Insiemi di numeri reali

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Insiemi di numeri reali

1.1 Elementi di teoria degli insiemi

Se S è una totalità di oggetti x, si dice che S è uno spazio avente gli elementi x. Se si considerano alcuni elementi di S si dice che essi costituiscono un insieme A dello spazio S. Tra gli insiemi che si possono ottenere in questo modo si possono includere lo spazio S (quando si considerino tutti gli elementi x di S) ed il cosiddetto insieme vuoto φ (quando non si consideri alcun elemento di S).

Per esprimere che un elemento x appartiene ad un insieme A si scrive: x ∈ A; per esprimere che x non appartiene ad un insieme A si scrive: x /∈ A.

Per indicare un insieme A dello spazio S si possono usare due tipi di scrittura. Il primo tipo, detto rappresentazione tabulare, consiste nello scrivere l’elenco degli elementi x che devono comparire in A:

A = {x, y, z, . . .} (1.1)

Il secondo tipo, detto rappresentazione caratteristica, consiste nell’enunciare una propriet`a P verificata da tutti e soli gli elementi x ∈ A:

A = {x|x ∈ S, x verifica la propriet`a P } (1.2) Un insieme A si dice finito quando consta di un numero finito di elementi. In caso contrario l’insieme si dice infinito, ovvero che consta di infiniti elementi.

Se A, B sono due insiemi di uno stesso spazio S, si dice che A `e contenuto in B (oppure che B contiene A) e si scrive A ⊆ B (oppure B ⊇ A) quando ogni elemento di A `e anche elemento di B, vale a dire che l’appartenenza ad A implica l’appartenenza a B:

x ∈ A =⇒ x ∈ B. (1.3)

Si dice anche che A `e un sottoinsieme di B, ovvero che A `e incluso in B. L’insieme vuoto φ si considera contenuto in qualsiasi insieme A.

Se valgono simultaneamente le A ⊆ B, B ⊆ A, cio`e se

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B, (1.4)

si dice che A `e identico a B e si scrive A = B; nel caso contrario si scrive A 6= B.

Se A `e un insieme dello spazio S, si chiama complemento di A (e si indica con C A) l’insieme degli elementi di S che non appartengono ad A; si ha cio`e

C A = {x|x ∈ S, x /∈ A}. (1.5)

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Capitolo 1. Insiemi di numeri reali

Valgono le seguenti propriet`a:

C S = φ, C φ = S, C (C A) = A. (1.6)

Se A e B sono insiemi dello spazio S, si chiama unione dei due insiemi (e si indica con A ∪ B) l’insieme degli elementi di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A, B;

si pu`o dunque scrivere

A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}. (1.7)

Valgono le seguenti propriet`a:

A ∪ A = A, A ∪C A = S, A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). (1.8)

Si chiama intersezione dei due insiemi A, B (e si indica con A∩B) l’insieme degli elementi di S che appartengono sia ad A che a B; si ha cio`e

A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}. (1.9)

Quando risulta A ∩ B = φ i due insiemi si dicono disgiunti. Valgono poi le seguenti propriet`a:

A ∩ A = A, A ∩C A = φ, A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (1.10)

Si definisce la differenza A−B di due insiemi A, B come l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B, vale a dire

A − B = A ∩C B. (1.11)

e risulta A − B = φ se e solo se A ⊆ B.

Dati due insiemi A e B (distinti o coincidenti) e fissati due elementi x ∈ A e y ∈ B, si può considerare la coppia ordinata (x, y). Al variare di x in A e di y in B, tale coppia descrive un insieme che si chiama prodotto cartesiano dei due insiemi A, B e si indica con A × B. Per esempio, date in un piano due rette ortogonali, se A è l’insieme dei punti della prima retta e B l’insieme dei punti della seconda, il prodotto cartesiano A × B è rappresentato dall’insieme dei punti del piano considerato.

Dati due insiemi A e B, una applicazione o funzione f di dominio A e codominio B `e una legge che associa ad ogni elemento x ∈ A un unico elemento y ∈ B detto il valore di f in x e indicato con f (x). Si scrive: f : A → B.

Si chiama immagine di f , e si indica con f (A), l’insieme di tutti i valori f (x) con x ∈ A.

Se f (A) `e un sottoinsieme proprio di B si dice che si ha una applicazione di A in B.

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Una applicazione f : A → B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. In questo caso l’immagine di f ricopre B. Se f è suriettiva si dice anche che f è una applicazione di A sopra B.

Una applicazione f : A → B si dice iniettiva se elementi distinti in A hanno immagini distinte, cio`e se

x 6= x⁰ =⇒ f (x) 6= f (x⁰) o, in modo equivalente se

f (x) = f (x⁰) =⇒ x = x⁰.

Sia f : A → B e sia y ∈ f (A). si dice immagine reciproca di y mediante f l’insieme di tutti gli x ∈ A la cui immagine mediante f dia lo stesso y ∈ B. L’immagine reciproca di y si indica con f⁻¹(y). f⁻¹(y) si dice la fibra di f su y. Se f `e suriettiva, per ogni y ∈ B vi `e una fibra f⁻¹(y).

