Rappresentazione di Rappresentazione di grafici in carta grafici in carta semilogaritmica semilogaritmica

(1)

(2)

Rappresentazione di Rappresentazione di

grafici in carta

semilogaritmica

(3)

RAPPRESENTAZIONE DI MISURE

Consideriamo un esempio.

Nelle misure di corrente in funzione del tempo, otteniamo la seguente tabella:

carta millimetrata

I [A]

(4)

In questo caso l’andamento è esponenziale del tipo:

I –I₀ = K exp(-t/)

Si può scrivere allora: ln(I-I₀) = ln(K) – t/

y = q + p x con p = -1/

Abbiamo ottenuto una relazione lineare ...

Invece di fare il ln usiamo la scala logaritmica sull’asse y riportando solo l’argomento del ln =>

siccome la scala è logaritmica, abbiamo lo stesso andamento.

(5)

carta semi-logaritmica

cosa mi tocca vedere pur di non calcolare

i logaritmi ...

(6)

simbolo della grandezza con unità di misura !!!

la scala verticale non può essere modificata che per multipli di 10^n

simbolo della grandezza con unità di misura !!!

(I-I₀)/(1A)

t(s)

100 200 300 400 500

1 10

0.1

I [A]

(7)

t(s)

100 200 300 400 500

1 10

ln (I-I₀) =ln (k) – t/

      _-₁

1 2

0 1 0

2 0.0104s

550 300 ln 550

30 1 . ln 0

t t

I I ln I

I

p ln    



 





 



 

I₀ = 16 A

0.1

(0 s,30)

(I-I₀)/(1A)

I [A]

(550 s,0.1)

(8)



Si calcola anche la retta di regressione con i Si calcola anche la retta di regressione con i minimi quadrati

minimi quadrati



Le variabili y Le variabili y

i_i

sono ln(I sono ln(I

i_i

– I – I

0₀

) che in questo ) che in questo caso devono essere calcolati

caso devono essere calcolati



Si può così ricavare p, q, Si può così ricavare p, q,  

_p_p

,  , 

_q_q

Es: Es:



N. B. la scala non è ln ma log => viene N. B. la scala non è ln ma log => viene comunque una retta … p cambia …

comunque una retta … p cambia …

   

 

2 N

q pt

I I

ln

i

i 2 0

2 i

y 











(9)

carta semilogaritmica

INCERTEZZE

Supponiamo di graficare la funzione y=2ⁿ con una stessa incertezza di +1 nella y:

ln y = n ln 2

n y 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128

(10)

y

n

1 2 3 4 5

10 100

ln y=n ln2

n y 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128

1

6 7

Le incertezze maggiori sono quelle con valori di y più bassi

Il logaritmo “schiaccia” di meno i valori più bassi Il logaritmo “schiaccia” di meno i valori più bassi

(11)

 I punti più bassi sembrano risultare più “sparsi” di I punti più bassi sembrano risultare più “sparsi” di quelli in alto e le incertezze non sono simmetriche quelli in alto e le incertezze non sono simmetriche perché sopra sono più schiacciate di sotto

perché sopra sono più schiacciate di sotto

 Nel disegnare la retta i punti più in alto sono quelli Nel disegnare la retta i punti più in alto sono quelli che vanno meglio

che vanno meglio

 Nota l’incertezza di y, quando faccio il ln (y), Nota l’incertezza di y, quando faccio il ln (y), l’incertezza cambia:

l’incertezza cambia: (ln y)=(ln y)=(y)/y.(y)/y.

 Anche se parto con le stesse incertezze sulla Anche se parto con le stesse incertezze sulla variabile misurata, trovo in ordinate incertezze variabile misurata, trovo in ordinate incertezze diverse

diverse

 Hp: le incertezze su una decade variano di molto Hp: le incertezze su una decade variano di molto poco =>

poco =>

   

 

2 N

q pt

I I

i ln 2

i 0

2 i

y 





 





(12)

Consideriamo il seguente esercizio:

cerchiamo la relazione fra V e P nella misura di una resistenza

V (V) P(W)

9,94 0,051

19,86 0,199

30,07 0,444

39,8 0,769

50,1 1,197

59,9 1,792

70,1 2,36

80,5 3,17

(13)

V (V) P(W) 9,94 0,051 19,86 0,199 30,07 0,444 39,8 0,769 50,1 1,197 59,9 1,792 70,1 2,36 80,5 3,17

80 V(V)

70 60 50 40 30 20 10

0 P(W)

0 1 2 3 4

V = √ (P R)

(14)

V (V) P(W) 9,94 0,051 19,86 0,199 30,07 0,444 39,8 0,769 50,1 1,197 59,9 1,792 70,1 2,36 80,5 3,17

Sembra che l’andamento sia parabolico.

Più in generale può essere una potenza:

Y = b X^a

Si può scrivere: log(Y) = log(b) + a log(X) cioè una relazione lineare fra i logaritmi...

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Tutto chiaro?

Buona giornata …