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Capitolo 3 - Applicazione del metodo di scalatura

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Academic year: 2021

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Capitolo 3 - Applicazione del metodo di scalatura

3.1 Dimensionamento del propulsore

In questo capitolo si procederà all’applicazione del metodo di scalatura descritto in precedenza al fine di ricavare i valori dei parametri di funzionamento necessari per il disegno del propulsore e per le successive analisi da effettuare su quest’ultimo.

I risultati migliori, relativi all’applicazione del modello di scalatura per propulsori ad alta potenza, si ottengono utilizzando l’intera matrice di scalatura M, imponendo cinque vincoli attraverso l’imposizione di altrettanti parametri, come mostrato dettagliatamente in [4]: la scelta dei parametri non è univoca e dipende dalle prestazioni che si vogliono ottenere dal nuovo propulsore.

Nel caso in esame tre dei cinque parametri da utilizzare come vincoli per la procedura di scalatura risultano già fissati e sono:

dmed =345 mmb=20 mmPd =5000 W

I due parametri geometrici, d e b, risultano definiti dalla configurazione del canale di accelerazione che è già stato realizzato.

Il terzo parametro vincolato è rappresentato dalla potenza del propulsore. La scelta di questo valore per la potenza, come già accennato, è stata dettata dall’interesse che viene suscitato dai propulsori di questa fascia operativa nell’ambito delle manovre orbitali attorno alla Terra per fini commerciali. In modo particolare questi propulsori presentano buone prospettive e sono soggetti a molti studi e sperimentazioni nell’ambito delle manovre di sollevamento orbitale, necessarie per portare il satellite nella sua posizione finale di funzionamento, una volta che è stato portato in orbita bassa attorno alla Terra da un lanciatore: i propulsori di tipo elettrico cominciano a rappresentare una valida alternativa in questo ambito che è stato fino ad adesso riservato a propulsori di tipo chimico.

(2)

Gli ultimi due parametri necessari per la scalatura risultano liberi e senza particolari vincoli da rispettare: lo scopo principale del dimensionamento del nuovo propulsore è stato quello di ottenere le migliori prestazioni possibili.

3.1.1 - Strategie di progettazione

Prendendo come esempio una tipica missione di sollevamento orbitale tra un’orbita bassa e una geostazionaria, ambito nel quale c’è una richiesta elevata di sviluppo per i propulsori con una potenza di 5 kW, le possibili strategie di progettazione sono fondamentalmente due:

• Massimizzazione della spinta per diminuire i tempi necessari ad effettuare la manovra, con un conseguente consumo più elevato di propellente.

• Massimizzare l’impulso specifico per diminuire il propellente necessario per completare la manovra, ma con un allungamento dei tempi di trasferimento. La prima strategia è quella solitamente applicata nel caso in cui si utilizzi un propulsore di tipo elettrico per completare la manovra, in quanto questo comporta l’accettare lunghi tempi di volo: una riduzione del tempo necessario rappresenta la necessità principale soprattutto nel caso di satelliti di tipo commerciale.

La seconda strategia solitamente è quella impiegata nel caso cha il propulsore utilizzato per la missione sia di tipo chimico, in quanto il risparmio di propellente rappresenta il fattore principale per contenere i costi della missione.

3.1.2 - Applicazione dell’algebra di scalatura

I parametri da fissare devono essere scelti in modo tale da rendere le soluzioni generate dal sistema accettabili, in quanto alcuni gruppi di variabili possono dare luogo a risultati che non possono essere considerati affidabili per l’incertezza intrinseca che permea le metodologie sperimentali utilizzate per ricavarne i valori: questo ad esempio accade per i vari termini di perdita e le frazioni di lunghezza necessarie per la diffusione e la ionizzazione del flusso.

In basa a queste considerazioni e all’importanza che rivestono per il corretto funzionamento del propulsore, la scelta per gli ultimi due vincoli per la scalatura è ricaduta sui valori del potenziale e del massimo campo magnetico radiale.

(3)

Una volta scelti i vincoli per la scalatura con l’ausilio della matrice M possiamo impostare un sistema di cinque incognite in cinque equazioni.

