Harnack inequalities for hypoelliptic evolution operators: geometric issues and applications

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OPERATORS: GEOMETRIC ISSUES AND APPLICATIONS DISUGUAGLIANZE DI HARNACK PER OPERATORI DI EVOLUZIONE IPOELLITTICI: ASPETTI GEOMETRICI ED

APPLICAZIONI

SERGIO POLIDORO

Sommario. Consideriamo Equazioni alle Derivate Parziali lineari del secondo ordine in forma di “somma di quatrati di campi vettoriali di Hörmander più un termine di drift” in un dominio assegnato. Dimostriamo che una disuguaglianza di Harnack vale in ogni sottoinsieme compatto dell’insieme raggiungibile definito in termini dei compi vettoria-li considerati. Appvettoria-lichiamo quindi le disuguagvettoria-lianze di Harnack per dimostrare stime asintotiche dal basso per la densità congiunta di un’ampia classe di processi stocasti-ci. Analoghe stime dall’alto per la densità sono dimostrate per mezzo del Calcolo di Malliavin.

Abstract. We consider linear second order Partial Differentia Equations in the form of “sum of squares of H¨ormander’s vector fields plus a drift term” on a given domain. We prove that a Harnack inequality holds for every compact subset of the interior of the attainable set defined in terms of the vector fields considered. We then apply the Harnack’s inequalities to prove asymptotic lower bounds of the joint density of a wide class of stochastic processes. Analogous upper bounds for the density are proved by Mallilavin’s calculus.

2010 MSC. Primary 35H10, 60J60; Secondary 31C05, 60H07.

Keywords. Hypoelliptic Equations, Harnack Inequality, Potential Theory, Malliavin Calculus

Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, Vol. 1 (2012) pp. 1–12 Department of Mathematics, University of Bologna.

ISSN 2240-2829.

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1. Introduzione

In questa nota vengono presentati alcuni risultati ottenuti nel corso di uno studio svol-to in collaborazione con Chiara Cinti, dell’Università di Bologna, e con Kaj Nyström, dell’Università di Uppsala [8], successivamente proseguito nel lavoro [7], in collaborazio-ne con Chiara Cinti e Stéphane Menozzi, dell’Università di Evry. Abbiamo dimostrato disuguaglianze di Harnack per una classe di equazioni degeneri della forma seguente

(1) L = m X j=1 X_j2(x, t) + X0(x, t) − ∂t dove (x, t) ∈ RN _{× R, 1 ≤ m ≤ N, i campi X}

0, . . . , Xm sono della forma

Xj(x, t) = N X i=1 aij(x, t)∂xi, aij ∈ C ∞ (RN +1), j = 0, . . . , m, e verificano la condizione di H¨ormander

(2) rank Lie(X1, . . . , Xm, X0− ∂t)(x, t) = N + 1, ∀(x, t) ∈ RN +1.

In questi lavori abbiamo cercato di rispondere alla seguente domanda: dato un aperto Ω di RN +1 ed un punto z0 = (x0, y0) ∈ Ω, per quali insiemi K ⊂ Ω `e possibile trovare una

costante positiva CK tale che:

(3) sup

K

u ≤ CKu(z0) per ogni soluzione u ≥ 0 di L u = 0 in Ω?

La caratterizzazione geometrica dei compatti K per cui vale la (3) ci ha dapprima per-messo di dimostrare una disuguaglianza di Harnack alla frontiera e, successivamente, di dimostrare stime puntuali della densit`a di alcuni processi stocastici per i quali erano no-ti in precedenza solamente risultano-ti parziali. Il risultato del primo lavoro [8] riguarda l’equazione di Kolmogorov (4) K = m X j=1 ∂_x2 j+ N X 1i,j=1 bi,jxi∂xj − ∂t

e le sue versioni a coefficienti Hölderiani. Per tali operatori è già nota una disuguaglianza di Harnack del tipo (3), dove però l’insieme K è un piccolo intorno di un punto che giace sulla traiettoria di drift che parte dal punto z0(si vedano i lavori di Kupcov, [13, 14, 15, 16],

