• Determinazione del numero di atomi vs – detuning.

Capitolo 3

Caratterizzazione della MOT

Quello che vogliamo realizzare `e un fascio atomico dotato del maggior flusso pos- sibile. Un flusso elevato porta, infatti, due vantaggi: consente di impressionare il campione in tempi pi` u brevi, e riduce di conseguenza le difficolt`a legate alla instabilit`a del sistema, nel corso del processo di deposizione. In effetti questo `e di cruciale importanza, giacch´e minore `e il tempo di lavoro necessario al depos- ito, pi` u semplice `e mantenere stabile e ben funzionante l’ apparato.

Per realizzare un fascio atomico con flusso elevato, possiamo agire su diversi parametri, quali l’allineamento dei fasci laser di collimazione e la disposizione dei campi magnetici dell’ apparato; ma prima di tutto `e essenziale che la sor- gente di Cesio utilizzata, per creare poi il fascio atomico, sia il pi` u abbondante possibile. Negli esperimenti con fasci termici non sussiste questo problema, dal momento che si dispone di un forno per generare la specie atomica da manipo- lare, e questo `e in grado di produrre un numero di atomi elevato senza alcuna difficolt`a. Nel nostro caso, invece, la sorgente di Cesio `e una MOT, che `e un sistema molto pi` u complesso da far operare efficientemente. Una volta messo a punto l’ apparato, pertanto, il primo passo che abbiamo fatto `e stato caratteriz- zare la sorgente di atomi freddi in funzione dei vari parametri sperimentali, per cercare le condizioni ottimali di lavoro e per confrontarci con i risultati ottenuti in precedenza con il vecchio apparato. Le varie misure effettuate sono in mas- sima parte effettuate seguendo gli schemi descritti in [26], eccetto una misura della temperatura della MOT, del tutto nuova, che si basa sulle idee esposte in [27]. La caratterizzazione della nostra sorgente di atomi `e costituita dalle seguenti misure:

• Determinazione del numero di atomi vs – detuning.

– corrente dei dispenser.

• Determinazione del volume della MOT vs

– detuning.

– corrente dei dispenser.

• Determinazione della densit`a.

• Determinazione della temperatura vs – detuning.

Per ogni gruppo abbiamo inoltre osservato il comportamento della nube fredda al variare della intensit`a del laser di trappola e del laser di ripompa: esso `e risultato del tutto analogo a quello riportato in [26]: il numero di atomi intrappolati cresce circa linearmente all’ aumentare dell’ intensit`a del fascio di trappola (almeno entro i valori di intensit`a di cui disponiamo, che non superano i 15 mW/cm ² , corrispondenti a Ω ∼ 2.5Γ); invece esso cresce molto rapidamente al variare dell’ intensit`a del DBR fino a raggiungere un valore massimo che si mantiene costante per intensit`a di ripompa superiori ad 1 mW/cm ² : d’ altra parte questo si spiega con il fatto che la probabilit`a che un atomo decada nel livello |F = 3i (anzich´e in |F = 4i) `e all’ incirca 1/1000, per cui `e sufficiente una potenza di ripompa relativamente esigua.

L’ andamento dei campi magnetici nella zona di trappola, in tutte le misure effettuate (a meno che non sia specificato altrimenti) `e fissato ad un valore di circa 10 G/cm.

3.1 Determinazione del numero di atomi

Abbiamo effettuato una misura dei segnali di fluorescenza emessi dalla MOT,

raccolti ponendo una lente di focale f = 100mm e diametro 3.8cm frontalmente

alla piramide, ma in modo da non interrompere o tagliare i fasci laser di trappo-

la. La lente `e stata disposta ad una distanza ∼ 2f (per noi a 18 cm dalla finestra

di ingresso) dalla regione in cui si forma la MOT, in modo da avere un’ immag-

ine reale e capovolta non ingrandita della nube fredda a distanza 2f dalla lente,

