Econometria Esercitazione 2020

Università di Siena

Siena, 2020

Econometria

Guardiamo i punti 10-13 rimasti dall’Esercitazione 2.

10 Se applichiamo un test F con ipotesi nulla H₀: β₂= β₃=0, qual è l’ipotesi alternativa?

1 β₂6= 0 e β₃6= 0

2 β₂6= 0 o β₃6= 0X

3 (β26= 0 e β₃=0) o (β2=0 e β36= 0)

4 (β₂<0 e β₃>0) o (β₂>0 e β₃<0)

globale della vostra regressione e il corrispondente p-value. Come interpretate il p-value?

1 la probabilità che tutti i coefficienti siano zero

2 la probabilità che tutti i coefficienti meno l’intercetta siano zero e che osserviamo il risultato stimatoX

3 la probabilità che il modello sia completamente invalido

4 la probabilità che il modello non sia correttamente specificato.

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12 Qual è l’effetto di una variabile irrilevante sui coefficienti stimati delle altre variabili?

1 sono distorti verso il basso e hanno standard error più piccoli

2 sono distorti verso l’alto e hanno standard error più grandi

3 sono distorti e la distorsione può essere negativa o positiva

4 sono corretti ma hanno standard error più grandi. X

13 Quando includiamo variabili collineari in un modello econometrico le stime sono

1 distorte verso il basso e hanno standard error più piccoli

2 distorte verso l’alto e hanno standard error più grandi

3 distorte e la distorsione può essere negativa o positiva

4 corrette ma hanno standard error più grandi.X

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Esercizio 6.1

(a) Considerate la seguente regressione su un campione con N = 40: y = β₁+ β2x + β₃z + e

che produce SQR = 979.830 e sy =13.4522.

Trovare (i) R²

(ii) Il valore della statistica F per testare β₂= β3=0. Si rifiuta o no H₀?

(i) Calcoliamo l’ R² Sappiamo che

SQT =P(y_i− ¯y )²= ^P(y_(n−1)^{i−¯y )2} × (n − 1) = s_y²(n − 1).

⇒ SQT = (13.45)²× 39 = 7057.5057 R²=1 − ^SQR_SQT =1 − _7057.5057^979.830 =0.8611

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(ii) Il secondo punto consiste nel calcolare il test di significatività complessiva.

Se β₂= β₃=0 allora ˆy_i = ˆβ₁= ¯y

⇒ SQRV =Pn

i(y_i− ˆy_i)²=Pn

i(y_i − ¯y )²=SQT L’F test per testare β₂= β3=0 è quindi:

F = (SQT − SQR_NV)/(K − 1) SQR_NV/(n − K ) =

= (7057.5057 − 979.830)/(2)

979.830/(40 − 3) =144.75

6.2 Considerate l’esercizio precedente. Dopo avere inserito nella regression ˆy²e ˆy³avete ottenuto SQR = 696.5357. utilizzate il test RESET per testare la forma funzionale.

Qua dobbiamo utilizzare:

F = (SQR_V − SQR_NV)/J SQR_NV/(n − K )

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F = (SQR_V − SQR_NV)/J SQR_NV/(n − K )

= (979.830 − 696.5357)/2

696.5357/(40 − 5) =7.1175

Il valore critico di una F con un livello di significatività = 0.05 è F_0.95,2,35=3.267

Rigettiamo pertanto l’ipotesi nulla. Il modello è mal specificato.