(3)

disuguaglianza (3) e l’invarianza dell’operatore di Kolmogorov rispetto alle traslazioni del gruppo di Lie definito da

(5) (x, t) ◦ (ξ, τ ) = ξ + exp −τ BT x, t + τ , _{(x, t), (ξ, τ ) ∈ R}N +1,

sono gli unici ingredienti del lavoro [8] (in (5) la matrice B = (bi,j)_i,j=1,...,N `e costituita dai

coefficienti dell’equazione in (4)). Il metodo della dimostrazione si basa sulla costruzione di catene di Harnack lungo i cammini ammissibili definiti come segue. Diciamo che il cammino γ : [0, T ] → RN +1 `e L -ammissibile se `e assolutamente continuo e soddisfa (6) γ0(s) =

m

X

j=1

ωj(s)Xj(γ(s)) + µ(s)Y (γ(s)), per quasi ogni s ∈ [0, T ],

dove Y = X0 − ∂t, ω = (ω1, . . . , ωm) ∈ L2([0, T ], Rm), e µ `e una funzione misurabile

strettamente positiva. Diciamo che γ connette z0 a z se verifica (6) e vale γ(0) = z0 e

γ(T ) = z. Il problema dell’esistenza di cammini ammissibili è un classico problema di controllabilità, la condizione di Hörmander per l’equazione di Kolmogorov è equivalente alla condizione di controllabilità di Kalman :

(7) rank C, BTC, . . . , (BT)N −1C = N

(si veda [18], Theorem 5, p. 81). Qui C = (ci,j) `e la matrice costante N × m tale che

ci,j = 1 se i = j ∈1, . . . , m , ci,j = 0 altrimenti. Poniamo

(8) Az0(Ω) =z ∈ Ω | esiste γ : [0, T ] → ΩL -ammissibile che connette z0 a z ,

e definiamo Az0 = Az0(Ω) = Az0(Ω) chiusura in R

N +1 _{di A}

z0(Ω). L’insieme Az0 sar`a

chiamato insieme raggiungibile da z0. Il principale risultato del lavoro [8] `e il seguente

Teorema 1.1. (Theorem 2.4 in [8]). Sia K un operatore di Kolmogorov che soddisfa la condizione di H¨_{ormander. Sia Ω un aperto di R}N +1 e sia z0 ∈ Ω. Per ogni compatto H ⊆

Int(Az0), esiste una costante positiva CH, che dipende solo da Ω, z0, H e dall’operatore

K , tale che

sup

H

u ≤ CHu(z0),

(4)

2. Processi stocastici

Nel lavoro [7], con Chiara Cinti e St´ephane Menozzi, viene applicata una disuguaglianza di Harnack per dimostrare stime asintotiche dal basso per la densit`a di alcuni processi stocastici. L’analoga stima dall’alto viene dimostrata nello stesso lavoro per mezzo di tecniche probabilistiche basate sul Calcolo di Malliavin. Ci siamo concentrati su due esempi modello:

(9) X_ti = xi+ Wti, i = 1, . . . , n, Yt= y +

Z t 0

|Xs|kds,

dove Xs = (Xs1, . . . , Xsn), k `e un qualunque numero naturale pari e | · | denota la norma

euclidea di un vettore di Rn. Il secondo esempio di processo stocastico considerato `e (10) X_ti = xi+ Wti, i = 1, . . . , n, Yt= y + Z t 0 n X i=1 (X_si)kds,

per un qualunque fissato k naturale. La densit`a p del processo (Xt, Yt) in (9) soddisfa

l’equazione di Kolmogorov

(11) 1₂∆xp(x, y, t) + |x|k∂yp(x, y, t) = ∂tp(x, y, t)

mentre la densit`a di (Xt, Yt) in (10) soddisfa l’equazione

(12) 1₂∆xp(x, y, t) + n

X

i=1

xk_i∂yp(x, y, t) = ∂tp(x, y, t).

