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CM81sett.tex COMPLEMENTI DI MATEMATICA a.a. 2008-2009 Laurea magistrale in Ingegneria Elettrotecnica

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CM81sett.tex

COMPLEMENTI DI MATEMATICA a.a. 2008-2009 Laurea magistrale in Ingegneria Elettrotecnica Prima settimana (1-5.10.2008)

2.10.2008 - gioved`ı (2 ore)

I numeri dei paragrafi si riferiscono al vol. II del libro di testo consigliato.

Presentazione del corso

Richiamo sugli spazi (topologici) metrici; nozione di distanza, sua posi- tivit`a, simmetria, disuguaglianza triangolare.

La distanza euclidea:

d(x, y) = v u u t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

. (Attenzione: il testo porta erroneamente u invece di i.)

Richiamo sugli spazi vettoriali su un corpo numerico (ci interesseranno solo i reali e i complessi). Un corpo numerico `e una struttura dotata di due operazioni (nel nostro caso entrambe commutative), dalla quale si estrag- gono i coefficienti che compaiono nelle combinazioni lineari dei vettori dello spazio.

La norma e gli spazi normati; disuguaglianza triangolare. Uno spazio normato si pu`o sempre far diventare uno spazio metrico ponendo:

d(x, y) = ||x − y|| (1.1.13).

Norme diverse (1.1.30).

Spazio prehilbertiano: prodotto scalare p : V × V → K, simmetria, (con il coniugio), vengon fuori i coefficienti, distributivit`a rispetto alla somma, realt`a e positivit`a di hx, xi.

Convergenza in uno spazio metrico: convergenza secondo Cauchy, com- pletezza.

Spazio topologico V: sistema di intorni I

ǫ

(x) = {y ∈ V : d(x, y) < ǫ}.

Convergenza secondo Cauchy in uno spazio topologico; completezza.

Uno spazio normato completo si dice spazio di Banach.

Sottoinsieme denso in uno spazio metrico.

(definizioni, esempi ed esercizi da 1.1.18 a 1.1.21) Spazio metrico separabile.

Spazio hilbertiano: prehilbertiano, completo, separabile e di dimensione in-

finita.

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