PROVA di LABORATORIO di CALCOLO NUMERICO Ingegneria Meccanica - canale 1 - AA 2018/19

PROVA di LABORATORIO di CALCOLO NUMERICO Ingegneria Meccanica - canale 1 - AA 2018/19

Emma Perracchione, Federico Piazzon Padova, 25 Luglio 2019

• La durata della prova `e fissata in 1 ora e 30 minuti.

• Il candidato dovr` a produrre uno script .m per ogni esercizio.

• Tutti i files dovranno essere salvati nella cartella di default di Matlab. Per essere sicuri di non incorrere in problemi, si invita a salvare frequentemente il proprio lavoro e a NON cambiare mai cartella.

• NON bisogna salvare i files con nome e cognome, ma con il nome scritto nella consegna degli esercizi.

• Il candidato dovr` a inserire all’inizio di ogni file un’intestazione con nome, cognome numero di matricola e numero di postazione (tipicamente indicata sul monitor del computer).

• Commentare bene gli scripts usando il comando %.

• Al termine della prova lasciare tutti i files nella propria cartella home.

• Vietato usare libri, appunti e naturalmente il cellulare.

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ESERCIZI

1. Sia dato il sistema lineare Ax = b, dove x = (x

, x

, x

)

, b = (b

, b

, b

)

e A ∈ R

` e definita

come 



7 7 0

1 1 − ε 4

−1 3 −9



 ,

ed ε ∈ R. Scrivere uno script chiamato Esercizio1.m che esegua le seguenti istruzioni.

(a) (vale 4/32) Fissato ε = 10

, definire la matrice A nello script. Calcolare il vettore dei termini noti b in modo tale che la soluzione esatta sia xVera = [2;5;7];.

(b) (vale 2/32) Usare la function LUgauss.m che si trova nella cartella di lavoro per trovare la fattorizzazione LU della matrice A. La chiamata alla function sar` a

[L, U] = LUgauss(A);

N.B.: la function LUgauss.m calcola la fattorizzazione LU della matrice A senza matrice di permutazione.

(c) (vale 4/32) Usando la fattorizzazione trovata al punto (b), trovare la soluzione per il sistema definito al punto (a). Denotare tale soluzione con xLUgauss. Suggerimento 1:

Dato LUx = b, si risolvono due sistemi Ly = b and Ux = y. Suggerimento 2: In Matlab i sistemi si risolvono con “\”.

(d) (vale 4/32) Ripetere il punto (b) usando la funzione Matlab lu.m chiamandola come segue [L, U, P] = lu(A);

Usando tale fattorizzazione ([L, U, P]), trovare la soluzione per il sistema definito al punto (a). Denotare tale soluzione con xLUpermut. Suggerimento: una volta calcolata la matrice di permutazione, il sistema da risolvere diventa LU x = P b.

(e) (vale 4/32) Calcolare gli errori relativi come segue ELUgauss = ||xVera − xLUgauss||

||xVera||

, ELUpermut = ||xVera − xLUpermut||

||xVera||

. Suggerimento: Usare il comando Matlab norm.

(f) (vale 6/32) Stampare i valori di ELUgauss e ELUpermut in formato esponenziale con 1 cifra prima del punto decimale e 4 cifre dopo il punto decimale. Commentare adeguatamente i risulatati ottenuti.

(g) (vale 2/32) Sebbene il sistema non sia sparso, a fini didattici, si risolva il sistema definito al punto a) con il metodo di Jacobi. Usare la function Jacobi.m presente nella cartella come:

xJ = Jacobi(A,b,x0,tol,kmax);

dove x0 = (1, 4, 8)

, tol = 1e − 06, e kmax = 100. Stampare a video il risultato.

(h) (vale 6/32) Dire se il metodo di Jacobi converge. Suggerimento: La matrice di iterazio- ne del metodo di Jacobi (vedasi Jacobi.m) viene definita come J = D

(D − A), con D=diag(diag(A)). Non usare il comando inv e utilizzare poi il comando eig per studiare la convergenza del metodo.

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