Capitolo 1

Capitolo 1

Introduzione alla polarimetria

Sommario 1.1 Sistemi di riferimento 1.2 Stato di polarizzazione 1.3 La sfera di Poincarè 1.4 Matrice di scattering 1.5 Vettore di scattering

1.6 Matrici e vettori di coerenza, vettore di Stokes e matrice di Mueller 1.7 Teorema di scomposizione di Huynen

1.8 Potenza media e segnale ricevuto 1.9 Polarizzazioni ottime

1.1 Sistemi di riferimento

I calcoli sulla reirradiazione sono eseguiti utilizzando principalmente due sistemi di coordinate, uno nominato forward scatter alignment (FSA) e l’altro baskscatter

alignment (BSA).

Il sistema FSA utilizza come punto di riferimento l’onda elettromagnetica. In altre parole, la direzione dei versori verticale e orizzontale, e , è definita rispetto alla direzione di propagazione dell’onda, . In ambito radarista, esso ha l’inconveniente di dar luogo a due orientamenti diversi sull’antenna, nel caso che essa venga considerata antenna trasmittente o ricevente. Questo comporta che dovremmo definire due stati di polarizzazione diversi a seconda del funzionamento dell’antenna (come ricevente o trasmittente), il che non è accettabile.

xˆ yˆ

zˆ

Nel sistema di riferimento BSA, invece, i versori orizzontale e verticale sono definiti rispetto alle antenne del radar. In altre parole si fa in modo che il riferimento per l’antenna trasmittente e ricevente sia lo stesso, così da superare l’inconveniente precedente e da essere in accordo con lo standard IEEE, che definisce lo stato di polarizzazione di un’antenna come la polarizzazione dell’onda trasmessa, anche se questa ultima è un’antenna ricevente. Nel sistema BSA, quindi, l’onda trasmessa e ricevuta hanno riferimenti diversi, vale a dire, mentre per l’onda trasmessa il versore coincide con la direzione di propagazione, per l’onda scatterata, il versore è opposto alla direzione di propagazione. In ambito radarista è quindi utilizzato il sistema di riferimento BSA [12].

zˆ zˆ

1.2 Stato di polarizzazione

Un’onda piana E(HV) che si propaga nella direzione positiva , può essere espressa nella base h

zˆ

H e hV, nel seguente modo

E(HV)=EH hH + EV hV =E(cosαHV hH + h HV i HVe δ α sin V) (1.1) dove

2 2 V H E E E =  +  (1.2) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − H V HV E E tg _  1 α (1.3) H V HV =∠E −∠E δ (1.4)

e i vettori della base sono hH = ⎟⎟ e h

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1

V = e sono rispettivamente la polarizzazione

orizzontale e verticale. I simboli HV all’interno della parentesi del vettore E servono

per ricordare che il vettore è riferito alla base H, V. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 0

I parametri αHV e δHV possono essere espressi anche in funzione dei parametri

dell’ellisse che descrive la traiettoria del campo elettrico e( tz, )=E(HV) i( t kz): e ω− 2 2 ) cos( 2 ) 2 ( V H HV V H E E E E tg     − = δ φ (1.5) 2 2 ) sin( 2 ) 2 sin( V H HV V H E E E E     + = δ τ (1.6)

dove φ∈

[

−π/2,π/2

)

è l’angolo di tilt, e τ∈

[

−π /4,π/4

)

è l’angolo di ellitticità (vedi fig. 1.1). Dalle equazioni (1.1) e (1.2) otteniamo le seguenti relazioni

) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( αHV = φ τ (1.7) ) 2 sin( / ) 2 ( ) (δ tg τ φ tg _HV = (1.8)

Lo stato di polarizzazione dell’onda è descritto dal rapporto di polarizzazione. Esso è a sua volta un fasore, il cui modulo è il rapporto tra i moduli delle due componenti ortogonali e la cui fase è la differenza di fase delle due componenti:

