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Sia data la serie di potenze

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Academic year: 2021

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(1)

Esame scritto di Analisi Matematica II 04-02-2016

Nome, cognome e matricola:

——————————————————————————————————

ESERCIZIO 1

Sia data la serie di potenze

X

k=1

k

3

5

k+1

+ 25 x

k

. x ∈ R. Determinare il raggio di convergenza.

Soluzione:

ESERCIZIO 2. Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione definita in R

2

da f (x, y) = y

3

+ 3

2 x

2

+ 3xy Soluzione:

1

(2)

ESERCIZIO 3 Data la curva γ

 

 

x(t) = cos t t ∈ [0, π/3]

y(t) = sin t z(t) = t

calcolare l’integrale curvilineo sulla curva γ della funzione f (x, y, z) = yz

Soluzione:

ESERCIZIO 4. Data la forma differenziale

−2xydx + 2xydy

calcolare l’integrale curvilineo sulla curva chiusa ottenuta congiungendo i punti (0, 0) (2, 0) (2, 1) (1, 1) (contorno del trapezio), percorsa in senso antiorario.

Soluzione:

2

(3)

ESERCIZIO 5. Determinare α reale (se esiste) in modo tale che div(grad(αx

2

+ y) = 1

Soluzione:

ESERCIZIO 6. Dato il dominio

T = {(x, y) ∈ R

2

: 1 ≤ x ≤ 3, − 3

x ≤ y ≤ 1 x } calcolare

Z Z

T

xy dxdy

Soluzione:

3

(4)

ESERCIZIO 7. Sia data la corona circolare E = {(x, y) ∈ R

2

: 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4}. Calcolare

Z Z

E

x

2

+ y

2

1 + x

4

+ y

4

+ 2x

2

y

2

dxdy Soluzione:

4

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