ESERCIZI 7
1. Discutere i seguenti due esempi tratti dal libro Ricerca con R - Metodi di inferenza statistica di R. Micciolo, G. Espa e L. Canal, edito da Apogeo nel 2013.
Esempio 1.3
Una societ`a che distribuisce giocattoli attraverso oltre 1000 negozi al dettaglio, nel pianificare i livelli di produzione per la prossima stagione invernale deve decidere quante unit`a di ciascun prodotto realizzare prima di conoscere la domanda effettiva di ciascun negozio al dettaglio. Per un nuovo giocattolo, il responsabile del marketing della societ`a si aspetta che la domanda sia, in media, di 40 unit`a per negozio. Prima di prendere la decisione finale sui livelli di produzione in base a questa congettura, la societ`a svolge una indagine campionaria su 25 negozi al dettaglio per raccogliere informazioni sulla domanda del nuovo giocattolo. A ciascun negozio sono state fornite informazioni sulle caratteristiche del nuovo giocattolo insieme al costo e al prezzo di vendita suggerito. E stato poi chiesto a ciascun negozio di effettuare un ordine. Gli ordini` effettuati dai 25 negozi sono stati i seguenti: 26, 23, 32, 47, 45, 31, 47, 59, 21, 52, 45, 53, 34, 45, 39, 52, 52, 22, 22, 33, 21, 34, 42, 30, 28. I risultati di questa indagine si possono considerare in linea con l’aspettativa del responsabile marketing della societ`a? (Anderson, Sweeney, Williams, 2011).
Esempio 1.4
I produttori di bibite dietetiche utilizzano dolcificanti artificiali al posto dello zucchero. Queste sostanze perdono gradualmente la loro capacit`a dolcificante e, prima di immettere le bibite sul mercato, i produttori misurano tale perdita di dolcezza facendole provare appena prodotte e a un mese di distanza, ad alcuni assaggiatori professionisti. I dati che seguono si riferiscono alla perdita di dolcezza indicata da 10 assaggiatori professionisti: 2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3 (un numero positivo indica una perdita di dolcezza; maggiore `e il numero riportato dallassaggiatore, maggiore sar`a la perdita di dolcezza). Supponendo che per la bibita in parola la perdita di dolcezza si distribuisca in modo normale con σ = 1, i dati campionari costituiscono una evidenza che la bibita da mettere in commercio perde dolcezza? (Moore, 2005).
Esempio 1.6
Nel 1866 Gregor Mendel pubblic`o i risultati di una serie di esperimenti effettuati incrociando piante di pisello odoroso. Il padre della genetica moderna selezion`o piante di linee pure, os- sia piante nelle quali l’autoimpollinazione produceva nuove piante con caratteristiche sempre identiche nelle generazioni successive e utilizz`o variet`a che differivano in modo dicotomico per determinati caratteri morfologici. Tra i diversi caratteri morfologici (colore e forma dei semi, colore e forma dei baccelli, posizione dei fiori e altezza della pianta) consider`o il colore dei fiori.
Incrociando piante a fiori viola con piante a fiori bianchi ottenne una prima generazione F1 di piante con fiori esclusivamente viola (smentendo l’ipotesi allora accreditata della mescolanza dei fattori ereditari). Incrociando successivamente piante della prima generazione, ottenne 929 piante di seconda generazione F2 di cui 705 presentavano fiori viola e 224 fiori bianchi. Questi risultati si possono considerare in accordo con l’ipotesi che nella generazione F2 ogni tre piante con fiori viola ce ne sia una con fiori bianchi?
2. Consideriamo un test sulla media µ di una variabile aleatoria X con distribuzione esponenziale:
H0 : µ ≥ µ0 e H1: µ < µ0
La seguente funzione estrae un campione di numerosit`a n da una variabile di media µ1 e calcola il p-value esatto e il p-value approssimato tramite la distribuzione Normale. Far eseguire la funzione per diverse scelte di n, µ0 e µ1.
