Cognome * 1.

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Matricola * 3.

11/9/2020

(2)

corretta.

Domanda (3 punti) 4.

Il limite

(π‘₯,𝑦)β†’(0,0)lim

(π‘₯ + 𝑦)2 + π‘₯2 𝑦2 π‘£π‘Žπ‘™π‘’Β 0

π‘£π‘Žπ‘™π‘’Β 1 π‘£π‘Žπ‘™π‘’Β  + ∞ π‘›π‘œπ‘›Β π‘’π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’

Domanda (3 punti) 5.

SiaΒ Ξ© βŠ†β„2Β una regione aperta e sia 𝑓 : Ξ© β†’ ℝ una funzione differenziabile.

Dire quale delle seguenti affermazioni puΓ² essere 𝐟𝐚π₯𝐬𝐚.

𝑓 Β Γ¨ continua inΒ Ξ© 𝑓 Β Γ¨ derivabile inΒ Ξ©

𝑓 Β possiede tutte le derivate direzionali in ogni punto diΒ Ξ© 𝑓 Β ammette piano tangente in ogni punto diΒ Ξ©

𝑓 Β Γ¨ di classeΒ  (Ξ©)C1

(3)

Domanda (3 punti) 6.

Si consideri la funzione 𝑓 (π‘₯,𝑦) =π‘₯2e𝑦+ π‘₯𝑦,

il puntoΒ  = (1,0)Β e il versore 𝐯 = (1/2, /2).𝐱0 βˆšβˆ’3βˆ’

Allora la derivata direzionale  ( ) vale𝐷𝐯 𝐱0

0 1 + 2βˆ’βˆšβˆ’ 1 + 3βˆ’βˆšβˆ’ π‘›π‘œπ‘›Β π‘’π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

Domanda (3 punti) 7.

La funzione 𝑓 (π‘₯,𝑦) =π‘₯3+ βˆ’ 3π‘₯𝑦𝑦3 possiede due punti di sella possiede due punti di minimo possiede due punti di massimo

possiede un punto di minimo e un punto di sella possiede un punto di minimo e un punto di massimo π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

11/9/2020

(4)

Data la funzione

𝐹(π‘₯,𝑦) =π‘₯5+ βˆ’ 𝛼 𝑦 βˆ’ 2π‘₯ + 𝛼 𝛼 ∈ ℝ,𝑦5 π‘₯3 𝑦2

l'equazione 𝐹(π‘₯,𝑦) = 0Β definisce implicitamente una funzione derivabile 𝑦 = 𝑔(𝑑) in un intorno del puntoΒ  ≑ (1,1)Β per𝑃0

𝛼 = 0 𝛼 β‰  0 𝛼 = 1 𝛼 β‰  1

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›Β π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿπ‘’Β π‘‘π‘–Β π›Ό

Domanda (3 punti) 9.

La trasformazione 𝐹 :ℝ2 →ℝ2Β definita da 𝐹(π‘₯,𝑦) = ( + , 𝑦 + π‘₯ )π‘₯3 𝑦3 π‘₯2 𝑦2

Γ¨ localmente invertibile π‘–π‘›Β π‘‘π‘’π‘‘π‘‘π‘œΒ β„2

π‘–π‘›Β π‘‘π‘’π‘‘π‘‘π‘œΒ  Β π‘‘π‘œπ‘™π‘‘π‘œΒ π‘’π‘›Β π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œβ„2

π‘–π‘›Β π‘‘π‘’π‘‘π‘‘π‘œΒ  Β π‘‘π‘œπ‘™π‘‘π‘œΒ π‘‘π‘’π‘’Β π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘’Β π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘™π‘’π‘™π‘’β„2 π‘–π‘›Β π‘‘π‘’π‘‘π‘‘π‘œΒ  Β π‘‘π‘œπ‘™π‘‘π‘œΒ π‘‘π‘’π‘’Β π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘’Β π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘œπ‘”π‘œπ‘›π‘Žπ‘™π‘–β„2 π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

(5)

Domanda (4 punti) 10.

Sia

𝐼 = ∫ π‘₯𝑦( + ) 𝑑π‘₯Β π‘‘π‘¦βˆ«

Ξ© π‘₯2 𝑦2 dove

Ξ© = {(π‘₯,𝑦) βˆˆβ„2 :π‘₯2+ ≀ 1,0 ≀ π‘₯ ≀ 𝑦}.𝑦2 Allora

𝐼 = 121 𝐼 = 241 𝐼 = 1+ 212√

𝐼 = 1+ 224√

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

Domanda (4 punti) 11.

Sia

𝐼 = ∫∫∫  𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Ξ©βˆšβˆ’π‘₯βˆ’βˆ’βˆ’βˆ’βˆ’2+π‘¦βˆ’2 dove

Ξ© = {(π‘₯,𝑦,𝑧) βˆˆβ„3 : 0 ≀ 𝑧 ≀π‘₯2+ ≀ 1}.𝑦2 Allora

𝐼 = 0 𝐼 = πœ‹5 𝐼 = πœ‹25 𝐼 = πœ‹35

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

11/9/2020

(6)

La curva

𝛾 : 𝑑 ∈ [0,1]

⎧

⎩⎨





π‘₯ = cos𝑑𝑑2 𝑦 = sin𝑑𝑑2 𝑧 = 2𝑑 ha lunghezza

𝐿 = 0 𝐿 = 1 𝐿 = 73 𝐿 = 54

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

Domanda (4 punti) 13.

La curvatura di

𝛾 :⎧ 𝑑 ∈ ℝ

⎩⎨





π‘₯ = cos2𝑑e𝑑 𝑦 = sin2𝑑e𝑑 𝑧 = e𝑑

nel punto 𝑃 ≑ (1,0,1)Β Γ¨ data da πœ… = 0

πœ… = √35 πœ… = √3 3√35

πœ… = 3 3√√5

π‘›π‘’π‘ π‘ π‘’π‘›π‘ŽΒ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘’Β π‘Ÿπ‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘‘π‘’Β π‘π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–

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