punto in cui abbiamo posto un fotodiodo a grande area (0.4cm ² ) precedente-

mente calibrato (vedi figura 3.1). Abbiamo cercato di coprire il maggior angolo

solido possibile, compatibilmente con gli strumenti a nostra disposizione e con lo

spazio che ci permetteva l’ apparato stesso. L’ operazione di centrare l’ immag-

ine della MOT sulla superficie del fotodiodo `e stata difficoltosa e delicata, poich´e

il segnale di fluorescenza `e appena visibile con il viewer, ed al tempo stesso sono

presenti anche le immagini delle (quattro) riflessioni della nube sulle facce della

piramide. Chiaramente una cattiva centratura dell’ immagine- ”tagliando” la

nube o raccogliendo anche i segnali delle sue riflessioni - pu`o falsare completa-

mente la misura della popolazione di atomi intrappolati: pertanto `e chiaro che

il montaggio della lente e del fotodiodo ed il loro allineamento ha richiesto molta

attenzione. Montato il sistema di rivelazione della fluorescenza, abbiamo osser-

vato il segnale del fotodiodo su un oscilloscopio digitale. Si `e inoltre montata

una telecamera CCD, sensibile all’ infrarosso, centrata sulla finestra di ingresso

Figura 3.1: Schema del montaggio della lente e del fotodiodo per la misura del numero di atomi della trappola.

della camera, in grado di visualizzare la nube atomica che ci serve per verificare il funzionamento corretto dell’ apparato.

Per ricavare il numero di atomi intrappolati a partire dalla potenza rive- lata dal fotodiodo, si procede cos`ı: anzitutto, ipotizzando che la nube emetta isotropicamente, la potenza totale emessa `e data da

P tot = P inc

4π

Ψ (3.1)

essendo Ψ l’ angolo solido sotteso alla lente, e P inc la potenza registrata dal fotodiodo ¹ . D’ altra parte la potenza totale emessa `e anche data da

P tot = ¯hωP N tot (3.2)

essendo ¯hω l’ energia di un fotone emesso, N tot il numero totale di atomi in- trappolati, e P la probabilit`a per unit`a di tempo per un atomo della nube di emettere. Quest’ ultima, per un atomo (inteso come un sistema a due livelli) illuminato da un’ onda e.m. di frequenza di Rabi Ω, pu`o essere calcolata come

P = Γ 2

Ω ² /2

δ ² + Γ ² /4 + Ω ² /2 (3.3)

1

In effetti sull’ oscilloscopio visualizziamo la tensione generata dal fotodiodo, che va trasfor-

mata in potenza tramite il fattore di conversione ricavato dalla calibrazione del fotodiodo che

vale 8.3µW/V .

Per il Cesio intrappolato in una MOT si deve calcolare tale probabilit`a, median- do su tutte le possibili transizioni tra i vari sottolivelli degli stati fondamentale ed eccitato, e tenendo conto della presenza dei sei fasci laser incidenti sul sis- tema. L’ espressione (approssimata) che si trova in letteratura (vedi ad esempio [18]) `e la seguente:

P = Γ 2

C ₁ ² Ω ² _tot /2

δ ² + Γ ² /4 + C 2 ² Ω ² _tot /2 (3.4) assunto che la vita media di ogni sottolivello sia uguale, essendo Ω ² _tot sei volte la frequenza di Rabi di un singolo fascio di trappola, e C 1,2 dei coefficienti che sono ottenuti da medie sui coefficienti di C. G. delle varie transizioni. Nelle analisi seguenti assumiamo che essi abbiano entrambi valori pari a C _1,2 ² = 0.73 ± 0.1, come trovato in [18]. Il numero totale di atomi si ricava, pertanto, dalla relazione

N tot = P tot

¯hω 1

P = P inc

¯hω 4π

Ψ (3.5)

La stima del numero di atomi cos`ı effettuata ha errori sperimentali elevati, per il fatto che, come detto sopra, l’ allineamento del sistema di rivelazione `e estremamente critico, e la valutazione dell’ angolo solido sotteso alla lente risulta abbastanza imprecisa, dal momento che non si sa esattamente la distanza tra lente e nuvola. Conseguentemente N tot ha un’ incertezza stimata dell’ ordine del 30%.