HV i HV H V e tg E E _{α δ} ρ = _ = ( ) . (1.9) 1.3 La sfera di Poincarè

Lo stato di polarizzazione di una qualsiasi onda può essere rappresentato da un punto sulla sfera di Poincarè di coordinate 2φ (longitudine) e 2 (latitudine), calcolate a τ partire da un punto di riferimento H sull’equatore, del tutto arbitrario. Tale punto è dato dall’intersezione tra la retta passante per il punto rappresentante ρ sul piano complesso e il punto di zenith della sfera, e la sfera stessa (vedi Fig. 1.2). Le polarizzazioni lineari corrispondono a τ =0, quindi sono rappresentate da punti sull’equatore, mentre polarizzazioni circolari corrispondono a τ =π /4, quindi sono rappresentate dal polo nord, la levogira, e dal polo sud, la destrogira. Gli altri punti della sfera rappresentano le polarizzazioni ellittiche: esse saranno levogire se il punto corrispondente giace nell’emisfero superiore, destrogire se esso giace nell’emisfero inferiore. Come casi particolari, si ha che la polarizzazione orizzontale (punto H) corrisponderà al punto sull’equatore assunto come riferimento per la misura di 2φ, mentre la polarizzazione verticale è il punto diametralmente opposto al precedente [12-13].

Fig. 1.1 Ellisse di polarizzazione

1.4 Matrice di scattering

Quando un’onda elettromagnetica illumina un bersaglio, il suo stato di polarizzazione cambia grazie alla trasformazione operata dalla matrice di scattering. Questa matrice è strettamente dipendente dalle caratteristiche del bersaglio e dalla polarizzazione dell’onda incidente. Indicando con Ei, il vettore di polarizzazione

dell’onda incidente e con Es quello dell’onda riflessa, abbiamo:

Es(HV)=SEi(HV)= ⎥ E ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ VV VH HV HH S S S S i(HV) (1.10)

Nell’equazione (1.10) abbiamo definito S considerando i vettori di polarizzazione dell’onda incidente e riflessa nella base HV. Passando ad una nuova base AB, la matrice di scattering sarà:

T

TST

S′= ∗ (1.11)

dove T è la matrice unitaria di trasformazione della base. Valgono le seguenti proprietà: det[S′]=det[S] (1.12) ] [ ] [S S 2 S 2 S 2 S 2 Span S Span ′ = _AA + _BB + _AB + _BA = (1.13)

Tra tutte le trasformazioni Tpossiamo scegliere quella che diagonalizza la matrice S:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ′ 2 1 2 1 0 0 φ φ i i e m e m S (1.14)

dove e sono gli autovalori della matrice S di partenza. La matrice S può allora essere riscritta nella forma:

1 1 1 φ i e m s = 2 2 2 φ i e m s =

S= T (1.15) e m e m T i i T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ 2 1 2 1 0 0 φ φ Definendo

(

)

(

)

4 , 4 , , 1 2 1 2 1 2 1 1 φ φ ρ φ φ ν γ = = − = + = − m m tg m m e τ e ψ gli angoli

di ellitticità e tilt della componente H rispetto alla nuova base AB (parametri che determinano la matrice T), possiamo scrivere S come:

S= T (1.16) e mtg me T i i T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ν ν γ 2 2 2 0 0

Trascurando la fase assoluta ρ , che non modifica né la potenza ricevuta né la polarizzazione dell’onda, possiamo affermare che S dipende solo dai 5 parametri

ψ τ ν γ, , , ,

m , il cui significato fisico è il seguente: ◊ m dipende dalla grandezza del bersaglio; ◊ γ dipende dalla forma del bersaglio;

◊ ν viene chiamato angolo di salto, perché è legato al numero di rimbalzi, che l’onda trasmessa subisce sul bersaglio e quindi dipende dal grado di concavità del bersaglio stesso;

◊ τ esprime il grado di asimmetria del bersaglio, ecco perché viene chiamato angolo di elicità, essendo l’elica un bersaglio completamente asimmetrico; ◊ ψ è l’angolo di orientazione del bersaglio.

La matrice

SMR=Se−j2ρ (1.17)

1.5 Vettore di scattering

Come visto nel paragrafo precedente, la matrice complessa S, descrive il processo di scattering e contiene informazioni sul tipo di bersaglio e sulla sua orientazione. Un altro modo di rappresentare le informazioni contenute nella matrice di scattering è quello di costruire il vettore di scattering, che è semplicemente una vettorizzazione della matrice S [9].