Esercizio 6.3: Considerate il modello:

y = β₁+ β₂x₂+ β₃x₃+e

Immaginate di aver stimato questo modello con minimi quadrati su 20 osservazioni. Sapendo che ˆσ²=2.5193, R²=0.9466 e avendo stimato i seguenti coefficienti e la seguente matrice varianza covarianza \cov (b):

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

 b₁ b₂ b₃



=





0.96587 0.69914 1.7769





Cov (b) =





0.21812 0.019195 −0.050301 0.019195 0.048526 −0.031223

−0.050301 −0.031223 0.037120





(a) Trovate SQT, SQR e SQM Sappiamo che:

SQR =Pn

i eˆ_i²= ˆσ²× (N − K ) = 2.5193 ∗ (20 − 3) = 42.8281 Essendo R²=0.9466 = 1 −^SQR_SQT

⇒ ^SQR_SQT =1 − R²⇒ SQT = _(1−R^SQR2) = _(1−0.9466)^42.8281 =802.0243 SQM è il complemento della SQR alla SQT, quindi:

SQM = SQT − SQR = 802.0243 − 42.828 = 759.1962

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(b) Sapendo che t_0.975,17=2.110 trovate l’intervallo di confidenza al 95% per β₂e β₃

b₂±t_0.975,17se(b₂) =0.69914±2.110×

√

0.048526 = (0.2343, 1.1639) b₃±t0.975,17se(b₃) =1.7769±2.110×√

0.037120 = (1.3704, 2.1834)

(c) Sapendo che t_0.05,17 = −1.740 testate H₀: β₂≥ 1 contro H₁: β2<1

t = b₂− β₂

se(b₂) = 0.69914 − 1

√

0.048526 = −1.3658 > −1.740 non possiamo rigettare H₀al 5% di significatività

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(d) Sapendo che F_0.95,2,17 =3.59 testate l’ipotesi nulla congiunta H₀: β2= β3=0 contro H₁: β26= 0 OR β36= 0

Sappiamo che:

F = (SQR_V − SQR_NV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (SQT − SQR_NV)/(K − 1) SQR_NV/(n − K ) =

= (SQM)/(K − 1)

SQR_NV/(n − K ) = (759.1962)/(2) 42.8281/(17) =151 La realizzazione è molto piu’ elevata del valore critico, 3.59, quindi rigettiamo H

(d) Sapendo che t_0.025,17= −2.11 testate l’ipotesi nulla H₀:2β₂= β₃

Sotto H₀:dobbiamo testare la combinazione lineare 2β₂− β₃=0.

L’errore standard della combinazione lineare è:

se(2b₂−b₃) = q

2²× var (b₂) +var (b₃) −2 × 2 × cov (b₂,b₃) = q

2²× 0.048526 + 0.03712 − 2 × 2 × (−0.031223) = 0.59675

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Il numeratore della t è:

2b₂− b3=2 × 0.69914 − 1.7769 = −0.37862

⇒ t = −0.37863

0.59675 = −0.634 Poichè −2.11 < −0.634 < 2.11 non rigettiamo H₀.

Esercizio 6.4. Considerate la seguente regressione sul salario condotta su 1000 individui:

ln(WAGE ) = β₁+ β2EDUC + β₃EDUC²+ β4EXPER + β₅EXPER²+ + β₆(EDUC × EXPER) + β₇HRSWK + e

dove le variabili esplicative sono anni di educazione, anni di esperienza e ore lavorate.

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(0.266) (0.190) (0.188) (0.080) (0.096)

EDUC 0.0498 0.0289 0.0366 0.1006

(0.0397) (0.0344) (0.0350) (0.0063)

EDUCZ 0.00319 0.00352 0.00293 (0.00169) (0.00166) (0.00170)

EXPER 0.0373 0.0303 0.0279 0.0295

(0.0081) (0.0048) (0.0054) (0.0048)

EXPER² -0.000485 -0.000456 -0.000470 -0.000440

(0.000090) (0.000086) (0.000096) (0.000086)

EXPER xEDUC -0.000510 (0.000482)

HRSWK 0.01145 0.01156 0.01345 0.01524 0.01188 (0.00137) (0.00137) (0.00136) (0.00151) (0.00136)

(a) Usando un valore approssimato della t al 5% pari 2 indicate i coefficienti statisticamente diversi da zero.

Basta indicare con una stella tutti quei coefficienti il cui rapporto con lo standrad error è in valore assoluto maggiore di 2.

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* *

* *

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* * *

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* *

*

restrizione. Mostrare che il t test produce lo stesso risultato.