Osserviamo che la densità p del processo soluzione di (9) (rispettivamente: di (10)) è la soluzione fondamentale dell’operatore in (11) (rispettivamente: in (12)) con singolarità nell’origine e che, in entrambi i casi, per k pari, il supporto di p(·, ·, t) è il semispazio y ≥ 0 .

I processi stocastici (9) e (10) sono stati studiati da diversi autori, ma i risultati noti sono ancora poco soddisfacenti. Una formula di rappresentazione del processo (Xt, Yt) per

k = 2 ed n = 1 `e stata trovata da Kac per mezzo della trasformata di Laplace [12]. Nella monografia di Borodin e Salminen [5] si trova una formula di rappresentazione in termini di funzioni speciali. Analoghi risultati sono stati provati da Tolmatz [22] relativamente alla densit`a del ponte Browniano precedentemente caratterizzato in un lavoro di Smirnov [21]. Le tecniche dei lavori appena citati, tuttavia, si basano pesantemente sulla risoluzione di

(5)

problemi di tipo Liouville e non sembra che si possano estendere facilmente al caso di dimensione n > 1. Inoltre non sembra facile dedurre stime puntuali della densit`a dalle formule di [5].

Il principale risultato del lavoro [7] `e contenuto nel seguente enunciato:

Teorema 2.1. Fissate n, k ∈ N, e T > 0, esistono due costanti C ≥ 1, c ∈]0, 1], per cui valgono le seguenti stime per le soluzioni fondamentali di entrambe le equazioni (11) e (12). Per ogni t, ∈ (0, T ], y ∈ R, (ξ, η) ∈ Rn+1_{, con η > y se k `}_{e pari, si ha:}

i) se _t|y−η|k/2+1 `e sufficientemente grande, allora:

C−1 tn+k2 +1 exp− cI(0, y, ξ, η, t)≤ p(0, y, ξ, η, t) ≤ C tn+k2 +1 exp− c−1I(0, y, ξ, η, t), I(0, y, ξ, η, t) := |ξ| 2 t + |y − η|2/k t1+2/k ; (13) ii) se x 6= 0 e |x|√

t `e sufficientemente grande, allora:

C−1 |x|k−1_tn+3₂ exp − cI(x, y, ξ, η, t)≤ p(x, y, ξ, η, t) ≤ C |x|k−1_tn+3₂ exp − c−1I(x, y, ξ, η, t), I(x, y, ξ, η, t) := |x − ξ| 2 t + |y − η − Ψ(x)|2/k |x|2(k−1)_t3 , (14)

dove Ψ(x) = |x|k _{per l’equazione (9), Ψ(x) =}Pn

i=1(xi)k per l’equazione (10);

iii) se _t|y−η|k/2+1 `e sufficientemente piccolo, allora:

C−1 tn+k2 +1 exp− cI(x, y, ξ, η, t)≤ p(x, y, ξ, η, t) ≤ C tn+k2 +1 exp− c−1I(x, y, ξ, η, t), I(x, y, ξ, η, t) := |x| 2+k_{+ |ξ|}2+k |y − η| + t1+2/k |y − η|2/k. (15)

Concludo questa introduzione con alcune osservazioni relative al Teorema 2.1. Le sti-me asintotiche dall’alto e le stisti-me diagonali, che producono il termine 1

|x|k−1_tn+32

nel se-condo punto del precedente teorema e 1

tn+k2 +1

negli altri punti, sono state ottenute per mezzo di tecniche basate sul Calcolo di Malliavin. In particolare, le stime diagonali so-no confrontabili con quelle provateda Ben Arous e L´eandre [3] per processi della forma X1 t = x1+ Wt1, Xt2 = x2+ Rt 0(X 1 s)mdWs2+ Rt 0(X 1 s)kds.

