a) Si calcoli il polinomio minimo di u su Q;

21 Dicembre 2000

1. Sia ω = e

ⁱ e sia u = 2 + ω √

7.

a) Si calcoli il polinomio minimo di u su Q;

b) si scriva la base canonica di Q(u);

c) si scriva u ⁻¹ nella base canonica di Q(u).

2. Si consideri il polinomio f (x) = x ⁴ − 5x ² − 6 ∈ Q[x].

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q e si calcoli |Σ : Q|;

b) si scrivano gli elementi di Gal(Σ : Q) come permutazioni sulle radici di f (x);

c) si dica se Gal(Σ : Q) abeliano e se agisce transitivamente sulle radici di f (x).

3. Si costruisca esplicitamente un campo di ordine 9.

4. Si scomponga x ¹⁶ − 1 in irriducibili in Q[x]. Si dica se la stessa decomposizione in irriducibili

vale anche in Z ¹⁷ [x], motivando la risposta.

11 Gennaio 2001

1. Sia u = √ 3 + i √

2 ∈ C.

a) Si calcoli il polinomio minimo di u su Q( √

3) e su Q;

b) si dimostri che Q(u) = Q( √ 3, i √

2).

2. In Q[x] si consideri il polinomio f (x) = x ³ − 4.

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q e si calcoli |Σ : Q|;

b) si scrivano gli elementi di Gal(Σ : Q) come permutazioni sulle radici di f (x), e si dica a quale gruppo ´ e isomorfo Gal(Σ : Q);

c) si determinino i sottocampi propri di Σ e si dica quale di essi ´ e estensione di Galois di Q.

3. Sia F un campo di ordine 16. Si descriva il gruppo dei suoi automorfismi e il reticolo dei suoi sottocampi.

4. Si determini il polinomio ciclotomico Φ 15 (x) dopo averne calcolato il grado.

Φ 15 (x) ´ e irriducibile in Z 2 [x] ? E in Z 31 [x] ?

22 Marzo 2001

1. Si consideri il polinomio f (x) = x ⁴ − x ² − 6 ∈ Q[x].

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q e si calcoli l’ordine di Gal(Σ : Q);

b) si scrivano gli elementi di Gal(Σ : Q) come automorfismi di campo e come permutazioni sulle radici di f (x);

c) si determini il reticolo dei sottocampi di Σ.

2. Sia F un campo di ordine 625. Si dica qual ` e la dimensione di F come spazio vettoriale sul suo sottocampo primo. Si dica se F contiene un sottocampo di ordine 25, motivando la risposta.

3. a) Si scomponga x ¹² − 1 in irriducibili in Q[x] e in Z 13 [x].

b) Si dica se il polinomio f (x) = x ³ + x ² − x − 1 ∈ Z 3 [x] ` e separabile.

4. Sia u = √ 3 + √

3 ∈ C.

a) Si calcoli il polinomio minimo di u su Q;

b) si verifichi che Q(u) = Q( √

3);

c) si scriva √

3 nella base canonica di Q(u);

d) si dica se Q(u) `e estensione normale di Q, motivando la risposta.

5 Aprile 2001

1. Si determinino:

a) il gruppo di Galois del polinomio x ⁵ − 1 ∈ Q[x];

b) il campo di spezzamento Σ del polinomio x ⁵ − 2 ∈ Q[x];

c) l’ordine di Gal(Σ : Q).

2. In Q[x] si calcoli il polinomio ciclotomico Φ 10 (x) e si dica se ` e separabile.

3. a) Sia E un’estensione del campo K tale che |E : K| < ∞: si provi che, se K ` e algebricamente chiuso, allora E = K;

b) indicando con F q il campo finito di ordine q, si determini |F 256 : F 16 |;

c) si dica se F 16 ` e algebricamente chiuso, motivando la risposta.

4. Sia u = p

3 + 2 √ 3 ∈ R.

a) Si calcoli il polinomio minimo di u su Q e su R;

b) si dica se Q(u) `e estensione normale di Q motivando la risposta.

