Motore a reazione

Motore a reazione

Su un carrello inizialmente fermo di massa M `e montato un cannoncino, la cui massa `e inclusa in M , che spara orizzontalmente proiettili di massa m lungo la direzione di scorrimento del carrello.Sul carrello ci sono 20 proiettili per una massa totale M_C = 20m. Il carrello `e inizialmente fermo, pu`o scorrere senza attrito sul piano e la velocit`a di fuoriuscita dei proiettili `e v_r rispetto al carrello.

• Quale `e la velocit`a del carrello dopo il primo sparo?

• Quale `e la velocit`a del carrello dopo l’ultimo sparo? Si scriva la re- lazione per m generico e la si calcoli nella approssimazione M_C << M .

• Quale `e la velocit`a se tutta la massa MC viene concentrata in un’unica palla di cannone?

In tempi di pace lo stesso carrello viene usato per annaffiare i prati. Si supponga di avere una massa MC di acqua espulsa con la stessa velocit`a vr

dal cannoncino.

• Si determini la velocit`a del carrello dopo che tutta l’acqua `e stata es- pulsa. Si confronti il risultato con quanto trovato nel punto precedente se M_C << M . In quale caso la velocit`a finale `e maggiore?

Soluzione 1

Per trovare la velocit`a dopo il primo lancio basta applicare la conser- vazione della quantit`a di moto:

mv_r+ (M + M_C − m)V₁ = 0 (1)

da cui si ricava la velocit`a del carrello dopo il primo lancio:

V₁ = − m

M + M_C− mv_r (2)

Al lancio i-esimo il carrello subisce una variazione di quantit`a di moto pari a quella del sasso lanciato: Q_m = mv_r.

(M + M_C− im)∆V_i = −mv_r (3)

1

da cui:

∆Vi = −vr

m

M + MC− im (4)

La velocit`a finale si ottiene sommando tutte le variazioni di velocit`a:

V_f = −v_r

20

X

i=1

m

M + M_C − im = −v_r

20

X

i=1

1

A − i (5)

dove

A = M + MC

m

Per m << M possiamo trascurare la i al denominatore e scrivere:

Vf = −vr

M_C M + MC

' −v_r(M_C

M vr−M_C²

M²) (6)

Se tutta la massa MC `e concentrata in un’unica palla di cannone, la velocit`a acquistata `e quella scritta in eq.2 sostituendo m con MC:

V_{f C} = −M_C

M v_r (7)

Come si vede, `e la stessa ricavata in precedenza nella approssimazione m << M .

Soluzione 2

Supponiamo adesso che il cannoncino spruzzi acqua in maniera continua.

In questo caso, chiamando m(t) la quantit`a di acqua espulsa all’istante t, risulta:

(M + M_C − m)dv = −v_rdm (8)

Dividendo per M + M_C − m e integrando fra l’istante iniziale e quello finale risulta:

V_{f C} = −v_rlogM + M_C

M (9)

Per M_C << M si ottiene

V_{f C} ' −v_r(M_C

M − M_C² 2M²)

Si nota che questo valore `e pi`u piccolo (in modulo) di quanto si ottiene concentrando tutta la fuoriuscita di acqua in un’unica “palla di acqua”.

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