Soluzioni dei Compiti di Matematica per il 29 agosto 2018 ANALISI MATEMATICA

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Soluzioni dei Compiti di Matematica per il 29 agosto 2018

ANALISI MATEMATICA

Si calcolino i seguenti limiti:

1. lim

𝑥→2

𝑥³− 3𝑥²+ 4

𝑥³− 2𝑥²− 4𝑥 + 8 = lim

𝑥→2

(𝑥 − 2)(𝑥²− 𝑥 − 2)

(𝑥²− 4)(𝑥 − 2) = lim

𝑥→2

(𝑥 − 2)²(𝑥 + 1) (𝑥 − 2)²(𝑥 + 2)

= lim

𝑥→2

𝑥 + 1 𝑥 + 2 = 3

5

2. lim

𝑥→∞

4𝑥⁵+ 7𝑥⁴+ 1

2𝑥⁵+ 7 = lim

𝑥→∞

4𝑥⁵ 2𝑥⁵ = 2 3. lim

𝑥→+∞ln (√𝑥²+ 1 − 𝑥) = lim

𝑥→+∞ln (𝑥²+ 1 − 𝑥²

√𝑥²+ 1 + 𝑥) = lim

𝑥→+∞ln ( 1

√𝑥²+ 𝑥)

= lim

𝑥→+∞ln ( 1

+𝑥 + 𝑥) = ln 0⁺ = −∞

4. lim

𝑥→0⁺exp (ln²𝑥 − 2

ln 𝑥 − 2) = lim

𝑥→0⁺exp (ln²𝑥

ln 𝑥) = lim

𝑥→0⁺exp(ln 𝑥) = lim

𝑥→0⁺𝑥 = 0⁺

5. lim

𝑥→0

1 − cos 𝑥

(𝑒^𝑥− 1)² = lim

𝑥→0

12 𝑥² 𝑥² =1

2

6. lim

𝑥→∞(𝑥 + 1 𝑥 )

−2𝑥

= lim

𝑥→∞(1 +1 𝑥)

−2𝑥

= 𝑒⁻²

7. lim

𝑥→2

√𝑥 + 2 − √2𝑥

√𝑥 − 2 = lim

𝑥→2

𝑥 + 2 − 2𝑥

√𝑥 − 2(√𝑥 + 2 + √2𝑥)

= lim

𝑥→2

−𝑥 + 2

√𝑥 − 2(√𝑥 + 2 + √2𝑥)= lim

𝑥→2

−(𝑥 − 2)

√𝑥 − 2(√𝑥 + 2 + √2𝑥)

= lim

𝑥→2− √𝑥 − 2

√𝑥 + 2 + √2𝑥 = 0

(2)

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

8. lim

𝑥→+∞(√𝑥²+ 5𝑥 + 6 − 𝑥) = lim

𝑥→+∞

𝑥²+ 5𝑥 + 6 − 𝑥²

√𝑥²+ 5𝑥 + 6 + 𝑥 = lim

𝑥→+∞

5𝑥 + 6

√𝑥²+ 𝑥

= lim

𝑥→+∞

5𝑥 + 6

+𝑥 + 𝑥 = lim

𝑥→+∞

5𝑥 2𝑥 = 5

2 9. lim

𝑥→0

3𝑥 + tg 𝑥

sen 𝑥 + tg²𝑥 = lim

𝑥→0

3𝑥 + 𝑥

𝑥 + 𝑥² = lim

𝑥→0

4𝑥

𝑥(1 + 𝑥)= 4

10. lim

𝑥→0

ln(1 + 4𝑥)

𝑥 = lim

𝑥→0

4𝑥 𝑥 = 4

11. lim

𝑥→0

sen 𝑥 − tg 𝑥

𝑥² = lim

𝑥→0

sen 𝑥 −sen 𝑥 cos 𝑥

𝑥² = lim

𝑥→0

sen 𝑥 cos 𝑥 − sen 𝑥 𝑥²cos 𝑥

= lim

𝑥→0

sen 𝑥 (cos 𝑥 − 1)

𝑥²⋅ 1 = lim

𝑥→0

𝑥 (−1 2 𝑥²)

𝑥² = lim

𝑥→0(−1

2𝑥) = 0 12. lim

𝑥→0

2^𝑥 − 1

𝑥 = ln 2

13. lim

𝑥→1

cos (𝜋 2 𝑥)

1 − √𝑥 = lim

𝑥→1

−𝜋

2 sen (𝜋 2 𝑥)

− 1 2√𝑥

= lim

𝑥→1(𝜋

2sen (𝜋

2𝑥) ⋅ 2√𝑥) = 𝜋

Per risolvere questo limite in modo agevole serve il Teorema di De l’Hôpital!