3.1.1 Numero di atomi vs detuning

Abbiamo fissato il valore di Ω e della corrente dei dispenser, ed abbiamo effet- tuato misure variando il disaccordo del laser di trappola, agendo sulla tensione inviata al VCO del suo AOM. Accendendo le bobine di quadrupolo abbiamo creato la nube fredda, ed osservato all’ oscilloscopio delle curve di carica della trappola: in tal modo si `e ricavata la potenza incidente sul fotodiodo, priva del valore di fondo, presente a causa della fluorescenza degli atomi di Cesio di back- ground e della luca scatterata dalla piramide, ed anche il tempo di carica della trappola (vedi figura 3.2). L’ andamento osservato in figura 3.3 `e compatibile con quello relativo a configurazioni delle MOT classiche a sei fasci con atomi di Cesio: il numero di atomi cresce circa linearmente all’ aumentare del valore assoluto del detuning, fino a raggiungere un valore massimo in corrispondenza di δ = −2Γ; quindi, aumentando ulteriormente il disaccordo del laser di trap- pola, gli atomi intrappolati diminuiscono nuovamente, fino a raggiungere circa 1/4 del valore massimo.

Una spiegazione dell’ andamento verificato pu`o essere data se consideriamo che la forza agente sugli atomi intrappolati, risultante della forza elastica e della forza frenante, conduca ad una equazione del moto dell’ atomo nella zona di trappola della forma:

M ¨ z = − 16¯hk ² A

M ˙z − 16Agµbk

M z (3.6)

0.70 0.65 0.60 0.55

Segnale (V)

15 10

5 0

Tempo (ms)

Figura 3.2: Tipico segnale rivelato all’ oscilloscopio digitale: tramite questo siamo in grado di risalire sia al tempo di carica della trappola, sia al numero di atomi intrappolati. Sovrapposto ai dati sperimentali `e presente una curva di fit esponenziale. In questa immagine i valori dei parametri sperimentali sono:

Ω = 1.9Γ; δ = −2.1Γ; (dB/dz) M OT = 8.7G/cm; P = 2 · 10 ⁻⁹ mbar.

100 80 60 40 20

Atomi(x10 6

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5

δ/Γ

Figura 3.3: Andamento del numero di atomi in funzione del disaccordo. In questa immagine i valori dei parametri sperimentali sono: Ω = 1.9Γ; δ = −2.1Γ;

(dB/dz) M OT = 8.7G/cm; P = 2 · 10 ⁻⁹ mbar.

essendo il parametro A dato da

A = − Ω ² δ

(1 + 2Ω ² + 4δ ² ) ² (3.7)

con δ e Ω espressi in Γ (vedi eq:7.2 e eq:11.6 di [15]). Notare che tale parametro va a zero sia per δ −→ 0 che per δ −→ −∞. Tale espressione spiega qualitativa- mente cosa avviene agli atomi al variare del detuning. Per bassi valori di δ un incremento del disaccordo porta ad un aumento di A (A ∝ δ), e quindi del coef- ficiente di frenamento; conseguentemente un maggior numero di atomi restano intrappolati. Raggiunto poi un valore massimo, la forza si riduce nuovamente per ulteriore aumento del detuning, e conseguentemente si registra un calo nel numero di atomi intrappolati; anche per elevati valori del detuning, infatti, il parametro A tende a zero (A ∝ 1/δ ³ ).