Le stime dal basso sono invece state ottenute con un metodo basato sulla costruzione di Catene di Harnack, introdotto da Aronson [1] nello studio di equazioni paraboliche

(6)

ed utilizzato da vari autori anche per lo studio di operatori degeneri [23], [19], [10], [6]. La Teoria del Potenziale ci ha fornito disuguaglianze di Harnack utili alla costruzione di catene di Harnack per gli operatori (11) ed (12). L’invarianza degli operatori rispetto ad una famiglia di traslazioni ha un ruolo importante nella dimostrazione delle stime asintotiche. Gli operatori (11) ed (12) non possono essere invarianti per traslazioni se k > 1, in quanto l’algebra di Lie calcolata in (x, y) = (0, 0) non `e isomorfa all’algebra di Lie calcolata in un qualunque punto dello spazio (x, y) con x 6= 0. Questo problema pu`o essere risolto per mezzo della procedura di Lifting introdotta da Rothschild e Stein [20]. Nel caso k = 2 `_{e sufficiente aggiungere la variabile w ∈ R}n e considerare l’operatore

f L = 1 2∆x+ |x| 2 ∂y+ n X i=1 xi∂wi− ∂t.

Una procedura semplice permette di calcolare esplicitamente la legge di gruppo ◦: (x, y, , w, t) ◦ (ξ, η, ω, τ ) = (x + ξ, y + η + 2hx, ωi − τ |x|2, w + ω − τ x, t + τ ), e le relative dilatazioni eδλ:

e

δλ(x, y, t) = (λx, λ4y, λ3w, λ2t)

(si veda [5, Capitolo 1]). Nel caso pi`u generale k > 2 ci basiamo su un risultato di Bonfiglioli e Lanconelli [4], che garantisce l’esistenza di una struttura di gruppo di Lie.

3. Teoria del Potenziale

Introduciamo alcune notazioni della Teoria del Potenziale e una disuguaglianza di Har-nack astratta. Successivamente forniamo una descrizione geometrica degli insiemi in cui vale una disuguaglianza di Harnack per le soluzioni positive di L u = 0.

Sia Ω un aperto di RN +1_{. Se u : Ω → R `e una soluzione regolare di L u = 0 in}

Ω, diciamo che u `e L -armonica in Ω. Denotiamo con H (Ω) l’insieme delle funzioni L -armoniche su Ω.

Sia V un aperto limitato di RN +1 _{con frontiera Lipschitziana. Diciamo che V `}_e _L

-regolare se, per ogni z0 ∈ ∂V , esiste un intorno U di z0 e una funzione regolare w : U → R

che soddisfa

(7)

Si noti che la funzione ψ(x, t) = 1₂ +_π1 arctan(t) verifica 0 ≤ ψ ≤ 1, L ψ < 0 in RN +1. Di conseguenza, per il principio del massimo di Picone si ha che, se

L u ≥ 0 in Ω, lim sup

z→ζ

u(z) ≤ 0 per ogni ζ ∈ ∂Ω,

allora u ≤ 0 in Ω. Pertanto, per ogni aperto limitato V ⊂ RN +1_{, che sia} _{L -regolare e per}

ogni ϕ ∈ C(∂V ) esiste un’unica funzione H_ϕV che soddisfa

(16) H_ϕV ∈H (V ), lim

z→ζH V

ϕ(z) = ϕ(ζ) per ogni ζ ∈ ∂V.

Inoltre, HV

ϕ(z) ≥ 0 per ogni ϕ ≥ 0. Di conseguenza, se V `e L -regolare, per ogni fissato

z ∈ V l’applicazione ϕ 7→ H_ϕV(z) definisce un funzionale lineare e positivo su C(∂V ). Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste quindi una misura di Radon µV

z, con

supporto in ∂V , tale che

(17) H_ϕV(z) =

Z

∂V

ϕ(ζ)dµV_z(ζ), per ogni ϕ ∈ C(∂V ). La misura µV_z viene detta misura L -armonica.