Una applicazione f si dice biiettiva se `e iniettiva e suriettiva. Si parla allora di biiezione e si indica con il simbolo f : A ↔ B. In questo caso preso un qualunque y ∈ B, la fibra f⁻¹(y) `e formata da uno ed un solo elemento.

1.2 Propriet`a degli insiemi di numeri reali

Consideriamo ora quei particolari insiemi i cui elementi sono numeri reali, cio`e gli insiemi dello spazio R.

Insiemi di particolare importanza sono gli intervalli. Dati due numeri reali a, b con a < b, si chiama intervallo chiuso di estremi a, b l’insieme dei numeri reali x che verificano la limitazione a 6 x 6 b; tale intervallo sarà indicato col simbolo [a, b]. Si chiamerà invece intervallo aperto di estremi a, b, e sarà indicato con (a, b), l’insieme dei numeri x per cui si ha a < x < b; intervallo aperto a sinistra è l’insieme dei numeri x per i quali si ha a < x 6 b, e si userà per esso il simbolo (a, b]; intervallo aperto a destra è l’insieme dei numeri x per i quali si ha a 6 x < b, e si userà il simbolo [a, b). Tutti questi intervalli si dicono limitati.

Dato un numero reale a si considera anche l’insieme dei numeri maggiori o uguali ad a, cio`e l’intervallo [a, +∞), oppure l’insieme dei numeri maggiori di a, cio`e l’intervallo (a, +∞).

Analogamente si definisce l’intervallo (−∞, a] come l’insieme dei numeri minori o uguali ad a, e l’intervallo (−∞, a) come l’insieme dei numeri minori di a. Lo spazio R di tutti i numeri reali viene anche designato come intervallo (−∞, +∞). Tutti questi intervalli si dicono illimitati.

Dato un insieme E di numeri reali, possiamo chiederci se esista in E un numero minimo (min E) oppure un numero massimo (max E). Se E `e un insieme finito i due numeri esistono certamente. Se si considera invece un insieme E infinito non `e detto che esista min E o max E.

Dunque, per un insieme E arbitrario non si pu`o parlare in generale di min E o max E; `e

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dunque necessario utilizzare qualche nuovo concetto che sia pi`u generale di quello di minimo o di massimo e che valga per un insieme qualsiasi. A questo scopo si formulano i concetti di estremo inferiore e di estremo superiore.

1.3 Estremo inferiore ed estremo superiore

Sia dato un insieme E di numeri reali. Si dice che E è limitato inferiormente quando esiste un numero a minore di tutti i numeri x di E; in caso contrario cioè quando, comunque si assegni un numero a, esiste sempre in E qualche numero x minore di a, l’insieme si dirà illimitato inferiormente.

Analogamente si dice che E è limitato superiormente quando esiste un numero b maggiore di tutti i numeri x di E; in caso contrario cioè quando, comunque si assegni un numero b, esiste sempre in E qualche numero x maggiore di b, l’insieme si dirà illimitato superiormente.

Dicendo semplicemente che E è limitato si intende dire che è limitato sia inferiormente che superiormente; dicendo che è illimitato si intende dire che lo è almeno da una parte.

Consideriamo un insieme E che sia limitato inferiormente. Esiste allora un numero a minore di tutti i numeri x ∈ E; è anzi evidente che di numeri aventi questa proprietà ne esistono infiniti; indichiamo con A la classe da essi formata e con B quella costituita da tutti i rimanenti numeri reali. La classe A è dunque definita da

A = {a| a < x, ∀ x ∈ E}. (1.12)

La classe B contiene tutti i numeri b che non godono della propriet`a indicata in (1.12), quindi

B = {b| ∃ x ∈ E, x 6 b}. (1.13)

Queste due classi individuano un numero di separazione; questo numero si chiama estremo inferiore dell’insieme E (limitato inferiormente) e si indica con inf E. Esso gode delle due propriet`a seguenti:

a) tutti i numeri x ∈ E sono maggiori o uguali di inf E;

b) comunque si fissi un numero positivo ε, vi `e nell’insieme E almeno un numero x che `e minore di inf E + ε.

L’estremo inferiore inf E può essere un numero dell’insieme E ed allora coincide con min E; può, però, accadere che esso non appartenga ad E ed allora l’insieme non ha minimo.

In modo del tutto analogo si stabilisce il concetto di estremo superiore di un insieme E limitato superiormente. Esistono numeri b maggiori di tutti i numeri x ∈ E; diciamo B

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la classe da essi formata ed A quella costituita dai rimanenti numeri reali. La classe B `e dunque definita come segue:

B = {b| b > x, ∀ x ∈ E}. (1.14)

La classe A contiene tutti i numeri b che non godono della propriet`a indicata in (1.14), quindi

A = {a| ∃ x ∈ E, x > b}. (1.15)

Queste due classi individuano un numero di separazione; questo numero si chiama estremo superiore dell’insieme E (limitato superiormente) e si indica con sup E. Esso gode delle due propriet`a seguenti:

c) tutti i numeri x ∈ E sono minori o uguali di sup E;

d) comunque si fissi un numero positivo ε, vi `e nell’insieme E almeno un numero x che `e maggiore di sup E − ε.