Nota la matrice di scattering _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = VV VH HV HH S S S S S

il vettore di scattering ad essa associato è

=

k Trace

( )

S

[

k₁ k₂ k₃ k₄ T

2

1 _{Ψ =}

_]

(1.18)

dove è la somma degli elementi diagonali dell’argomento, e è una base ortonormale di matrici complesse 2x2.

( )

Trace Ψ

Una delle basi più utilizzate in letteratura è la base di Pauli, ed è formata dalle seguenti matrici ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Ψ 0 0 2 , 0 1 1 0 2 , 1 0 0 1 2 , 1 0 0 1 2 i i P (1.19)

Applicando la (1.18), il vettore di scattering ottenuto tramite la scomposizione di Pauli è

=

k

[

SHH +SVV SHH −SVV SHV +SVH i

(

SVH −SHV

]

2

1

₎

(1.20)

= k

[

SHH SVV SHH SVV 2SHV

]

2 1 _{+ −} =kω (1.21) dove ω= (1.22) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ γ δ η β α β α α j j j e e e ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos(

è un vettore unitario, cioè ωTω∗ =1

I parametri che compaiono nella definizione del vettore ωrappresentano le seguenti quantità:

◊ α rappresenta un grado di libertà interno dello scatteratore. Il suo range varia nell’intervallo [0,90] gradi è può essere interpretato come in figura Fig. 1.3; ◊ β rappresenta una rotazione fisica dello scatteratore nel piano perpendicolare

alla LOS;

◊ η,δ,γ rappresentano le fasi dello scatteratore nello spazio polarimetrico;

Anisotropic Surface Anisotropic Dihedral

0 = α Isotropic Surface ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 1 90 =

1.6 Matrici e vettori di coerenza, vettore di Stokes e matrice di Mueller

Nel paragrafo precedente abbiamo implicitamente ipotizzato che lo stato di polarizzazione non cambi nel tempo, ovvero che l’onda fosse completamente polarizzata. In generale, però, le onde sono parzialmente polarizzate, cioè hanno uno

45 = α α Isotropic Dihedral Helix ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 0 0 1 Dipole ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 1 Fig. 1.3 Parametro α

stato di polarizzazione tempo-variante. Per queste polarizzazioni si è soliti definire la matrice di coerenza: = J EE∗T = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ ∗ ∗ V V H V V H H H E E E E E E E E         = _⎥ (1.23) ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ VV VH HV HH J J J J

dove il simbolo indica l’operazione di media temporale.

Spesso si definisce al posto della matrice di coerenza, il vettore di coerenza:

[

T VV VH HV HH J J J J J′=

]

(1.24)

Un’altra grandezza ancor più usata della matrice/vettore di coerenza, è il vettore di Stokes:

{

}

{

}

⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ℜ − ℑ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∗ ∗ V H V H V H V H VH HV VV HH VH HV VV HH E E e E E E E m E E J J J J J J J J g g g g g         2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 (1.25) In particolare P g₀ = (1.26)

con P la potenza media dell’onda elettromagnetica e

2 3 2 2 2 1 2 0 g g g g ≥ + + (1.27)

Per un’onda parzialmente polarizzata possiamo anche definire il vettore di Stokes istantaneo, cioè:

{

}

{

}

⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ℜ − ℑ + = ∗ ∗ V H V H V H V H E E e E E E E m E E g         2 2 2 2 2 2 (1.28)

Un’onda parzialmente polarizzata può essere scomposta come la somma di un’onda completamente polarizzata e una non polarizzata. Il vettore di Stokes può essere riscritto come: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + = 0 0 0 ) 1 ( ₀ 3 2 1 0 D g g g g g D g g g P P v p (1.29) dove 32 2 2 2 1 2 0)

(DPg =g +g +g e DP è il grado di polarizzazione definito come:

0 2 3 2 2 2 1 g g g g DP + + = (1.30)