Sia ora Ω ⊂ RN +1 _{un insieme aperto. Un sottoinsieme chiuso F di Ω si dice insieme}

assorbente se, per ogni z ∈ F e per ogni intorno L -regolare V ⊂ V ⊂ Ω di z, si ha µV

z(∂V \F ) = 0. Per ogni dato z0 ∈ Ω poniamo

Fz0 =F ⊂ Ω : F 3 z0, F `e un insieme assorbente . Si denota con (18) Ωz0 = \ F ∈F_z0 F

il pi`u piccolo insieme assorbente contenente z0. La Teoria del Potenziale fornisce la

se-guente versione astratta della disuguaglianza di Harnack. Sia (RN +1_,H ) uno spazio

B-armonico, sia Ω un insieme aperto di RN +1 _{e sia z}

0 ∈ Ω. Allora, per ogni compatto

K ⊂ Int(Ωz0) esiste una costante positiva CK che dipende solamente da Ω, K, z0 tale che

(19) sup

K

(8)

(Si veda il Teorema 1.4.4 in [2] e la Proposizione 6.1.5 in [9]). Poich´e l’insieme delle funzioni L -armoniche costituisce uno spazio B-armonico, il risultato enunciato in (19) fornisce una disuguaglianza di Harnack per le soluzioni di L u = 0. Il seguente lemma costituisce una caratterizzazione geometrica degli insiemi per i quali vale una disuguaglianza di Harnack. Lemma 3.1. SiaL un operatore ipoellittico della forma (1), sia Ω un sottoinsieme aperto di RN +1_{e sia z}

0 ∈ Ω. Allora Az0 ⊆ Ωz0.

Dim. Poiché Ωz0 è un insieme chiuso e poichéAz0 è la chiusura dell’insieme Az0 definito in

(8), `e sufficiente mostrare che Az0 ⊆ Ωz0. Supponiamo per assurdo che esista z ∈ Az0\Ωz0.

Allora esiste un cammino L -ammissibile γ : [0, T ] → Ω tale che γ(0) = z0, γ(T ) = z.

Poniamo

t1 := inft > 0 : γ(]t, T ]) ∩ Ωz0 = ∅ .

Notiamo che, essendo γ una curva continua ed essendo Ω\Ωz0 un insieme aperto, la

definizione di t1 ∈ [0, T [ `e ben posta e risulta γ(t) 6∈ Ωz0 per ogni t ∈]t1, T ]. Ancora dalla

continuit`a di γ segue z1 := γ(t1) ∈ Ωz0. Sia ora V ⊂ V ⊂ Ω un intorno L -regolare di

z1 con ¯z 6∈ V . Sempre grazie alla continuit`a di γ, possiamo trovare t2 ∈]t1, T [ tale che

γ([t1, t2[) ⊂ V e che z2 := γ(t2) ∈ ∂V . Consideriamo ora un qualunque intorno W di

z2, tale che W ⊆ Ω\Ωz0. Sia ϕ ∈ C(∂V ) una funzione non-negativa, con supporto in

W ∩ ∂V , e tale che ϕ(z2) > 0. Per il principio del minimo la funzione HϕV `e non-negativa.

Mostriamo ora che

(20) H_ϕV(z1) > 0.

Se, per assurdo, fosse HV

ϕ(z1) = 0, allora per il principio del minimo di Bony si avrebbe

H_ϕV ≡ 0 in γ([t1, t2[), quindi

ϕ(z2) = lim t→t−₂

H_ϕV(γ(t)) = 0.

Questa contraddizione dimostra (20). Utilizzando la formula (17) si trova pertanto (21) H_ϕV(z1) =

Z

∂V ∩W

(9)

o, in altri termini, che µV_z₁(∂V ∩W ) > 0. D’altra parte z1appartiene all’insieme assorbente

Ωz0, quindi µ

V

z1(∂V \Ωz0) = 0. Poich´e W ⊆ Ω\Ωz0, le ultime due affermazioni sono in

contraddizione. questo conclude la prova del Lemma.

Corollario 3.1. Sia L un operatore ipoellittico della forma (1), sia Ω un aperto di RN +1 e sia z0 ∈ Ω. Allora per ogni K sottoinsieme compatto di Int(Az0) esiste una costante

positiva CK che dipende solamente da Ω, K, z0, tale che

sup

K

u ≤ CKu(z0),

per ogni soluzione positiva u di L u = 0 in Ω.

