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Geometria (Informatica) – 9 Gennaio 2003

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Geometria (Informatica) – 9 Gennaio 2003

1. Fissata in C3 la base {e1, e2, e3} si consideri l’applicazione lineare deÞnita da:

f (e1) = ie2

f (e2) = ie1+ ie3

f (e3) = ie2

(a) Trovare una base per il nucleo e una base per l’immagine (4 punti).

(b) Trovare autovalori e autovettori (4 punti)

(c) Quante soluzioni ha il sistema lineare A4(v) = 4v (dove A è la matrice associata a f e v =

 x y z

 )? (4 punti)

(d) Quante soluzioni ha il sistema lineare A4(v) = −4v ? (4 punti) 2. Si considerino, in R3,i piani W e V di equazioni x + y − z = 0 e x + y = 0.

(a) Trovare l’equazione parametrica della retta r = V ∩ W (3 punti)

(b) Scrivere una applicazione lineare di nucleo r e immagine U (dove U è il piano ortogonale a r e passante per l’origine delle coordinate. (5 punti)

3. Si consideri la matrice A =



1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2



.

(a) Trovare autovalori e autovettori. (4 punti) (b) Tale matrice è diagonalizzabile ? (3 punti)

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