3.1.2 Numero di atomi vs corrente dei dispenser

La modalit`a delle misure resta quella sopra descritta: abbiamo stavolta variato la corrente che scorre nei dispenser, aumentando il Cesio termico presente nella camera: come si pu`o vedere in figura 3.4, un aumento della corrente compor- ta un aumento degli atomi intrappolati, finch´e non si ha una saturazione, che si verifica quando fenomeni collisionali tra atomi intrappolati e fondo non di- ventano dominanti, vale a dire, con riferimento a 1.42, quando f aa non risulta dominante su f o . In effetti, al momento in cui abbiamo iniziato a lavorare con il fascio atomico, `e apparso chiaro che il numero di atomi intrappolati continua a crescere con la corrente dei dispenser, fino a che essa non raggiunge i valori di 3.5-3.6 A. Dalle misure effettuate risulta chiaro che lavoriamo sempre con una MOT in regime di multiple scattering. I valori ottenuti sono confrontabili con quelli in precedenza osservati con il vecchio esperimento (vedi [26]).

3.2 Determinazione del volume della MOT

Per misurare il volume della nuvola abbiamo acquisito delle immagini con la telecamera CCD dotata di zoom ottico, 18-108 mm F=2.8, tramite Frame- Grabber. Essa `e stata montata frontalmente alla camera, ed `e stata centrata in modo tale da registrare l’ immagine della sola MOT, senza le riflessioni di quest’

ultima sulle pareti della piramide. Le immagini sono state quindi analizzate, fittando i profili con funzioni gaussiane, nelle direzioni trasverse della camera da vuoto (ˆ x ed ˆ y). Da esse abbiamo poi stimato il profilo lungo la direzione a noi preclusa, i.e. quella parallela all’ asse della camera (ˆ z). Per questo abbiamo supposto- visto che il gradiente del campo magnetico lungo ˆ z `e doppio rispetto a quello nelle altre due direzioni-che σ z ' 1/ √ 2σ x . Nell’ ipotesi di profili gaussiani la nostra MOT ha un volume:

V = (2π)

σ x σ y σ z

2 √

2 (3.8)

2.5 2.0 1.5 1.0

8 Atomi (x10 ) 0.5

3.2 3.0

2.8 2.6

2.4 2.2

Corrente dispenser (A)

Figura 3.4: Andamento del numero di atomi in funzione della corrente dei dispenser. I valori dei parametri sperimentali sono: Ω = 2.5Γ; δ = −1.7Γ;

(dB/dz) M OT = 8.7G/cm; P = 2.2 · 10 ⁻⁹ mbar.

La telecamera `e stata precedentemente calibrata, e le varie immagini acquisite sono state analizzate sottraendo di volta in volta all’ immagine contenente la MOT l’ immagine senza di essa, eliminando cos`ı il fondo.

L’ analisi delle immagini non `e per tutti i punti semplice: in effetti, guardando la figura 3.5, si vede che per valori del detuning attorno a −1.5Γ, si hanno de- formazioni e buchi.

L’ ipotesi di profili gaussiani, in questo caso, risulta inattuabile, e la stima del volume `e stata fatta sottraendo all’ immagine totale il volume occupato dai buchi, considerando sia per l’ una che per gli altri dei profili gaussiani. La ragione per cui in tale regione il volume presenta un andamento singolare, `e probabilmente legata al fatto seguente: in [18] si legge che la densit`a numerica degli atomi freddi in regime MS, `e teoricamente proporzionale al fattore: 1/(δ ² − 2Ω ² ), vedi 1.52. Ci dovremmo, pertanto, aspettare, che per δ/Γ → √ 2, la trappola ha un comportamento singolare.

Non si riportano i dati del volume in funzione del detuning, n´e tantomeno quelli in funzione della corrente dei dispenser, in quanto non sono di particolare interesse: riassumendo, il volume della nube `e pi` u o meno costante attorno ad 1mm ³ per valori del disaccordo maggiori (in valore assoluto) di 2.5Γ. Portando il disaccordo a valori pi` u bassi, invece, il volume aumenta rapidamente, fino a 3mm ³ , per poi riscendere a 1mm ³ .

