Analisi Matematica A - Ing. dell’Informazione 5 settembre 2002 Compito 1

Analisi Matematica A - Ing. dell’Informazione 5 settembre 2002 Compito 1

1. Sia

A =

½ (−1) ⁿ 2

3 arctan n

5 , n ∈ N

¾ . Allora

Risp.: A : min A=− ^π 3 ; max A = ² ₃ arctan ² ₅ B : inf A=−∞; sup A = ^π 3 C : inf A=− ^π 3 ; sup A = ^π ₃ D : min A=− ² 3 arctan ¹ ₅ ; max A = ² ₃ arctan ² ₅ E : inf A=− ^π 3 ; sup A =+∞ F : inf A= ² 3 arctan ¹ ₅ ; max A = ^π ₃

2. Il numero complesso 1 2

"

i √ 3 − 1 (1 + i) ²

# ⁵ vale

Risp.: A : ⁱ⁻ ₄ ^{√ 3} B : ⁱ⁺ ₂ ^{√ 3} C : ¹⁻ⁱ ₅ ^{√ 3} D : ¹⁺ⁱ ₄ ^{√ 3} E : ¹⁺ⁱ ₄ F : ¹⁻ⁱ ₄ 3. L’insieme degli z ∈ C tali che Re ³

3z ¯ z − z ² − 7 ´

= 0 `e dato da

Risp.: A : una semicirconferenza B : una circonferenza C : una parabola D : una semiretta E : l’unione di due rette F : un’ellisse

4. Il limite della successione

n→+∞ lim

hp n ² + 4n + 8 − p n ² + 7 i

cos 1 n vale

Risp.: A : −1 B : 2 C : +∞ D : 0 E : ¹ ₃ F : − ¹ 5

5. Si consideri la successione {a ⁿ } n∈N definita da: a 0 = ¹ ₃ , a n+1 = 2a n + _a ¹

, ∀n ∈ N. Allora

Risp.: A : {a ⁿ } `e crescente e lim <sup>n</sup> a n =6∃ B : {a <sup>n</sup> } `e decrescente e lim ⁿ a n = 0 C : {a ⁿ } `e crescente e lim <sup>n</sup> a n = 1 D : {a <sup>n</sup> } `e decrescente e lim ⁿ a n = −∞ E : {a ⁿ } `e crescente e lim <sup>n</sup> a n = +∞ F : {a <sup>n</sup> } `e decrescente e lim n a n =6∃

6. Sia f la funzione definita da

f (x) =

√ x ² − 4 x + 3 . Delle seguenti affermazioni

(a) dom(f ) =] − ∞, −3[∪] − 3, −2] ∪ [2, +∞[ (b) dom(f) =] − ∞, −3]∪] − 3, −2[∪]2, +∞[ (c) lim _x→−3

f (x) = +∞

(d) f ammette la retta di equazione y = 1 come asintoto orizzontale per x → +∞ (e) f ammette la retta di equazione y = −x + 1 come asintoto obliquo per x → −∞

le uniche corrette sono

Risp.: A : b c d e B : b e C : a c D : a d E : b c F : a c d 7. Sia f la funzione definita nell’esercizio n. 6. Delle seguenti affermazioni

(a) dom(f ⁰ ) =] − ∞, −3[∪] − 3, −2[∪]2, +∞[ (b) f `e crescente in ]2, +∞[ (c) f ammette almeno un punto di minimo assoluto (d) lim _x→−2

f ⁰ (x) = −∞ (e) lim x→2

f ⁰ (x) = +∞ (f) f ammette un punto di flesso in ] − 3, −2[

le uniche corrette sono

Risp.: A : b c B : b c f C : a d e D : a b d e f E : a d e f F : c d e

8. Si consideri la funzione f definita da f (x) =

q

log ² |x + 1|, x ∈ R \ {−1}.

Allora f

Risp.: A : x 0 = −2 `e un punto angoloso B : x 0 = −3 `e un punto di cuspide C : x 0 = −2 `e un punto di flesso

a tangente verticale D : x 0 = −2 `e un punto di cuspide E : x 0 = −3 `e un punto di flesso a tangente

verticale F : x 0 = −3 `e un punto angoloso

9. Sia α ∈ R. Il limite

lim

x→0

sinh 2x log(1 + 2x) 2x ^α + 7x ⁴ vale

Risp.: A : 2 se α = 2, 0 se α < 2, +∞ se α > 2, B : 0 se α ≤ 2, +∞ se α > 2, C : 1 se α = 2, 0 se α > 2, +∞

se α < 2, D : 1 se α = 1, 0 se α < 1, +∞ se α > 1, E : +∞ per ogni α, F : 0 per ogni α,

10. Sia f : R −→ R la funzione definita da f(x) = [cos ^x 2 ] (ove [·] indica la parte intera). Allora f ammette

Risp.: A : infiniti punti di discontinuit`a eliminabile e infiniti punti di infinito B : infiniti punti di discontinuit`a

di seconda specie e infiniti punti di salto C : infiniti punti di discontinuit`a di seconda specie e infiniti punti

di salto D : infiniti punti di discontinuit`a eliminabile e un unico punto di salto E : un unico punto di

discontinuit`a eliminabile e infiniti punti di salto F : infiniti punti di discontinuit`a eliminabile e infiniti punti

di salto