Il precedente Corollario 3.1 restituisce il risultato gi`a dimostrato in [8] per l’equazione di Kolmogorov k = 1. Per k = 2 si ha che, se consideriamo l’insieme Ω =] − 1, 1[n_{×] −}

1, 1[×] − 1, 1[n×] − 1, 1[ e il punto z0 = (0, 0, 0, 0) allora risulta

Az0 =(x, y, w, t) ∈ Ω | 0 ≤ y ≤ −t, |w|

2 _{≤ −ty ,}

E’ inoltre facile verificare che si ha in effetti Ωz0 =Az0. Infatti la Teoria del Potenziale ci

permette di costruire una soluzione di L u = 0 nulla in Az0, ma strettamente positiva in

Ω\Az0, che fornisce un immediato controesempio alla disuguaglianza di Harnack.

Va notato che, a differenza di quanto accade per gli operatori che devono le loro pro-prietà di regolarità prevalentemente alla parte del II ordine e non alla presenza del termine di drift, nel precedente esempio si verifica che il compatto K si trova in una posizione asimmetrica rispetto al dominio considerato. Questo fatto porta ad alcune nuove difficoltà tecniche ed è responsabile di alcuni aspetti tipici delle stime che abbiamo dimostrato.

Concludo questa presentazione enunciando le stime dal basso per le soluzioni positive di (11) per il caso k = 2. Tali stime sono alla base della dimostrazione delle stime dal basso della soluzione fondamentale contenute nel Teorema 2.1. Per gli ulteriori dettagli della dimostrazione rimando al lavoro [7].

Sia u : Rn+1_×]T

1, T2[→ R una soluzione non-negativa di L u = 0 e siano t, τ ∈ R tali

che T1 < τ < t < T2, e t − τ ≤ 2(τ − T1). Esiste allora una costante C1, che dipende solo

(10)

i) per ogni (x, y, t), (ξ, η, τ ) ∈ Rn+2 tali che η − y > (t − τ ) |x|2 + |ξ|2 + (t − τ )2 e t > τ si ha: u(ξ, η, τ ) ≤ exp C1 |x − ξ|2 t − τ + η − y (t − τ )2 + 1 u(x, y, t);

ii) per ogni (x, y, t), (ξ, η, τ ) ∈ Rn+2 tali che 0 < η − y ≤ t−τ₆ |x|2 _{+ |ξ|}2₊ (t−τ )2

12 e t > τ si ha: u(ξ, η, τ ) ≤ exp C1 |x|4_{+ |ξ|}4_{+ (t − τ )}2 η − y + 1 u(x, y, t).

Come ho detto in precedenza, per dimostrare le stime appena enunciate non è necessario conoscere esplicitamente le traslazioni rispetto a cui l’operatore è invariante. Questo fatto ci ha permesso di rendere il nostro risultato più generale, potendo considerare qualunque esponente k ∈ N. Per rendere la dimostrazione del tutto indipendente dalla conoscenza esplicita delle operazioni, abbiamo dovuto superare anche la difficoltà di dover individuare la parte interna dell’insiemeAz0. A tal fine, abbiamo considerato il differenziale della end

point map E(ω, η) che ad ogni funzione (ω, η) ∈ L2_{([0, T ], R}m+1_{), con η(t) > 0 per quasi}

ogni t ∈ [0, T ], fa corrispondere il punto finale γ(T ) della soluzione di (6) tale che γ(0) = z0.

Un risultato generale della teoria del controllo fornisce semplici condizioni sufficienti per la suriettivit`a del differenziale di E. Questo risultato ci permette di individuare facilmente alcuni punti interni di Az0 e, pertanto, di poter applicare la disuguaglianza di Harnack

anche senza una caratterizzazione esplicita dell’insieme Az0.

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Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche, via Campi 213/b, 41125, Modena.