PROVA di LABORATORIO di CALCOLO NUMERICO Ingegneria Meccanica - canale 1 - AA 2018/19

PROVA di LABORATORIO di CALCOLO NUMERICO Ingegneria Meccanica - canale 1 - AA 2018/19

Emma Perracchione, Federico Piazzon Padova, 5 Settembre 2019

• La durata della prova `e fissata in 1 ora e 30 minuti.

• Il candidato dovr` a produrre uno script .m per ogni esercizio.

• Tutti i files dovranno essere salvati nella cartella di default di Matlab. Per essere sicuri di non incorrere in problemi, si invita a salvare frequentemente il proprio lavoro e a NON cambiare mai cartella.

• NON bisogna salvare i files con nome e cognome, ma con il nome scritto nella consegna degli esercizi.

• Il candidato dovr` a inserire all’inizio di ogni file un’intestazione con nome, cognome numero di matricola e numero di postazione (tipicamente indicata sul monitor del computer).

• Commentare bene gli scripts usando il comando %.

• Al termine della prova lasciare tutti i files nella propria cartella home.

• Vietato usare libri, appunti e naturalmente il cellulare.

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ESERCIZI

1. Si consideri il problema di approssimare con il metodo di Newton gli zeri di funzioni. Data la seguente funzione:

f (x) = (x − 1)

e

.

si scriva uno script Esercizio1.m che esegua le seguenti istruzioni.

4 punti Detto z lo zero della funzione f , assegnare alla variabile m il valore della molteplicit` a di z. Plottare la funzione nell’intervallo [0.5, 2] e cercare un’opportuna condizione iniziale x0 per il metodo di Newton.

4 punti Ricordare le condizioni di convergenza e la velocit´ a di convergenza del metodo di Newton.

4 punti Calcolare la derivata di f e definirla nello script chiamandola fp. Calcolare quindi il valore approssimato x1 dello zero z con il metodo di Newton Newton.m, presente nella propria cartella di lavoro. Calcolare inoltre in numero di iterazioni iter1 necessarie affich´ e il metodo converga allo zero con tolleranza tol=10

. Fissare come numero massimo di iterazioni maxiter=100.

4 punti Scrivere una function NewtonMod.m che implementi il metodo di Newton modificato per una generica radice di molteplicit` a m. A tal fine si noti che ` e sufficiente apportare piccole modifiche alla function Newton.m.

4 punti Ripetere il terzo punto con la function NewtonMod.m. Chiamare l’approssimazione trovata x2 e indicare con iter2 il numero di iterazioni necessarie affinch´ e il metodo di Newton modificato converga.

4 punti Ripetere il terzo punto con il metodo di bisezione. A tal fine usare la funzione bisection.m presente nella propria cartella si lavoro. Chiamare l’approssimazione trovata x3 e indicare con iter3 il numero di iterazioni necessarie affinch´ e il metodo di bisezione converga.

4 punti Visualizzare/stampare a video iter1, iter2 ed iter3. Dire quale metodo converge pi´ u velocemente e commentare adeguatamente i risultati.

4 punti Calcolare errori assoluti commessi con metodo di bisezione, di Newton e di Newton mo- dificato. Stampare i risultati in formato esponenziale con 4 cifre decimali. Commenta- re i risultati tenendo conto dei criteri di arresto usati da Newton, Newton modificato e bisezione.

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