MATEMATICA 1 a. a. 2006-2007 Ingegneria elettrotecnica e Ingegneria energetica Prova parziale dell’8.11.2007 Tema B Tempo concesso: 90 minuti 1. Si dia la definizione dell’espressione lim

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MATEMATICA 1 a. a. 2006-2007 Ingegneria elettrotecnica e Ingegneria energetica

Prova parziale dell’8.11.2007 Tema B Tempo concesso: 90 minuti

1. Si dia la definizione dell’espressione lim

x→x0

f (x) = 4

e si abbozzi un grafico di una funzione che goda di questa propriet`a.

2. Si tracci il grafico delle seguenti funzioni:

cos(x + 2) cos |x + 2| |cos(x + 2)|

3. Studiare la funzione

e

(insieme di definizione, immagine, limiti, eventuali massimi e minimi, crescenza e decrescenza, continuit` a e derivabilit` a, eventuali attacchi, abbozzo del grafico)

4. Si traccino, al variare del parametro a, i grafici delle funzioni seguenti:

f (x) = x

,

dove α `e un parametro reale > 0. Hanno un massimo e un minimo assoluti? ` E contraddetto il teor. di Weierstrass? Perch´e?

5. La funzione

f (x) = lg x + e

+ arctan x

si annulla certamente in un punto dell’intervallo aperto ]0, 1[. Perch´e?

6. Dire se `e vero o falso il seguente asserto: “La derivata di una fun- zione pari `e una funzione pari”. Se s`ı dimostrarlo, se no, trovare un controesempio.

7. Le funzioni

f

(x) = x, f

(x) = sin x, f

(x) = e

− 1 hanno nel punto x = 0 la stessa tangente. Perch´e?

8. Dire se sono veri o falsi i seguenti asserti, giustificando la risposta:

• Una funzione continua in un punto x

`e derivabile in quel punto.

• Una funzione derivabile in un punto x

`e continua in quel punto.

9. Si dia la definizione di funzione crescente.

Una funzione composta di due funzioni crescenti `e crescente? Se s`ı, dimostrarlo, se no, trovare un controesempio.

10. Enunciare la regola di L’Hˆ opital nel caso

.