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COMPLEMENTI DI MATEMATICA
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrotecnica
Prova parziale del 20.11.2008 Tempo concesso: 90 minuti Tema A
1. Si dia la definizione di densit`a; in quale tipo di spazi ha senso? Su uno spazio vettoriale normato ha sempre senso parlare di densit`a?
In che dimostrazione `e stato sfruttato il fatto che C1([a, b]) `e denso in L1([a, b])?
2. Si definisca la funzione potenza nel campo complesso; si dica quando questa funzione `e univoca, plurivoca con un numero finito di valori, plurivoca con un numero infinito di valori, giustificando le risposte.
3. In quale tipo di spazio il problema della migliore approssimazione in norma ha sempre soluzione? e quale `e?
4. Si definisca la funzione f (z) = ez e si trovi la sua immagine nel piano complesso. Il punto (1,0) `e l’immagine di quale insieme?
5. Risolvere nel campo complesso l’equazione sin z = 4.
6. Sullo spazio C0([−π, π]) abbiamo considerato tre norme: quella che gli `e propria e quelle che sono indotte dagli spazi L2([−π, π]) e L([−π, π]) che contengono C0([−π, π]). Presentare singolarmente le tre norme, propo- nendo anche qualche esempio di successione che converge secondo una di queste ma non secondo le altre.
7. Una serie di Fourier uniformemente convergente su R `e anche puntual- mente convergente a una funzione continua? Se s`ı, dimostrarlo, se no trovare un controesempio.
8. Si dica perch´e la serie
X∞ n=1
1
n3cos nx;
`e una serie di Fourier e perch´e se ne pu`o effettuare la derivazione per serie.
9. La funzione f (z) = |z|2`e olomorfa in qualche regione di C? Perch´e?
E derivabile in qualche punto?`
10. Si illustri il motivo per cui una funzione non costante che vale i sul seg- mento [−i, +i] dell’asse immaginario non pu`o essere la restrizione agli immaginari puri di una funzione analitica su C.