La restrizione imposta è β₆=0.

se testiamo H₀: β₆ =0 contro H₁: β₆6= 0 col F test abbiamo:

F =(SQR_V− SQR_NV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (222.6674 − 222.4166)/(1)

222.4166/(993) =1.120 Il valore critico F(0.95,1,993)=3.851 e quindi non rigettiamo H₀. Il valore critico della t-statistica è t(0.975,993)=1.962 =√

3.851 ed il suo valore è 1.058=√

1.120

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specificazione (C)? Usare l’F-test per verificare questa restrizione.

A quale domanda state cercando di rispondere con questo test?

La restrizione imposta è β4=0, β5=0, β6=0.

se testiamo H0: β4=0, β5=0, β6=0 contro H1:almeno uno tra β4, β5, β66= 0 col F test abbiamo:

F = (SQR_V − SQRNV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (233.8317 − 222.4166)/3

222.4166/(993) =16.988 Il valore critico F(0.95,3,993)=2.614 e quindi rigettiamo H0.

Con questo test ci stiamo chiedendo se l’esperienza ha un ruolo nello spiegare il (log) salario e quindi testiamo congiuntamente tutti

A quale domanda state cercando di rispondere con questo test?

La restrizione imposta è β2=0, β3=0.

se testiamo H0: β2=0, β3=0 contro H1:almeno uno tra β2, β3, 6=0 col F test abbiamo:

F = (SQR_V − SQRNV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (280.5061 − 222.6674)/(2)

222.6674/(994) =129.1 Il valore critico F(0.95,2,994)=3.005 e quindi rigettiamo H0.

Con questo test ci stiamo chiedendo se l’educazione ha un ruolo nello spiegare il (log) salario e quindi testiamo congiuntamente tutti i coefficienti che includono EDUC.

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specificazione (E)? Usare l’F-test per verificare questa restrizione.

A quale domanda state cercando di rispondere con questo test?

La restrizione imposta è β3=0, β6=0.

se testiamo H0: β3=0, β6=0 contro H1:almeno uno tra β3, β6, 6=0 col F test abbiamo:

F = (SQR_V − SQRNV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (223.6714 − 222.4166)/(2)

222.4166/(993) =2.802 Il valore critico F(0.95,2,994)=3.005 e quindi NON rigettiamo H₀. Con questo test ci stiamo chiedendo se l’educazione puo’ essere introdotta in modo lineare o se è necessario introdurre anche

La specificazione da preferire è la E: include solo coefficienti statisticamente diversi da zero ed esclude l’interazione ed EDUC² che congiuntamente non erano statisticamente diversi da zero.

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SC per la specificazione (A). quale modello è indicato dall’AIC e quale dal SC?

Il calcolo dell’AIC per la specificazione (D) è:

AIC = ln(SSR)

N − 2K

N = ln(280.5061)

1000 −2 × 4

1000 = −1.263 Il calcolo del SC per la specificazione (A) è:

SC =ln(SSR)

N −K × ln(N)

N = ln(280.5061)

1000 −7 × ln(1000)

1000 = −1.455 L’SC indica la specificazione (E) e l’AIC la specificazione (B).

ln(WAGE ) = β₁+ β₂EDUC + β₃EDUC²+ β₄EXPER + β5EXPER²+ + β₆HRSWK + e

a testate l’ipotesi nulla che un anno di educazione in più abbia lo stesso effetto di un anno di esperienza in più. come

specifichereste H₀e H₁? Sapendo che SQR_V =254.1726 testateH₀.

b Qual è il modello vincolato assumendo che l’ipotesi nulla è vera?

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ln(WAGE ) = β₁+β₂(EDUC+EXPER)+β₃(EDUC+EXPER)²+β₆HRSWK +e La statistica F è:

F = (SQR_V − SQRNV)/J

SQR_NV/(n − K ) = (254.1726 − 222.6674)/(2)

222.6674/(994) =70.32 Il valore critico F(0.95,2,994)=3.005 e quindi rigettiamo H0.

Esperienza ed educazione hanno effetti differenti.