14 Giungo 2001

1. Sia u = 2i + √ 6 ∈ C.

a) Si dimostri che Q( √

6) ` e contenuto in Q(u) e si calcoli |Q(u) : Q( √ 6)|;

b) si calcoli |Q(u) : Q| e si determini il polinomio minimo di u su Q.

2. Si consideri il polinomio f (x) = x ⁴ − 10x ² − 2 ∈ Q[x].

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q;

b) si calcoli |Σ : Q( p 5 + 3 √

3)| e si deduca che Σ ∩ R = Q( p 5 + 3 √

3);

c) si calcoli l’ordine di Gal(Σ : Q);

d) si dica se Gal(Σ : Q) agisce in modo transitivo sull’insieme delle radici di f .

3. Sia F un campo di ordine 3 ¹² . Si determinino a meno di isomorfismo i sottocampi di F e se ne disegni il reticolo.

4. Si consideri il polinomio g(x) = x ⁴ − 2 ∈ Z 7 [x].

a) Si scomponga g in irriducibili in Z ⁷ [x];

b) al variare di α tra le radici di g(x) si dica se Z 7 (α) ` e estensione di Galois di Z 7 e se ne determini

il grado.

5 Luglio 2001

1. Sia u = i + √

4 ∈ C.

a) Si calcoli |Q(u) : Q|;

b) si dimostri che Q(u) ∩ R = Q( √

4).

2. Si consideri il polinomio f (x) = x ⁵ − 2x ³ − x ² + 2 ∈ Q[x].

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q e si calcoli |Σ : Q|;

b) si scrivano gli elementi di Gal(Σ : Q) come permutazioni sulle radici di f (x) e si dica a quale gruppo ` e isomorfo Gal(Σ : Q);

c) si determini il reticolo dei sottocampi di Σ;

d) si dica se l’equazione f (x) = 0 ` e risolubile per radicali e in caso affermativo se ne scrivano le soluzioni come espressioni radicali su Q.

3. Si determini il polinomio ciclotomico Φ 16 (x). Si dica se, in Z 13 [x], tale polinomio ` e separabile e se ` e completamente riducibile.

4. Si costruisca esplicitamente un campo di ordine 25 e si descriva il gruppo dei suoi automorfismi.

27 Settembre 2001

1. Considerato il polinomio x ⁴ − 5 ∈ Q[x], si determinino:

a) il campo di spezzamento Σ di x ⁴ − 5 su Q e il grado |Σ : Q|;

b) il campo di spezzamento L di x ⁴ − 5 su R e il corrispondente gruppo di Galois.

2. In Q[x] si calcoli il polinomio ciclotomico Φ 30 (x) e si dica se ` e separabile.

3. Si costruisca esplicitamente un campo di ordine 8. Si descriva il gruppo dei suoi automorfismi e si descrivano i suoi sottocampi.

4. Si consideri il numero complesso u = 1 + i √

7.

a) Si dica se Q(u) = Q(i √

7) e se Q(u) = Q( √

7), giustificando le risposte;

b) si scriva una base di Q(u) su Q.

24 Giugno 2004

1. a) Si dica se √

π ` e trascendente su Q motivando la risposta.

b) Si calcoli il polinomio minimo di u = √

3 − i su Q.

2. In Q[x] si consideri il polinomio f (x) = x ³ − 5.

a) Si determini il campo di spezzamento Σ di f (x) su Q e si calcoli |Σ : Q|;

b) si scrivano gli elementi di Gal(Σ : Q) come permutazioni sulle radici di f (x), e si dica a quale gruppo ` e isomorfo Gal(Σ : Q);

c) si determini il reticolo dei sottocampi di Σ.

3. Si costruisca esplicitamente un campo finito F di ordine 8.

a) Si dica qual ` e la caratteristica di F e qual ` e il gruppo moltiplicativo di F . b) Si scrivano esplicitamente le tabelle adittiva e moltiplicativa di F .

4. Si calcoli il polinomio ciclotomico Φ 12 . Sia ω ∈ C una radice di Φ ¹² . Determinare |Q(ω) : Q| e

dire se Q(ω) `e estensione normale di Q.