Ad una distanza
L/3
dall’estremoA
Un’ asta omogenea di massa
M
e lunghezzaL
l’accelerazione angolare Se a un certo istante la fune si spezzasse determinare
e della tensione della fune.
della reazione vincolare nel punto
A
Calcolare le espressioni
orizzontalmente da una fune collegata all’altro estremo
B
verso il basso nel sistema della sbarretta . punto
A
ed e’ tenutaperpendicolarmente all’asta stessa.
perpendicolare all’asta e diretta
e’ applicata una forza
e’ vincolata ad un estremo in un
a cui sarebbe soggetta l’asta nell’istante immediatamente successivo alla rottura.
F = − Fj ˆ
z
y x
Oˆi ˆj kˆ
A
F
O x
y
z
B
A T RV
Mg
z
y
x O ˆi
ˆ ˆj k
z
y
x O ˆi
ˆj kˆ
z’
y’
O’ x’
ˆ ' i ˆ 'j kˆ '
F = −Fjˆ
se e’ diretta verso il basso
senza perdere in generalita’ possiamo ruotare gli assi del sistema fisso fino ad allinearli parallelamente alla sbarretta
nel sistema di riferimento della sbarretta
A A
V V
R = R F = F P = P T = T
poiche’
A
e’ un punto fisso rispetto al sistema inerzialeˆ
A A
V V
R = R j F = − Fj ˆ P = − Mgj ˆ T = Tj ˆ
la forza peso e’ applicata al centro di massa dell’asta
conviene scegliere il punto
A
stessoposto si ha
la massa e’ distribuita in modo omogeneo sull’asta punto di mezzo dato che
che coincide con il suo
come polo fisso A
F
O x
y
z
B
A T RV
z’
y’
x’
O’iˆ ' ˆ 'j ˆ ' k
Mg
i momenti
A
F
O x
y
z
B
Mg
T
VA
R
rispetto al polo fisso
A
rF rP
MP
delle forze agenti sono :
VA VA A
R R V
M = r R
F
=
FM r F
T
=
TM r T M
P= r
P P
erT
VA
0 r
R=
MT
ma
MF
VA
0 M
R=
alla rottura della fune
➢ nell’istante immediatamente successivo
l’asta iniziera’ a ruotare verso il basso nel piano
xy
→
( ) t = − ( ) t k ˆ
A
F
O x
y
z
B
Mg
VA
R
in conclusione: il momento angolare totale
L
sara’ parallelo ad
A
F
O x
y
z
B
Mg
VA
R
ri
m1
i i i
v
iL = r m
la velocita’ dell’
i
-esimo punto sara’v
i= − v
iˆ j
e il momento angolare sara’ diretto come
dell’
i
-esimo punto→ questo rimarra’ vero per tutti i punti della sbarretta
v2
m2
v3
m3
v1
L1
A A
M = I
il momento d’inerzia rispetto al centro di massa
1
2 CM12
I = ML
per determinare
ma l’asta sta ruotando rispetto al punto
A
e dato che il momento d’inerzia e’ costante
A
I d
dt
=
si utilizza il teorema di Huygens Steiner
A A
M
= I
il momento d’inerzia rispetto a questo asse di rotazione
non rispetto al centro di massa ! di una asta omogenea e’
per il teorema di Huygens Steiner di massa totale
M
calcolato rispettoda un asse passante per il centro di massa
2
I = I
C+ Ma
1
=
n
i i
M m
=con
2
1
212 4
A
I = ML + M L
1
2 CM12
I = ML
percio’se
1
2 A3
I = ML
e’ dato da
il momento d’inerzia di un corpo esteso ad un asse che si trova a distanza
a
il modulo del momento di queste forze rispetto al polo
A
e’2
1 1
3 2
1 3
LF LMg ML
= +
A A
M
= I
1 1
3 2
1 3
F Mg ML
= +
3
F 2 Mg ML
= +
3 2
F g
ML L
= +
nell’istante immediatamente susseguente alla recisione della fune le uniche forze
e la forza a momento non nullo saranno la forza peso
agenti sull’asta