Per prima cosa si definisce il vettore dei fattori di scala e si effettua il passaggio al logaritmo ottenendo

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Φ = → ref ref ref ref ref ref ref ref ref ref B B V V b b d d P P B B V V b b d d P P ln ln ln ln ln

Possiamo poi ricavare dalla matrice M

→ = A −1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1

La matrice A ottenuta rappresenta la matrice degli esponenti dei parametri di scala. Ricordando la (2.57) si ottiene la rappresentazione del sistema in forma standard

[

lnϕi

] [

= αij

] [

⋅ lnςj

]

→ Φ= AC

da cui possiamo ricavare il vettore C, contenente i parametri di scalatura relativi alle singole colonne della matrice M, come

[

] [

=

] [

−1⋅

]

→ = −1Φ ln lnςj αij ϕi C A e in forma esplicita L R A V N d P 1 1 0 1 1 d 1 0 0 0 0 b 0 1 0 0 0 V 0 0 0 1 0 B 0 0 -1 1 0

(4)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ref

)

ref ref ref ref A n V L b d

B

B

V

V

b

b

d

d

P

P

ln

ln

ln

ln

ln

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

ln

ln

ln

ln

ln

1

=























ς

ς

ς

ς

ς

Dal vettore C, eliminando il logaritmo, si ottengono i parametri di scalatura che rappresentano le incognite del problema:

( )

( )

( )

( )

( )

n V L b d n V L b d ς ς ς ς ς ς ς ς ς ς → ln ln ln ln ln

Si utilizzano i cinque parametri di scala ottenuti per ricavare tutte le altre grandezze fondamentali del nuovo propulsore.

Come vedremo in seguito, si può anche mostrare la variazione delle caratteristiche del propulsore al variare di uno o più parametri all’interno di un intervallo caratteristico in modo da ottenere le prestazioni desiderate.

3.2 Scalatura rispetto alla spinta

Una possibile scelta per il valore del potenziale di scarica è rappresentato da quello del propulsore ROS-2000 visto che il propulsore multicanale è stato ottenuto a partire da tale propulsore tramite un metodo di scalatura detto geomE [7] che non prevede la variazione del potenziale. Il valore per il potenziale è fissato in 350 V.

Il valore del massimo campo magnetico radiale non è stato fissato, ma è stato fatto variare tra i due valori estremi 150 G e 350 G in modo da ottenere le curve di variazione per gli altri parametri del propulsore.

(5)

150 200 250 300 350 255 260 265 270 275 280 285 290 Spinta Br max [G] T [ m N ]

Figura 3.1 - Variazione della spinta al variare del campo magnetico

150 200 250 300 350 1650 1700 1750 1800 1850 1900 Impulso Specifico Br max [G] Is p [ s ]

(6)

150 200 250 300 350 10 15 20 25 30 35 Lunghezza Canale Br max [G] L [ m m ]

Figura 3.3 - Variazione della lunghezza del canale al variare del campo magnetico

150 200 250 300 350 -0.5 0 0.5 1 Br max [G] Frazioni di lunghezza FdL ionizzazione FdL diffusione

FdL relativa alle guaine FdL di accelerazione

(7)

150 200 250 300 350 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Br max [G] Termini di perdita

Perdita alle pareti Perdita all’anodo

Perdita per la ionizzazione

Figura 3.5 - Variazione dei termini di perdita al variare del campo magnetico

150 200 250 300 350 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 Rendimento Br max [G]

(8)

Dalle curve precedenti si può vedere come aumentando l’intensità del campo magnetico radiale all’interno del canale di accelerazione si ottengono una serie di effetti positivi, in quanto si ha continuo aumento sia della spinta sia dell’impulso specifico. A seguito della diminuzione della lunghezza del canale si ha inoltre una diminuzione delle perdite alle pareti all’interno del canale e di conseguenza un aumento del rendimento del propulsore.

Altra conseguenza della diminuzione della lunghezza del canale è un aumento significativo sia della frazione di lunghezza relativa alla diffusione sia di quella relativa alla ionizzazione e di conseguenza una diminuzione della frazione di lunghezza adibita all’accelerazione. Per un valore di circa 200 G del campo magnetico radiale questa regione del canale presenta una lunghezza negativa rappresentando naturalmente un risultato non fisicamente ammissibile: questo risultato rappresenta una notevole limitazione per le prestazioni del motore in quanto limita la possibilità di aumentare il campo magnetico oltre un certo valore limitando così tutti gli effetti positivi descritti in precedenza.

Come valore limite per la frazione di lunghezza di accelerazione si è pensato di adottare il 10% della lunghezza del canale: questo valore risulta ragionevole per il corretto sviluppo dei processi all’interno del canale di accelerazione (per il modello SPT-100 tale valore è fissato al 20%) e permette di tenere anche conto delle possibili incertezze del modello e fluttuazioni del valore del campo magnetico del propulsore durante il funzionamento.

3.2.1 - Variazione simultanea di due parametri

Per cercare di ovviare al problema della limitata zona di accelerazione per il propellente si è pensato di variare anche il valore del potenziale di scarica del propulsore, che nell’analisi precedente risultava vincolato, per vedere se questo espediente permette di superare le limitazioni imposte dalla frazione di accelerazione.

