Un punto materiale
P
si muove sul pianoxy
con accelerazione2
ˆ
( ) ( cos )
a t = k t j
sapendo che le condizioni iniziali del moto( 0)
00
x t = = x = ( 0)
0k
22y t y
= = = −
0 1
( 0)
x
t = =
x= k
v v
v (
yt = 0) = v
y0= 0
determinare:
1) l’ equazione della traiettoria del punto
P
2) l’ espressione del valore massimo e sono espresse dalle relazioni
e
del modulo della velocita’
Esercizio
2
ˆ ( cos ) a = k t j
ma
ˆ ˆ
x y
a = a i + a j
percio’ in questo caso particolare si ha
x
0
a =
ea
y= k
2cos t
per ottenere la velocita’
a d
= dt v
si ha
x
= c
vxv
2y y
k sen t c
= +
vv
e integrando la
e
moto rettilineo uniforme lungo l’asse
x
emoto armonico semplice lungo l’asse
y
il moto avviene nel piano
xy
quindi in generale si avra’i due moti sono indipendenti tra di loro
separatamente per il moto lungo
x
e per quello lungoy
imponendo le condizioni iniziali sulla velocita’ si ha
0 1
x
(0)
x= k
v v e
ma
sen0 = 0
dunque
v
x( ) t = k
1( )
2 yt k sen t
=
v
0
2
0 0
y y y
k sen c
= +
v=
v (0) = v
equazioni orarie per
v
xe v
yy
0 c
v
=
x 1
c k
v
=
(0)
00 x = x =
( )
1x
t = k
v
y( ) k
2t sen t
= v
( )
1 xx t = k t + c
integrando
(0)
10
xx = + k c
ma quindi
c
x= x (0)
dunque
x
0 c =
( ) 1
x t = k t
per la
x(t)
si ottienee
si ricavano le equazioni orarie per la posizione
2
0 2
y k
= −
2
( ) k
2cos
yy t t c
= − + (0) k
22cos(0)
yy c
= − +
2
(0)
2 yc y k
= +
quindi
ma y
k
22k
220
c = − + =
dunque 2
( ) k
2cos
y t t
= −
per quanto riguarda la
y(t)
si hasi ricava
1
t x
= k
2 2
1
( ) k cos x
y x k
= −
equazioni orarie
equazione della traiettoria nel piano
xy y
in funzione dix
in sintesi:
2
ˆ
( ) ( cos ) a t = k t j
2
1
ˆ ( k ) ˆ
t k i sen t j
= +
v( )
2
1
ˆ
2ˆ
( ) ( ) ( k cos )
r t k t i t j
= −
che sostituito nella
x = k t
1k
22cos
y t
= −
fornisce da
z
y
x 2
2
1
( ) k cos x
y x k
= −
il modulo della velocita’ e’ dato dall’espressione
2
2 2 2
1 2
k k sen t
= +
v
e poiche’ compare il quadrato della funzione seno il valore massimo
si avra’ quando il seno
2
2 2
max 1 2
k k
= +
v
e sara’ pari a assume i valori +1 o −1
