Pendolo di Focault

Pendolo di Focault

Figure 1:

Si descriva, nel limite delle piccole oscillazioni, il moto di un pendolo sferico, cio`e non vincolato ad oscillare in un piano, posto in un laboratorio ad una latitudine λ.

Soluzione

Nel limite di piccole oscillazioni, possiamo considerare il moto nel piano orizzontale (x, y) di un corpo di massa m soggetto ad una forza di richiamo centrale

F = −m~ g

lxˆe_x− mg lyˆe_y Il moto risultante `e descritto da:

 x(t) = A cos(ω₀t + φ)

y(t) = B cos(ω₀t + ψ) (1)

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con ω₀² = g/l e con i 4 parametri A, B, φ, ψ definiti dalle condizioni iniziali

~r0 e ~v0.

Ad esempio, se inizialmente il pendolo `e spostato di r0 lungo l’asse x ed ha una velocit`a iniziale v₀ lungo l’asse y positivo, si ha:

( x(t) = r₀cos(ω₀t) y(t) = v₀

ω0

sin(ω₀t) (2)

Il moto risulta quindi essere descritto da una ellisse sul piano (x, y).

Tuttavia questa trattazione non considera il fatto che il pendolo si trova in un sistema di riferimento non inerziale: il laboratorio, solidale alla Terra che ruota interno all’asse compiendo un giro in un giorno (86400 s). Conside- riamo un sistema di riferimento locale con asse z verso l’alto (cio`e radiale nel sistema assoluto), asse y parallelo al meridiano diretto da Sud a Nord, asse x lungo il parallelo in direzione Ovest–Est. La terna inerziale sia (X, Y, Z), con Z diretto lungo l’asse terrestre verso Nord e X, Y sul piano equatoriale.

L’origine del sistema di riferimento non inerziale si muove di acceler- azione di trascinamento:

~atr = ~ω × (~ω × ~R) (3)

con | ~R| raggio terrestre, assumendo la terra perfettamente sferica. Tale sis- tema ruota con velocit`a ancolare costante ~ω, per cui vanno considerate anche la accelerazione centrifuga e quella di Coriolis. In particolare, la componente centrifuga `e:

~a_tr = ~ω × (~ω × ~r) (4)

con ~r misurato localmente. In moti non inerziali come quello descritto, il termine di trascinamento e quello centrifugo si combinano in modo da dare una forza apparente che, normalmente, viene chiamata centrifuga, anche se originata da due termini:

F~_cf = −m~ω × (~ω × ( ~R + ~r)) = −m~ω × (~ω × ~r_C) (5) Con ~rC misurato rispetto al centro della Terra.

Un altro esempio di ci`o `e la forza apparente risentita all’interno di un’auto in curva: rispetto al sistema solidale con l’auto si tratta di “forza di trascinamento”, mentre normalmente viene chiamata “forza centrifuga”.

In ogni caso, al di l´a del nome, quello che importa `e scrivere correttamente questo contributo!

In questo caso specifico, tuttavia, il termine centrifugo `e trascurabile rispetto al moto del pendolo. Esso, infatti, da un contributo che `e pro- porzionale alla distanza dall’asse di rotazione (asse terrestre), e questa dis- tanza cambia di pochissimo durante il moto: alcuni metri rispetto a migli- aia di chilometri. Pertanto questo termine `e costante e pu`o essere trascu- rato rispetto alle forze reali in gioco. Si provi a stimare quantitativamente

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l’effetto per un pendolo di dimensioni ragionevoli che oscilla all’interno di un laboratorio posto al Polo Sud (dove effettivamente esistono laboratori di fisica).

Quindi:

F~app∼ −2m~ω × ~v

Il contributo della forza di Coriolis si ricava scrivendo i vettori nel sistema non-inerziale (= il nostro!):

~

ω = ωˆe_Z= ω cos λˆe_y+ ω sin λˆe_z

~v = ˙xˆe_x+ ˙yˆe_y

Calcoliamo il prodotto vettoriale (nel seguito usiamo c = cos λ e s = sin λ). L’accelerazione di Coriolis vale:

~ ω × ~v =

ˆ

ex eˆy ˆez

0 ωc ωs

˙

x y˙ 0      

= −ωs ˙yˆex+ ωs ˙xˆey− ωc ˙xˆez

Possiamo adesso scrivere la seconda legge di Newton. Eliminando la massa, otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali accoppiate:

 x = −ω¨ ²₀x + 2ωs ˙y

¨

y = −ω₀²y − 2ωs ˙x (6)

Abbiamo trascurato la componente z della forza di Coriolis in quanto rappresenta una modifica trascurabile della forza di gravit`a locale. Per ri- solvere il sistema, moltiplichiamo la seconda equazione per i e sommiamo.

¨

x + i¨y + i2ωs( ˙x + i ˙y) + ω₀²(x + iy) = 0 (7) Introducendo la funzione complessa z(t) = x(t) + iy(t) risulta:

¨

z + i2ωs ˙z + ω₀²z = 0 (8)

Questa ultima equazione `e molto simile a quella che descrive un oscilla- tore armonico smorzato, con la differenza che il termine del primo ordine ha un coefficiente immaginario.

Cerchiamo soluzioni del tipo z(t) = exp(iαt). Sostituendo in eq.8:

−α²− 2ωsα + ω²₀ = 0 (9)

che ha per soluzione:

α1,2 = ωs ± q

ω²s²+ ω²₀ ∼ ωs ± ω₀ (10) Abbiamo usato l’approssimazione ω² << ω₀², ampiamente verificata nella realt`a. In effetti la pulsazione naturale di un pendolo reale `e dell’ordine

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dell’Hertz, mentre la velocit`a angolare di rotazione `e ω = 2π/86400s ∼ 10⁻⁴ Hertz.

Sostituendo i valori di α trovati, si pu`o scrivere la soluzione generale dell’eq.8 come:

z(t) = Ae^i(ωs+ω0)t+ Be^{−i(ωs+ω0)t}= e^iωst(Ae^iω0t+ Be^−iω0t) (11) con A e B coefficienti complessi determinati dalle condizioni iniziali. Il termine fra parentesi indica la parte oscillatoria: se il sistema non fosse in rotazione (ω = 0) la soluzione sarebbe data solamente da questo termine, corrispondente all’ellisse descritta sopra. Il fattore di fronte alla parentesi `e il termine aggiuntivo dovuto alla forza di Coriolis:

C(t) = e^iωst = cos ωst + i sin ωst (12) cio`e:

 xC(t) = cos(ωst)

y_C(t) = sin(ωst) (13)

Questo termine `e trascurabile nella singola oscillazione, in quanto ω <<

ω0, ma si accumula nel tempo causando una rotazione del piano di oscil- lazione del pendolo. Una rotazione completa avviene in un periodo:

T_C = 2π

ω sin λ = 1 giorno

sin λ (14)

cio`e circa un giorno e mezzo alle nostre latitudini.

Si noti che la rotazione avviene in senso orario nel nostro emisfero!

Partendo dalla figura 1, si controlli cosa cambia in quanto scritto quando l’esperimento viene svolto nell’emisfero australe. Il piano di oscillazione ruota in senso orario o in quello antiorario?

Il primo pendolo di Focault fu costruito nel 1850 circa nel Pantheon di Parigi, dove si pu`o vedere tutt’ora; tale misura fu fatta per provare l’esistenza della rotazione terrestre.

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