E’ possibile esprimere le coordinate del vettore di Stokes in funzione delle coordinate di longitudine e latitudine, 2 e φ 2τ , per visualizzare il vettore sulla sfera di Poincarè: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) 2 sin( ) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 sin( 2 2 2 2 φ τ φ τ τ E E E E g (1.31)

Ammettendo τ e φ costanti e normalizzando a g , cioè la potenza media dell’onda ₀

1 0 = w (1.32) ) 2 sin( 0 1 1 = = τ g g w (1.33) ) 2 cos( ) 2 cos( 0 2 2 = = τ φ g g w (1.34) ) 2 sin( ) 2 cos( 0 3 3 = = τ φ g g w (1.35)

Le ultime tre componenti del vettore sono le coordinate di un punto fisso sulla sfera di Poincarè di raggio .

w 1

0 = w

Se la longitudine e la latitudine del punto sulla sfera variano nel tempo, esso descrive una traiettoria. Il baricentro della traiettoria è il punto, che espresso in funzione dei parametri di Stokes e normalizzato alla potenza totale, ha le seguenti coordinate:

2 2 3 2 2 2 2 2 1 ) 2 sin( ) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 sin( E E w E E w E E w φ τ φ τ τ = = = (1.36)

esse sono le coordinate di un punto all’interno della sfera di Poincarè a distanza dal centro. È da notare che se =0, il punto si trova nel centro della sfera e a tale punto corrispondono le coordinate tutte nulle. Esso rappresenta lo stato di completa non polarizzazione. P D P D 3 2 1,w ,w w

In analogia a quanto visto per al matrice di scattering, esiste un legame fra i vettori di Stokes dell’onda incidente su un bersaglio e di quella riflessa.

Il legame tra i vettori di Stokes istantanei è:

g t R t

con il vettore di Stokes dell’onda trasmessa e R la matrice 4x4 di riflessione di Stokes. Il legame tra R e S è:

T g 1 ) ) ( ) ( ( ) (t = A S t ⊗S t ∗ A− R (1.38)

dove A è la matrice di espansione di Kronecker:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 j j A (1.39)

e ⊗ denota il prodotto di Kronecker.

Ragionando in termini di vettore di Stokes, abbiamo:

T i Mg

g = (1.40)

dove M = R(t) , si chiama matrice di Mueller. Si noti che nell’equazione precedente possiamo porre g_T = g_T, visto che la polarizzazione in trasmissione non cambia nel tempo [12-13].

1.7 Teorema di scomposizione di Huynen

Il teorema di scomposizione di Huynen afferma che la matrice di scattering tempo variante, di un qualunque bersaglio, può essere univocamente decomposta come:

) ( ) ( ) (t a₀ t S₀ S t S = + _N (1.41)

dove è una quantità scalare complessa, è la matrice di scattering di un bersaglio fisso, , con elementi

) ( 0 t a S₀ ) (t SN SHH =−SVV =a(t)e , è la SHV =−SVH =b(t)

matrice di scattering del bersaglio residuo. Le due parti sono incorrelate, quindi la matrice di Mueller risulta:

N M M a M = 0 + 2 0 (1.42)

dove a₀2 = a₀2(t) . I bersagli associati con e si chiamano “bersaglio effettivo” e “bersaglio di rumore”. In pratica le componenti e sono quelle che danno luogo alle componenti completamente polarizzate e non polarizzate dell’onda riflessa. Sulla sfera di Poincarè la polarizzazione dell’onda riflessa dovuta al bersaglio effettivo rappresenta lo stato di polarizzazione media assunta dall’onda al variare del tempo [13].