Pi` u interessante, `e invece l’ andamento della densit`a in funzione del disaccordo,

che riportiamo qui di seguito.

320 300 280 260 240 220

Posizione Y (pixel)

280 260 240 220 200 180 160

140 Posizione X (pixel)

Figura 3.5: In figura `e mostrata la nube fredda in corrispondenza di un disac- cordo pari a −1.5Γ. Come si vede, essa ha una forma tutt’ altro che regolare, e questo rende difficile la valutazione del volume della MOT.

3.3 Densit` a della MOT vs detuning

Bench´e questa non sia una misura di particolare significato per i nostri scopi (in effetti, a noi interessa trovare il set di valori dei parametri sperimentali per i quali sia massimo il numero di atomi intrappolati), abbiamo combinato le mis- ure del numero di atomi e del volume della MOT per ricavare l’ andamento della densit`a in funzione del detuning. Quest’ ultima `e stata calcolata assumendo che la distribuzione degli atomi sia uniforme, all’ interno del volume calcolato con 3.8. Dal grafico in figura 3.6, si pu`o vedere che la densit`a si mantiene pressoch´e costante al variare del detuning: questo `e in netto disaccordo con l’ andamento teorico descritto in [18], in cui la dipendenza della densit`a dal detuning risul- terebbe, invece, estremamente critica. D’ altronde, sempre in [18], gli autori affermano che, negli esperimenti da loro svolti, hanno verificato una dipenden- za della densit`a dal disaccordo e dall’ intensit`a dei laser relativamente debole.

Inoltre, dalle nostre misure, appare chiaro che l’ assunzione di una densit`a uni- forme all’ interno della MOT `e estremamente brutale, mentre la distribuzione reale della densit`a `e ben approssimabile con una funzione gaussiana.

3.4 Determinazione della temperatura della MOT

Per effettuare la misura di temperatura della nube fredda abbiamo seguito il

sistema descritto in [27].

800 750 700 650 600

densità (x10

Atomi/mm

550

-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5

δ/Γ

Figura 3.6: In figura `e mostrato l’ andamento della densit`a degli atomi intrap- polati al variare del detuning del laser di trappola. I parametri sperimentali sono:Ω = 1.9Γ; I disp = 2.9A; P = 2 · 10 ⁻⁹ mbar.

Si mette in oscillazione la MOT in una direzione, creando un campo magnetico oscillante sovrapposto a quello di quadrupolo. La forza che viene ad agire sul singolo atomo intrappolato, si pu`o esprimere nella forma:

F = −kxˆx − βv + L(t) (3.9)

ˆ

x essendo la direzione della oscillazione, k essendo la costante elastica, β essendo il coefficiente di frenamento (vedi 1.33) ed L(t) la forza di carattere stocastico dovuta all’ interazione interatomica. Supponendo di poter trascurare quest’

ultima, all’ equilibrio termico si ha che

K B T = khx ² i = Mhv ² i (3.10)

Dunque `e possibile ricavare il valore di T misurando k e le dimensioni della MOT. La misura di k si effettua notando che, se il centro del campo magnetico viene messo in oscillazione con legge ∆x(t) = ξcos(ωt), gli atomi intrappolati sono forzati a compiere un moto oscillatorio, sovrapposto al moto stocastico. L’

oscillazione della nuvola `e x(t) = acos(ωt + ϕ), dove a e ϕ sono funzioni di ω.

In particolare abbiamo che:

tg(ϕ) = βω

k − Mω ² (3.11)

In particolare si noti che la fase ϕ → π/2 per ω → (k/M) ^1/2 . Misurando la fase

si pu`o dunque risalire alla temperatura.

500 400 300 200 100

Temperatura ( µ K)

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5

δ/Γ

Limite Doppler

Figura 3.7: In figura `e mostrato l’ andamento della temperatura della MOT al variare del disaccordo. I parametri sperimentali sono:Ω = 1.9Γ; I disp = 2.8A;

(dB/dz) M OT = 8.7G/cm; P = 2 · 10 ⁻⁹ mbar.

