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Serie di potenze

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Academic year: 2021

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(1)

Serie di potenze

Riccarda Rossi

Universit`a di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di potenze Analisi II 1 / 4

(2)

Richiami di teoria

Data {an} ⊂ R, la serie di potenze di centro x0∈ R `e

+∞

X

n=0

an(x − x0)n.

Alla serie si associa il raggio di convergenza R:

se ∃ lim

n→+∞

p|an n| = l

allora R =









+∞ se l = 0,

1

l se 0 < l < +∞, 0 se l = +∞.

cio`e R `e il “reciproco generalizzato” di l .

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di potenze Analisi II 2 / 4

(3)

+∞

X

n=0

an(x − x0)n

1 converge puntualmente & assolutamente su (x0− R, x0+ R)

2 non converge in R \ [x0− R, x0+ R] (cio`e non converge per

|x − x0| > R)

3 pu`o (oppure no) convergere in x = x0− R e x = x0+ R

4 converge totalmente e dunque uniformemente su [x0− r , x0+ r ] per ogni 0 < r < R

5 teor. Abel: se converge in x = x0+ R, allora converge uniformem. in [x0, x0+ R], e idem per x = x0− R

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di potenze Analisi II 3 / 4

(4)

Osservazione. Se an≥ 0

n→+∞lim an+1

an = l ⇒ lim

n→+∞

n

an= l

⇒ equivalente calcolare il raggio di convergenza con criterio rapporto asintotico, quindi

l = lim

n→+∞

|an+1|

|an|

R “reciproco generalizzato” di l

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di potenze Analisi II 4 / 4

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