pvalue_ex_appr_exp=function(n,mu0,mu1) {
lambda=1/mu1 lambda0=1/mu0 x=rexp(n,lambda)
t=(mean(x)-mu0)/(sd(x)/sqrt(n)) p_appr=pt(t,n-1)
p_ex=pgamma(sum(x),n,lambda0)
print(paste("p-value esatto:",round(p_ex,4)))
print(paste("p-value approssimato:",round(p_appr,4))) }
#### chiamata della funzione pvalue_ex_appr_exp(30,0.5,0.3)
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Commento tratto dal libro di David S. Moore Statistica di base, Seconda edizione, edito da Apogeo nel 2013, relativo all’esempio sulle bevande dolcificate
Esempio 14.2 Bevande dolcificate
(omissis)
La maggior parte dei valori sono positivi; ci`o signica che molti assaggiatori hanno riscontrato una perdita di dolcezza. Tuttavia le differenze sono piuttosto contenute e due assaggiatori hanno riscontrato addirittura un aumento del grado di dolcezza (i due punteggi negativi). La perdita media di dolcezza `e quanticabile attraverso la media campionaria: x = (2.0 + 0.4 + + 2.3)/10 = 1.02. Questi dati sono una prova evidente che la bibita perde dolcezza? Il ragionamento da fare `e il seguente. Si afferma che la popolazione abbia una certa caratteristica e si vede se i dati rappresentano una prova evidente contro questa affermazione. Nel nostro caso, vogliamo vedere se vi `e evidenza di perdita di dolcezza, per cui l’affermazione che verifichiamo `e che non ci sia perdita. In questo caso, la perdita media riscontrata nella popolazione di tutti gli assaggiatori professionisti sarebbe µ = 0.
Se l’affermazione µ = 0 fosse vera, la distribuzione campionaria della media X relativa a campioni di 10 assaggiatori sarebbe Normale con media µ = 0 e deviazione standard pari a: 1/√
10 = 0.316, rappresentata in Figura. Osservando dove cade la media x ottenuta nel nostro campione possiamo valutare se il risultato ottenuto sia sorprendente oppure no.
Supponiamo che 10 assaggiatori diano una perdita media di dolcezza pari a x = 0.3. Dalla Figura notiamo che un valore x di questo genere non `e incompatibile con una distribuzione di media µ = 0. Il fatto di avere osservato una media x = 0.3 non rappresenta una prova evidente che ci sia perdita di dolcezza della bevanda. In realt`a, la media osservata
`
e x = 1.02. Questo valore `e molto lontano dal centro della distribuzione, cos`ı lontano che raramente si osserverebbe un valore ancora pi`u grande se la media µ della popolazione fosse pari a 0. Il valore osservato `e pertanto una prova evidente che la vera media µ della popolazione `e pi`u
grande di 0, ovvero che la bevanda ha perso dolcezza. 00 0.3 1.02 In questo caso il produttore deve riformulare la ricetta della bevanda in modo da evitare questo in- conveniente.
La verifica delle ipotesi
Per eseguire un test statistico dobbiamo innanzitutto definire attentamente le affermazioni che vogliamo confrontare. NellEsempio, ci si chiede se i punteggi assegnati dagli assaggiatori sono com- patibili con l’assenza di perdita di dolcezza. Poich´e la logica dei test si basa sulla ricerca di evidenze sperimentali contro una certa affermazione, bisogna prima individuare l’affermazione contro la quale cerchiamo una prova evidente.
L’ipotesi nulla dice che mediamente, in una popolazione numerosa di assaggiatori, “non c’`e perdita di dolcezza”. L’ipotesi alternativa invece afferma che “c’`e una perdita di dolcezza”. Il sistema delle due ipotesi pu`o essere pertanto riassunto cos`ı: H0 : µ = 0 H1 : µ > 0. Le ipotesi si riferiscono sempre a popolazioni oppure a modelli teorici e non a risultati particolari. Bisogna quindi sempre ricordarsi di definire le ipotesi H0 e H1 in base ai parametri della popolazione. Generalmente `e pi`u facile iniziare a definire le ipotesi partendo da H1, visto che rappresenta l’ipotesi per cui cerchiamo evidenza a favore. In alcuni casi, per`o, potrebbe non essere immediato stabilire se l’ipotesi H1 debba essere unilaterale o bilaterale. L’ipotesi alternativa H1 : > 0 dell’Esempio `e un’ipotesi unilaterale.
Infatti siamo interessati a verificare solo la presenza di una perdita di dolcezza della bevanda.
Il p-value
I 10 assaggiatori hanno trovato una perdita media di dolcezza pari a x = 1.02. Questo valore
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e piuttosto lontano dall’ipotesi H0 : µ = 0. Con un’ipotesi alternativa H1 : µ > 0, il p-value del valore osservato nel campione `e la probabilit`a sotto H0 (cio`e quando H0 `e vera) che X assuma valori tanto grandi o pi`u grandi di quello osservato. La direzione dell’ipotesi alternativa dice se i valori di X contrari all’ipotesi nulla sono quelli positivi o quelli negativi. Se l’alternativa `e bilaterale valori di X elevati, sia negativi che positivi, forniscono dell’evidenza contro H0.
pv=1-pnorm(1.02,0,(1/sqrt(10)));pv [1] 0.0006287132
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