La variazione pensata riguarda sia un possibile aumento che una diminuzione del valore del potenziale in un intervallo tra i valori di 300 V e 500 V con un aumento (o diminuzione) di 50 V tra un valore e il successivo.

Di seguito sono riportati solo i grafici relativi ai parametri che subiscono variazioni al variare del valore del potenziale.

(9)

150 200 250 300 350 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 Br max [G] T [ m N ] Spinta V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

Figura 3.7 - Variazione della spinta

150 200 250 300 350 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 Br max [G] Is p [ s ] Impulso Specifico V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

(10)

150 200 250 300 350 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Br max [G] L [ m m ] Lunghezza Canale V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

Figura 3.9 - Variazione della lunghezza del canale

150 200 250 300 350 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 B [G] Im p u ls o S p e c if ic o [ s ]

Frazione di Lunghezza di Diffusione

V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

(11)

150 200 250 300 350 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 B [G] R e n d im e n to

Frazione di Lunghezza di Accelerazione

V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

Figura 3.11 - Variazione della frazione di lunghezza di accelerazione

150 200 250 300 350 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 Br max [G] Rendimento V=300 [V] V=350 [V] V=400 [V] V=450 [V] V=500 [V]

(12)

Il valore della frazione di lunghezza costituita dalle guaine, della perdita anodica e di quella per la ionizzazione non dipendono dal campo magnetico e quindi non subiscono cambiamenti quando quest’ultimo viene fatto variare. Il loro valore dipende da quello assegnato al potenziale (Tabella 3.1).

Parametro 300 V V=350 V V=400 V V=450 V V=500 V sheath λ 0.0683 0.0632 0.0591 0.0557 0.0529 a ε 0.054 0.0463 0.0405 0.0360 0.0324 i ε 0.136 0.1166 0.102 0.0907 0.0816

Tabella 3.1 - Parametri indipendenti dal campo magnetico

Il valore delle perdite alle pareti non dipende dal valore del potenziale imposto e quindi il loro andamento si mantiene lo stesso già raffigurato in precedenza al variare del solo campo magnetico (fig. 3.5).

Dai grafici ottenuti risulta che la diminuzione del potenziale ha un effetto benefico per la spinta, ma anche una diminuzione della frazione di lunghezza di accelerazione, a seguito di un aumento della frazione di lunghezza di diffusione, e una diminuzione del rendimento del propulsore.

Per effettuare più facilmente un confronto tra le varie soluzioni si sono riportate di seguito le configurazioni ricavate dai grafici precedenti, rispettando la condizione di mantenere la frazione di lunghezza di accelerazione pari a circa il 10% della lunghezza complessiva del canale.

Con la dicitura caso (2) si indica il risultato ottenuto nel precedente paragrafo, quando si era fatto variare solamente il campo magnetico mantenendo il potenziale al valore fisso di 350 V, mentre con caso (1, 3, 4, 5) sono stati indicati i nuovi risultati ottenuti dalla variazione contemporanea del campo magnetico e del potenziale.

Parametro Caso (1) Caso (2) Caso (3) Caso (4) Caso (5)

med

d [mm] 345 345 345 345 345

b [mm] 20 20 20 20 20

(13)

V [V] 300 350 400 450 500 L [mm] 30.35 32.1 33.5 34.74 36.67 sp I [s] 1496.7 1690.3 1866.6 2029.6 2174.8 m [mg/s] 17.09 15.87 13.89 12.35 11.11 d J [A] 16.67 14.29 12.5 11.11 10 T [mN] 271.9 263.2 254.32 245.81 237.1 max r B [G] 145 160 175 190 200 L

λ

0.043 0.0396 0.0323 0.0287 0.0258 i λ 0.1907 0.2104 0.2301 0.2499 0.2630 diff λ 0.6381 0.6206 0.6071 0.5964 0.5805 sheath λ 0. 0683 0.0632 0.0591 0.0557 0.0529 acc λ 0.1029 0.1058 0.1036 0.0980 0.1036 w ε 0.2586 0.2344 0.2143 0.1974 0.1875 a ε 0.054 0.0463 0.0405 0.0360 0.0324 i ε 0.136 0.1166 0.102 0.0907 0.0816 life t [hours] 7793 9092 10391 11689 12988 a w Θ Θ , [W/cm^2] 12.87 3.05 11.03 2.61 9.65 2.28 8.58 2.03 7.72 1.83 η 0.3992 0.4364 0.4657 0.4894 0.5057

Tabella 3.2 - Risultati scalatura con uno o due parametri variabili

Dalla tabella precedente si vede come tra le varie configurazioni ci siano differenze anche rilevanti: la maggiore variazione si ha per il rendimento e, di conseguenza, per l’impulso specifico che aumentano in modo significativo all’aumentare del valore del potenziale, contemporaneamente la spinta tende a diminuire.