0 0( St) a S_N(t) 0 0( St) a S_N(t)

1.8 Potenza media e segnale ricevuto

Detta hr la polarizzazione dell’antenna ricevente, la tensione in uscita dall’antenna

sarà:

r(t)= hrTS(t)ET (1.43)

Nel caso in cui l’onda riflessa è parzialmente polarizzata, la tensione ricevuta è tempo variante. La (1.43) presuppone che si stiano utilizzando due antenne diverse per al trasmissione e ricezione. Qualora le antenne coincidano abbiamo:

r(t)= htTS(t)ET (1.44) La potenza media ricevuta sarà:

[

H T

]

[

H S R g Mg g g P 2 1 2 1 ₌ =

]

(1.45)

dove gH , è il vettore di Stokes associato all’antenna in ricezione con polarizzazione hr. Sostituendo le espressioni del vettore di Stokes riportate nella (1.24) la potenza ricevuta può essere scritta anche in funzione del grado di polarizzazione e dell’angolo χ tra i due vettori g_H e g , in questo modo: _S

) cos 1 ( 2 1 2 2 χ PS R h E D P = + (1.46)

dove è il modulo del vettore di Stokes dell’antenna in ricezione e è il grado di polarizzazione dell’onda scatterata.

h D_PS

La potenza media può essere nulla se e solo se DPS =1 e χ = . significa π che l’onda incidente sull’antenna è completamente polarizzata e

1 = PS D π χ = significa che la polarizzazione dell’antenna è ortogonale a quella dell’onda incidente. Se invece

(il che significa che l’onda ricevuta è parzialmente polarizzata), la potenza media ricevuta non sarà mai nulla indipendentemente dalla polarizzazione dell’antenna: il radar riceverà sempre una potenza dovuta alla componente completamente non polarizzata (c.n.p.) dell’onda incidente, cioè se la polarizzazione dell’antenna è ortogonale alla componente completamente polarizzata, rimarrà un residuo di potenza ricevuta dovuta alla componente completamente non polarizzata. La componente c.n.p. dell’onda incidente ha una polarizzazione qualsiasi uniformemente distribuita sulla sfera di Poincarè, perciò la potenza media che essa indurrà sull’antenna sarà costante e indipendente dalla polarizzazione dell’antenna [13].

1 <

PS

D

1.9 Polarizzazioni ottime

Ipotizziamo di avere sia in trasmissione che in ricezione la stessa antenna e supponiamo di avere un bersaglio con matrice di scattering S costante (bersaglio fisso).

Indichiamo come polarizzazioni ottima dell’antenna in trasmissione quella che massimizza o minimizza la potenza totale riflessa dal bersaglio. Queste polarizzazioni si ottengono risolvendo il seguente problema agli autovalori:

Sh=sh* (1.47)

Siano h1 e h2 e s1 e s2 i due autovettori e i due autovalori complessi, che soddisfano la (1.47). Notiamo che :

◊ h1 e h2 sono due polarizzazioni ortogonali con entrambe modulo unitario

◊ poiché hS=S hT, abbiamo hS∝ h∗1,2 se hT =h1,2. Infatti ¾ h_T =h₁ ⇒h_S = s1h∗1 ¾ hT =h2 ⇒hS = s2 ∗ 2 h ◊ se s1 >s2 allora

¾ dà la potenza massima in ricezione, cioè

s 1 T h h = = R v hT_rh_S =h₁T 1h1∗ =s1 2 1 s = ⇒P_R

¾ dà la potenza minima in ricezione, cioè

s 2 T h h = = R v hT_rh_S =hT₂ 2h∗2 =s2 2 2 s = ⇒ PR

¾ le polarizzazioni h1 e h2 si chiamano rispettivamente COPOL MAX e

COPOL SUBMAX

Ci sono altre due polarizzazioni in trasmissione particolari dette COPOL NULLS. Le COPOL NULLS sono due polarizzazioni h1 e h2 tali che la polarizzazione

dell’onda riflessa è ortogonale a quella trasmessa, cioè: ◊ h_T =h₁ ⇒h_S =Sh₁=h_1⊥

◊ hT =h2 ⇒hS = Sh2=h2⊥

Segue che le tensioni d’uscita dall’antenna sono nulle: ◊ vr1 = = 1⊥ =0 T 1 S T 1h h h h ◊ vr1 = = 2⊥ =0 T 2 S T 2h h h h

Nella sfera di Poincarè le polarizzazioni COPOL MAX e COPOL NULLS formano una forchetta detta forchetta di Huynen. Le posizioni relative della forchetta sono invarianti rispetto alla base scelta. La conoscenza della forchetta di Huynen e del

parametro di ampiezza mdescrive completamente la matrice di scattering relativa SMR [13].