L’estremo superiore sup E può essere un numero dell’insieme E ed allora coincide con max E; può, però, accadere che esso non appartenga ad E ed allora l’insieme non ha massimo.

Se un insieme E è limitato, esistono contemporaneamente inf E e sup E e risulta evi- dentemente inf E 6 sup E. Il segno di uguaglianza vale soltanto se E è formato da un solo numero; se ciò non accade, l’intervallo [inf E, sup E] è il più piccolo intervallo chiuso che contenga tutti i punti dell’insieme E.

Abbiamo definito l’estremo inferiore per gli insiemi limitati inferiormente e l’estremo superiore per gli insiemi limitati superiormente. Per un insieme illimitato inferiormente si dirà che ha −∞ come estremo inferiore, cioè: inf E = −∞; per un insieme illimitato superiormente si dirà che ha +∞ come estremo superiore, cioè: sup E = +∞.

Accenniamo infine al concetto di insiemi contigui (o classi contigue) di numeri reali. Due classi A, B di numeri reali si dicono contigue quando si ha sup A = inf B. Il valore comune dei predetti estremi, superiore di A ed inferiore di B, `e il cosiddetto numero di separazione delle due classi.

1.4 Punti di accumulazione. Insiemi chiusi

Diamo ora qualche altro importante concetto sugli insiemi di numeri reali, mediante l’uso di un linguaggio geometrico, dicendo cio`e punto x in luogo di numero reale x; sar`a sottinteso che si tratta sempre di punti della medesima retta su cui sia stato fissato un sistema di ascisse.

Dati due punti x₁, x₂ si pu`o voler considerare la loro distanza (senza segno); essa `e espressa dal numero non negativo |x₂ − x₁|.

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Dato un punto x chiameremo intorno di x ogni intervallo limitato e aperto (a, b) che contenga x (cio`e tale che a < x < b).

Sia dato un insieme E di punti. Un punto x₀ della retta si dice punto di accumulazione (o punto limite) dell’insieme E quando, in ogni intorno di x₀, esiste almeno un punto di E che sia distinto da x₀.

Un punto di accumulazione di un insieme E può appartenere all’insieme stesso oppure può non appartenervi. Un punto x dell’insieme E può essere punto di accumulazione oppure può non esserlo; in questo secondo caso si dice punto isolato di E.

Dalla definizione di punto di accumulazione discende immediatamente che se x₀ è un punto di accumulazione dell’insieme E, in ogni intorno di x₀ esistono infiniti punti di E. Da ciò deriva anche che affinché un insieme abbia dei punti di accumulazione è necessario che contenga infiniti punti. Tale condizione non è in generale sufficiente, cioè un insieme può contenere infiniti punti e non avere alcun punto di accumulazione; detta condizione diventa però sufficiente se l’insieme si suppone limitato.

L’insieme costituito da tutti i punti di accumulazione di un dato insieme E si chiama l’insieme derivato di E e si indica conDE.

Un insieme E si dice chiuso quandoDE ⊆ E cio`e quando o non ha punti di accumulazione oppure ha dei punti di accumulazione tutti appartenenti all’insieme E.

Diamo alcuni esempi. 1) Gli intervalli [a, b], [a, +∞), (−∞, a], (−∞, +∞) sono insiemi chiusi, perch´e ogni loro punto `e punto di accumulazione e non vi sono altri punti di accumulazione all’infuori di questi. 2) Gli intervalli (a, b), (a, b], [a, b), (a, +∞), (−∞, a) non sono insiemi chiusi (il primo ha i punti di accumulazione a, b che non appartengono ad esso; il secondo ha il punto di accumulazione a che non appartiene all’insieme; ecc.).

Gli insiemi dell’esempio 1) non solo sono chiusi, ma sono tali cheDE = E. I particolari insiemi chiusi che godono di questa propriet`a si chiamano insiemi perfetti.

I concetti di intorno di un punto e di punto di accumulazione vengono estesi nel modo seguente. Chiameremo intorno di −∞ ogni intervallo del tipo (−∞, a), intorno di +∞ ogni intervallo del tipo (a, +∞). Diremo poi che l’insieme E ha il punto di accumulazione −∞

[+∞] quando in ogni intorno di −∞ [di +∞] cade almeno un punto di E (viene subito di conseguenza che ne cadono infiniti); è evidente che ciò equivale a dire che E è illimitato inferiormente [superiormente]. Con queste locuzioni si può affermare che ogni insieme E contenente infiniti punti ammette almeno un punto di accumulazione (al finito o all’infinito), rimuovendo cos`ı la restrizione che l’insieme debba essere limitato per rendere sufficiente la condizione suddetta.

Nella definizione di insieme chiuso data sopra ci si riferisce soltanto ai punti di accumulazione al finito.