La misura si `e fatta inviando una modulazione sinusoidale sia alle bobine di compensazione, sia al riferimento di un lock-in; contemporaneamente si `e invi- ato il segnale di fluorescenza della nube, rivelato dal fotodiodo disposto come descritto sopra, all’ input del lock-in, e visualizzato lo sfasamento relativo sul monitor dello strumento. Abbiamo variato la frequenza di modulazione finch´e ϕ = π/2. Poich´e ω(π/2) = (k/M ) ^1/2 , abbiamo registrato tale frequenza e rica- vato, quindi, la temperatura corrispondente. Tale misura `e assai semplice e non affetta da errori sperimentali legati ai fit, ma soltanto dalle incertezze proprie della misura. Abbiamo fatto questo per diversi valori del detuning, ed i risultati sono mostrati in figura 3.7.

L’ andamento della temperatura mostra chiaramente come il riassorbimento

di fotoni scatterati, ed altri fenomeni, legati sempre all’ elevato valore della den-

sit`a all’ interno della trappola, modificano significativamente la distribuzione

degli atomi della MOT, causando un aumento della temperatura della nube. In

questo regime di funzionamento, infatti, il comportamento degli atomi `e assai

diverso da quello che essi avrebbero in una melassa ottica con le stesse carat-

teristiche, nella quale sarebbero raggiungibili temperature sub-Doppler. Questo

era un fatto prevedibile, considerato che in ogni punto sperimentale che abbi-

amo analizzato, la nube si trova in regime di scattering multiplo. Oltre a ci`o va

notato questo: gli autori di [27] hanno effettuato le varie misure in condizioni

di lavoro della MOT di bassa densit`a (< 10 ⁷ atomi/mm ³ ) e di scarso numero

di atomi (10 ⁵ < N < 10 ⁶ ), proprio per evitare che le interazioni tra gli atomi

divenissero significative; la loro MOT, cio´e, lavora sempre in regime limitato in

temperatura. Di conseguenza, non possiamo paragonare le nostre misure con

quelle riportate in [27] (si raggiungono T < 20µK per Rb, la cui temperatura

600 500 400 300 200

Temperatura ( µ Κ) 100

1.4 1.2

1.0 0.8

0.6 0.4

0.2 Ω _R( ^Γ)

Figura 3.8: In figura `e mostrato l’ andamento della temperatura della MOT al variare dell’ intensit`a del laser di trappola. I parametri sperimentali sono:δ =

−1.9Γ; I disp = 2.8A; (dB/dz) M OT = 8.7G/cm; P = 2 · 10 ⁻⁹ mbar.

Doppler `e 140µK), poich´e le condizioni di lavoro nei due casi sono estremamente diverse. Nondimeno, la misura da noi effettuata pu`o dare una stima, per quan- to grossolana, della temperatura effettiva degli atomi intrappolati, con relativa facilit`a.

Analogamente si sono effettuate delle misure di temperatura al variare dell’ in-

tensit`a del laser di trappola. Questo andamento (figura 3.8) dipende dal fatto

che per intensit`a basse il numero di atomi intrappolati `e minore, ed al tempo

stesso si hanno meno fotoni scatterati; aumentando l’ intensit`a, invece, aumen-

tano tutti quegli effetti di riscaldamento tipici del regime MS (densit`a e numero

di atomi elevati, forte fenomeno di riassorbimento dei fotoni scatterati). Ab-

biamo anche provato a ridurre l’ intensit`a del laser di ripompa, ritenendo che

esso causasse un aumento del numero di fotoni scatterati, senza, d’ altro canto,

favorire un aumento del numero di atomi intrappolati. In realt`a, le misure ci

hanno portato a dire che il DBR non ha tale negativo effetto di riscaldamento

sugli atomi della MOT.