La riduzione del valore della spinta non è molto rilevante in termini assoluti in quanto la differenza tra le varie configurazioni è di pochi mN, questo però comporterebbe un aumento del tempo di missione non trascurabile, dell’ordine di giorni, che dovrebbe

(14)

La scelta della configurazione dipende da un compromesso tra le diverse esigenze: nel caso in esame si era cercato di massimizzare la spinta del propulsore da realizzare, senza avere però un requisito preciso da dover soddisfare. Essendo solo uno studio preliminare per un nuovo propulsore si è scelto di utilizzare una soluzione intermedia come punto di partenza per l’analisi, scegliendo un valore per il potenziale di 400 V. Come vedremo in seguito, il propulsore in esame presenterà una notevole flessibilità che gli permetterebbe di adattarsi alle diverse configurazioni illustrate in precedenza.

3.3 Confronto dei risultati

Per aver un’idea migliore della bontà o meno dei risultati ottenuti tramite la scalatura, si sono confrontati questi ultimi con i dati presenti nel database di ALTA.

I motori utilizzati per la comparazione sono i seguenti:

• Motore P5 (versione 1 e 2), sviluppato dall’Università del Michigan. • Motore SPT-200, sviluppato a Fakel in Russia.

• Motore TM-50 sviluppato al Glenn Research Center della NASA. • Motore D-100 sviluppato al TsNIIMash in Russia.

Parametro Scalatura P5-2 P5 ext d [mm] 365 173 173 b [mm] 20 25 25 L [mm] 33.5 38 38 V [V] 400 400 400 sp I [s] 1866.6 2035 2056 m [mg/s] 13.89 12.45 12.03 d J [A] 12.5 12.48 12.48 P [W] 5000 4992 4992 T [mN] 254.32 260.5 254.7 max r B [G] 175 - - η 0.4657 0.52 0.51

(15)

Parametro Scalatura SPT-200 SPT-200 ext d [mm] 365 200 200 b [mm] 20 25 25 L [mm] 33.5 - - V [V] 400 400 450 sp I [s] 1866.6 2099 2177 m [mg/s] 13.89 12.6 10.2 d J [A] 12.5 12.8 10.6 P [W] 5000 5120 4770 T [mN] 254.32 270.76 230 max r B [G] 175 - - η 0.4657 0.54 0.51

Tabella 3.4 - Confronto col motore SPT-200

Parametro Scalatura TM-50 TM-50 ext d [mm] 365 210 210 b [mm] 20 10 10 L [mm] 33.5 - - V [V] 400 449 348 sp I [s] 1866.6 1840 1716 m [mg/s] 13.89 10.3 14.9 d J [A] 12.5 9.9 15 P [W] 5000 4444 5231 T [mN] 254.32 213 276 max r B [G] 175 - - η 0.4657 0.43 0.44

(16)

Parametro Scalatura D-100 D-100 ext d [mm] 365 100 100 b [mm] 20 - - L [mm] 33.5 - - V [V] 400 350 400 sp I [s] 1866.6 2033 2287 m [mg/s] 13.89 13.76 10.5 d J [A] 12.5 15.9 11.6 P [W] 5000 5565 4640 T [mN] 254.32 294.3 258 max r B [G] 175 - - η 0.4657 0.53 0.62

Tabella 3.6 - Confronto col motore D-100

Nelle tabelle sopra riportate sono stati scelti i punti di funzionamento dei propulsori che più si avvicinano a quello del propulsore da dimensionare per effettuare un confronto; in particolare si è cercato di utilizzare valori di potenza e potenziale il più vicino possibile rispettivamente a 5 kW e 400 V.

Si vede che i risultati ottenuti con la scalatura non si discostano in modo significativo da quelli misurati sperimentalmente sui propulsori considerati confermando la bontà del metodo di scalatura: lo scostamento maggiore si rileva nei valori dell’efficienza (e di conseguenza nell’impulso specifico) come c’era da aspettarsi vista la configurazione particolare del motore da realizzare rispetto a motori sviluppati senza vincoli costruttivi particolari ed ottimizzati per ottenere date prestazioni.

Figura

Figura 3.2 - Variazione dell’impulso specifico al variare del campo magnetico
Figura 3.4 - Variazione delle frazioni di lunghezza al variare del campo magnetico
Figura 3.5 - Variazione dei termini di  perdita al variare del campo magnetico
Figura 3.7 - Variazione della spinta
+7

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