[6 pt] Data la serie di potenze

ANALISI MATEMATICA 2 17/07/2017

Cognome e Nome firma

PARTE A 1. [6 pt] Data la serie di potenze

+∞

X

n=0

x⁶ⁿ⁺³ 3²ⁿ⁺¹(2n + 1)!,

(a) determinare l’insieme di convergenza;

(b) calcolare la somma della serie f (x);

2. [6 pt] Classificare i punti stazionari della funzione f (x, y) = 4 + 8x²y²− 2x²− 2y².

3. [6 pt] Siano f (x, y) = _x2+y^{y 2}, Γ l’arco regolare r di equazione

 x = ρ(θ) cos θ

y = ρ(θ) sin θ , dove ρ(θ) = 1 + cos θ, θ ∈ [0, π]. Calcolare:

a) |r⁰(θ)| = b) l’integrale curvilineo di 1^aspecie Z

Γ

f ds =

4. [6 pt] Dati A = {(x, y) ∈ R² : (x − 2)²+ y² ≤ 4}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ (y − 2)² ≥ 4}, calcolare

a) Z Z

A

(x²+ y²) dx dy = b)

Z Z

A∩B

(x²+ y²) dx dy =

5. [4 pt] Scrivere l’equazione della retta tangente in P = (⁵

√7

4 , −⁹₄, 0) alla curva γ definita implicitamente dal sistema

(x²+ y²− z − 16 = 0 9x²+ 25y²− z²− 225 = 0

6. [6 pt] Siano dati il campo F (x, y, z) = (x − y + z, −x + y + z², sinh(x² + y² + z²)) e la superficie Σ = {x² + y² + z² = 4, z ≥ 1}. Calcolare, mediante il Teorema di Stokes, il flusso di rot F attraverso Σ, orientata verso l’alto, riportando i passaggi salienti.

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PARTE B

7. [±10 pt] Vero o Falso (Attenzione: una risposta giusta vale 2.5 punti, una sbagliata -2.5, una lasciata in bianco 0.) Per ciascuna delle seguenti funzioni r : [a, b] → R², dire se si tratta di un arco regolare ( VERO ), oppure no ( FALSO )

(a) r = (t², t²), t ∈ [−1, 1] VERO FALSO

(b) r = (cosh t, sinh t), t ∈ [−1, 1] VERO FALSO (c) r =  (t, t sin¹_t), t ∈ (0, 1]

(0, 0), t = 0 VERO FALSO

(d) r = (t, t²), t ∈ [−4, 4] VERO FALSO 8. [9 pt] Sia data la funzione F : R² → R definita da

F (x, y) =





 x²y²

|x| + y² (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0).

(a) Calcolare lim

(x,y)→(0,0)F (x, y);

(b) Calcolare, se esiste, ∇F (0, 0);

(c) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di F in (0, 0), se esiste.

9. [5 pt] Enunciare il Teorema di Dini in R².

10. [4 pt] Siano date f ∈ C¹(R²) e g ∈ C¹(R). Calcolare d

dxf (x, g(x)) =

11. [6 pt] Sia A = {(x, y) ∈ R² : ^x₉² + ^y₄² < 1}\{(x, y) ∈ R² : y = 0, 0 ≤ x < 3}. Indicare (a) La parte interna di A

(b) La frontiera di A

(c) La chiusura di A

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