14. lim

𝑥→−∞(√4 + 𝑥²+ 𝑥) = lim

𝑥→−∞

4 + 𝑥²− 𝑥²

√4 + 𝑥²− 𝑥 = lim

𝑥→−∞

4

√𝑥²− 𝑥 = lim

𝑥→−∞

4

−𝑥 − 𝑥

= 0⁺

15. lim

𝑥→+∞(1 +5 𝑥)

2𝑥

= lim

𝑡→+∞(1 +1 𝑡)

2(5𝑡)

= lim

𝑡→+∞(1 +1 𝑡)

10𝑡

= 𝑒¹⁰

16. lim

𝑥→∞(2𝑥 + 1 2𝑥 )

6𝑥

= lim

𝑥→∞(1 + 1 2𝑥)

6𝑥

= lim

𝑡→∞(1 +1

𝑡)^6(𝑡2) = lim

𝑡→∞(1 +1 𝑡)

3𝑡

= 𝑒^3𝑡

(3)

17. lim

𝑥→0

√1 + 𝑥 − 1

sen 4𝑥 = lim

𝑥→0

12 𝑥 4𝑥 =1

8 18. lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

1 − cos 𝑥 = lim

𝑥→0

𝑥 12 𝑥²

= lim

𝑥→0^±

2

𝑥 = ±∞

19. lim

𝑥→0

5^2𝑥 − 1

𝑥 = lim

𝑥→0

25^𝑥 − 1

𝑥 = ln 25 = ln 5² = 2 ln 5 20. lim

𝑥→0(1 + 2𝑥)¹^𝑥 = lim

𝑡→0(1 + 𝑡)²^𝑡 = 𝑒² 21. Sia data la funzione

𝑓(𝑥) = {

1 − 𝑥 𝑝𝑒𝑟 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0 𝑒^𝑥² − 1

𝑥 sen 𝑥 𝑝𝑒𝑟 0 < 𝑥 ≤ 1 Si dica se essa è continua nel punto 𝑥 = 0.

𝑥→0lim⁻𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0(1 − 𝑥) = 1

𝑥→0lim⁺𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0

𝑒^𝑥² − 1

𝑥 sen 𝑥 = lim

𝑥→0

𝑥²

𝑥 ⋅ 𝑥 = 1 𝑓(0) = 1 − 0 = 1

𝑥→0lim^±𝑓(𝑥) = 𝑓(0) ⟹ 𝑓 è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑖𝑛 𝑥 = 0

(4)

Gianluca Ferrari A.S. 2017/2018 Classe 4ªC ITT

GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Si risolvano le seguenti disequazioni goniometriche:

22. sen 2𝑥

sen 𝑥 − √3 cos 𝑥 ≤ 0 𝑅: [2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

3+ 2𝑘𝜋 ∨𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨4

3𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 3

2𝜋 + 2𝑘𝜋]

23. tg 𝑥 − tg²𝑥 2 sen 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑅: [(𝜋

6+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 𝜋

4 + 2𝑘𝜋 ∨5

6𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨5

4𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥

≤ 2𝜋 + 2𝑘𝜋) ∧ 𝑥 ≠ 3

2𝜋 + 2𝑘𝜋]

Si risolvano i seguenti problemi di trigonometria:

24. Si determinino i lati 𝐴𝐶 e 𝐶𝐵 nel triangolo 𝐴𝐵𝐶 in cui sono noti: 𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚, 𝐵𝐴̂𝐶 = 45°, 𝐴𝐵̂𝐶 = 30°. Si consideri inoltre un punto 𝑃 appartenente al lato 𝐴𝐶 e, posto 𝑃𝐵̂𝐴 = 𝑥, si risolva l’equazione

𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 5

3√2(3 + √3)

Si esprima poi la funzione 𝑓(𝑥) =^10√2_𝑃𝐴 e si rappresenti su un periodo completo, indipendentemente dal problema geometrico.

𝑅: [𝐴𝐶 = 5(√6 − √2) 𝑐𝑚 ; 𝐶𝐵 = 10(√3 − 1) 𝑐𝑚 ; 𝑥 = 15° ; 𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 + 1]

25. Si risolva il generico triangolo 𝐴𝐵𝐶, noti gli elementi indicati.

𝐴𝐵 = 2√3 ; 𝐵𝐶 = 2√2 ; 𝐶𝐴 = √2 + √6 ; Si calcoli inoltre l’area del triangolo in questione.

𝑅: [𝐴̂ = 𝜋

4 ; 𝐵̂ = 5

12𝜋 ; 𝐶̂ = 𝜋 3 ]

Utilizzando il teorema dell’area, si ha per esempio

(5)

𝐴 = 1

2𝐶𝐴 ⋅ 𝐴𝐵 sen 𝐴̂ = 1

2(√2 + √6 )(2√3) sen𝜋 4 = 1

2(√2 + √6 )(√3) (√2 2 )

= 1

4(2 + 2√3)√3 =1

2(1 + √3)√3 = 1

2(√3 + 3)